专项训练卷(一)实数、整式乘法与因式分解
时间:150 分钟 满分:150分
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分
得 分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 计算： ( )
2. 若 则a等于 ( )
A. - 5 B. 5 C. 25 D. ±5
3. 下列说法正确的是 ( )
A. 7 的算术平方根是49 B. 平方根等于它本身的数是1 和0
C. 有理数与无理数的乘积一定是无理数 D. 实数与数轴上的点一一对应
4. 把 分解因式，结果正确的是 ( )
C. 2(a+2)(a-2)
5. 若 则A，B的数量关系为 ( )
A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 无法确定
6. 已知x,y,m满足 且y为正数，则m的取值范围为 ( )
A. m>6 B. m<6 C. m> -6 D. m< -6
7. 根据以下程序，当输入 时，输出结果为 ( )
A. B. 2 C. 6 D.
8. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和平数”.如 12 因此4，12 这两个数都是“和平数”.介于1到301 之间的所有“和平数“之和为 ( )
A. 5776 B. 4 096 C. 2 020 D. 108
9. 定义一种新运算 例如 若 则m= ( )
A. - 2 C. 2 D.
10. 如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a
二、填空题(本大题共4 小题，每小题5分，满分20分)
11. 若 则a与b的关系是 .
12. 若实数a,b满足 则 ab的值是 .
13. 已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示数-1的点与表示数5的点重合，则表示数 的点与表示数 的点重合.
14. 对于任何实数，我们规定 的意义是按照这个规定请你计算：当 +1=0时, 的值为 .
三、(本大题共2 小题，每小题8分，满分16分)
15. 计算:
16. 计算:
四、(本大题共2 小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图，a，b，c是数轴上三个点A，B，C所对应的实数.试化简：
18. 规定 求：
(1)求1*3.
(2)若2*(2x+1)=64,求x的值.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 已知 求 的值.
解：根据算术平方根的定义，由 得 ①…第一步
根据立方根的定义，由得1-2y= - 1,②…第二步
由①②,解得x=1,y=1.…第三步
把x，y的值代入 中，得 第四步
(1)以上解题过程存在错误，请指出错在哪些步骤，并说明错误的原因.
(2)把正确解答过程写出来.
20. 长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a>b，将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积为 ；将原长方形的长和宽各减少2厘米，得到的新长方形的面积为
(1)若a，b为正整数，请说明S 与S 的差一定是5的倍数.
(2)若 求将原长方形的长和宽各减少7厘米后得到的新长方形的面积.
六、(本题满分12分)
21. 阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为 这个数i叫做虚数单位，把形如 (a,b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如计算：
(1+i)> 3+i.
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空:
(2)计算:
(3)计算:
七、(本题满分12分)
22. 规定：对于依次排列的多项式x+a,x+b,x+c,x+d(a,b,c,d是常数),当它们满足( +d)-(x+b)(x+c)=M(M为常数),则称a,b,c,d是一组平衡数,M是该组平衡数的平衡因子,例如:对于多项式x+3,x+2,x+5,x+4,因为 所以3，2，5，4是一组平衡数，2是该组平衡数的平衡因子.
(1)已知1，2，5，6是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M.
(2)若a,b,c,d是一组平衡数,a=-5,d=4,请直接写出一组b,c的值.
(3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数，并说明理由.
八、(本题满分14分)
23.【例题讲解】因式分解：
因为 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积.故我们可以猜想 可以分解成( 展开等式右边，得 所以 恒成立.
所以等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 解得
所以
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.
【学以致用】
(1)若 则m= .
(2)若 有一个因式是x+1，求k的值.
(3)请判断多项式 能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由.
专项训练卷(一)
1. C 2. D 3. D 4. C 5. A 6. B 7. A 8. A 9. B 10. B11. a=-b 12. - 3 13. 4- 14. 1
15. 解:(1)原式=16-3-5=8.
(2)原式
16. 解:(1)原式=1+2-3=0.
(2)原式 -2ab.
17. 解:由数轴可得b<0,a-b>0,a+b<0,b-c<0,
则原式=-b+a-b-(a+b)+(b-c)=-b+a-b-a-b+b-c = -2b -c.
18. 解:(1)由题意得:
(2)因为2*(2x+1) =64,所以 所以 2 ,所以2x+3=6,解得
19. 解:(1)错在第一步,由 得2x-y=±1,忽略了2x-y= -1;
在第四步中，当x-y=0时，式子 无意义，忽略了分母不为0的条件.
(2)根据算术平方根的定义，由 得 1,2x-y=±1①;
根据立方根的定义，由 ,得1-2y=-1②;
由②,得y=1;将y=1代入①,得2x-1=±1,解得x=1或x=0.
当x=1,y=1时,式子 无意义；
当x=0,y=1时,式子
20. 解: -2)= ab-2a-2b+4,所以 2b-4=5a+5b+5=5(a+b+1),，因为a，b为正整数，所以 与S 的差一定是5的倍数.
(2)因为 所以2(ab-2a-2b+4)-(ab+3a+3b+9)=0,即 ab-7a-7b-1=0,,所以 ab-7a-7b=1,则将原长方形的长和各减少7厘米后得到的新长方形的面积为(a-7)(b-7)= ab-7a-7b+49=1+49=50((平方厘米).
21. 解: 故答案为:-3i.
(2)原式 3+4=7.
(3)原式=[i+(-1)+(-i)+1]×505+i+(-1)=0+i-1=i-1.
22. 解:(1)因为1,2,5,6是一组平衡数,
所以
(2)因为a,b,c,d是一组平衡数,
所以(x+a)(x+d)-(x+b)(x+c)=M.
所以 ,-c)x+ ad-bc,
所以a+d-b-c=0,
因为a=-5,d=4,所以-5+4-b-c=0,
所以b+c=-1,如b=1,c=-2.
(3)当a+d-b-c=0时,a,b,c,d是一组平衡数.理由如下:
由(2)得 -b-c)x+ ad-bc,
所以当a+d-b-c=0时,a,b,c,d是一组平衡数.
23. 解: 则m=1.故答案为：1.
(2)设另一个因式为 则
因为
所以
所以( 解得
(3)多项式 能分解成两个整系数二次多项式的乘积.理由如下：
设多项式 能分解成 或②
所以 由b+1=1得 所以情况①舍去.
所以 解得
所以情况②符合题意.
即 所以多项 能分解成两个整系数二次三项式的乘积.
