2024-2025 学年第一学期期末质量监测
九年级数学
（时间：100 分钟，总分：120 分）
一、单选题（每小题 3分，共 30 分）
1．关于一元二次方程 3 2 2 + = 0 有实根，则实数 a的取值范围是（ ）
A 1 1 1 1． > 3 B． < 3 C． ≥ 3 D． ≤ 3
2．在一个不透明的塑料袋中装有红色球、白色球共 40个，除颜色外其他都相同．小明通过多次摸球
试验后发现，摸到红色球的频率稳定在 20%左右，则塑料袋中红色球可能有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
3．为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一
场），计划安排 36场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4． 我们知道， 方程 2 + 4 = 0( ≠ 0) 4的两个解可看作直线 = + 1 与双曲线 = 的图
4 4象交点的横坐标． 若这两个交点所对应的坐标为 1， ， 2， ， 且均在直线 = 的同1 2
侧， 则实数 的取值范围是（ ）
A．12 < <
3 B 12 ． 2 < <
3
2
C．12 < <
3 1 1 3
2 或 16 < < 0 D． 16 < < 0 或 0 < < 2
5． ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，添加以下条件，不能判定平行四边形 ABCD为菱形的是
（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD
6．对于实数 a，b定义运算“※”为 a※b＝b2-ab，例如 3※2＝22-3×2＝-2．若关于 x的方程 3※x＝-m
没有实数根，则 m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7 4．若图中反比例函数的表达式均为 = ，则阴影部分面积为 2的是（ ）
A． B．
C． D．
8 1 ．已知点 9, 3 在反比例函数 = 的图像上，若 > 3，则 的取值范围是（ ）
A． > 1 B． < 1 C．0 < < 1 D． > 0
9．如图，在菱形 中，M、N分别是 和 的中点， ⊥ 于点 P，连接 ，若
∠ = 40° ，则 ∠ = （ ）
A．125° B．120° C．115° D．110°
10．如图，在正方形ABCD中，点 E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点 ，若 = 4, = = 1，
则 CG的长是（ ）
A 2 B 5 C 3 2 D 12． ． ． ．2 5
二、填空题（每小题 3分，共 15 分）
2 2024 4 = 0 1 + 111．已知 1， 2分别为一元二次方程 的两个实数解，则 的值为 ．1 2
12．设点 P是线段 A8的黄金分制点（AP
交 于点 G，连接 ，则△ 的面积为 ．
14．已知，如图，△ 中， 平分∠ ，∠ = ∠ ， ⊥ 于 ， = 5， = 4，则
和 分别为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线 1： = 3 ；直线 l2： = ，直线 1上有一点 A，且点 A的纵
坐标是 2 3．在直线 1的右侧作正方形 ， 交直线 2于点 D， 交 x轴于点 E，连接 、 ，
交直线 2于点 F，交 x轴于点 G，则下列结论正确的有 ．（填序号）
①△ 的周长为 8 3；
② = 3 ；
③ = + ；
④点 P 1为射线 上一动点， + 2 的最小值为 2 + 2 3．
三、解答题（共 8题，共 75分）
16．（8 分）解方程：
（1）2x2-4x-5=0 （2）(x-2)2=(2x+3)2
17．（9 分）已知关于 的一元二次方程 2 + 3 + 2 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
18 ．（9 分）如图，一次函数 = + 3的图象与反比例函数 = 的图象交于点 (1， )，与 轴交于点
，与 轴交于点 ，
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点 为反比例函数 = 图象上一点， △ = 2 △ ，求点 的坐标.
19．（9 分）已知关于 的方程 2 (3 + 3) + 2 2 + 4 + 2 = 0．
（1）求证：无论 为何值，原方程都有实根；
（2）若该方程的两实根 1， 2为一菱形的两条对角线的长，且 1 2 +2 1 + 2 2 = 36，求 的值．
20．（9 分）某校八年级一班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下
面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：
小阳：据调查，该商品的进价为 12元/件．
小佳：该商品定价为 20元时，每天可售 240件．
小欣：在定价为 20元的基础上，涨价 1元，每天少售 20件．
根据他们的对话，若销售的商品每天能获利 1920元时，为尽快减少库存，应该怎样定价更合理？
21．（10 分）在一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别标有汉字“诚”，“实”，“守”，“信”，卡片除了
汉字不同外其余都相同，先随机抽取一张卡片后不放回，然后再随机抽取一张，用画树状图或列表的
方法求两次抽到卡片上的汉字组成“诚信”的概率．
22．（10 分）如图 1，一次函数 = + 的图象与 x轴交于点 6,0 ，与 y轴交于点 0,3 ，与正比
例函数 = 的图象交于点 C．
（1）求一次函数的解析式及点 C的坐标；
（2）在 y轴上是否存在一点 P，使△ 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 P的坐标．若不
存在，请说明理由；
（3）如图 2，过点 C作 ⊥ 轴于点 D， ⊥ 轴于点 H，点 E是线段 OD上一动点，F是线段
OH上一动点，且∠ = 45°，连接 EF，请判断△ 的周长是否为定值？若是，求出这个定值：
若不是，说明理由．
23．（11 分）如图①，在菱形 ABCD中，∠BAD=120°，过点 A分别作 AE⊥BC于点 E，AF⊥CD于
点 F，且∠EAF= 60°．
（1）写出 BE，CF，AB之间的数量关系；
（2）如图②，当∠EAF绕着点 A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，
写出 BE，DF，AB三者之间的关系，证明你的结论；
（3）如图③，当∠EAF绕着点 A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边 BC，CD的延长线相
交，但不垂直时，请直接写出 BE ，DF ，AB三者之间的关系．答案解析部分
1．D
2．C
3．D
4．C
4
解：∵函数 = 的图象与直线 y＝x的交点为 A（2，2），B（ 2， 2）．
∴①当函数 y＝kx＋1的图象过点 A（2，2）时，k＝12；
②当函数 y＝kx＋1的图象过点 B（ 2， 2）时，k＝32．
当 k＞0时，
4 4
∵（x1， ）、（x2， ），且均在直线 y＝x的同侧，1 2
∴实数 k的取值范围是：12 < <
3
2，
1
当 k＜0时，Δ＞0，解得： 16 < < 0，
k 1 < < 3 1综上，实数 的取值范围是2 2 或 16 < < 0 .
故答案为：C．
先求得直线 y＝x与反比例函数 = 4 的交点坐标，然后把交点坐标代入 y＝kx＋1，求得 k的值，再根
4 4
据若这两个交点所对应的坐标为（x1， ）、（x2， ），且均在直线 y＝x的同侧，即可求得 k的取值1 2
范围．
5．A
解：A． = ，对角线相等，能判断平行四边形 ABCD是矩形，不能判断四边形 ABCD是菱形，
符合题意
B． ⊥ ，对角线互相垂直，能判断平行四边形 ABCD是菱形，不符合题意；
C．∠ = ∠ ，对角线平分一组对角 ，能判断平行四边形 ABCD是菱形，不符合题意；
D． = ，一组邻边相等，能判断平行四边形 ABCD是菱形，不符合题意；
故答案为：A．
根据平行四边形的条件加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角即可得到
四边形为菱形，即可求解．
6．A
∵a※b＝b2-ab ，
∴3※x＝-m 可以写为： 2 + 3 =
∴Δ = 2 4 = 9 4 < 0
9
解得： > 4
∴m可能的值是 3
故答案为：A
首先由新运算的定义，写出关于 x的方程，已知方程没有实数根，所以利用根的判定公式求出 m的取
值范围即可.
7．B
8．C
9．D
解：如图，连接 ， ， 延长 交 于 ，
∵ 菱形 ， ∠ = 40° ，
1
∴ = ，∠ = ∠ = 2 (180° ∠ ) = 70°， // ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ // ，∠ = ∠ = 70°， = ，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ，
∴ = ，
∵ ⊥ ，
∴ = ，∠ = ∠ = 70°，
∴ ∠ = 180° 70° = 110°.
故答案为：D
连接 ， ， 延长 交 于 ，由菱形的性质可求出 AB=AD，∠DBA=∠BDA=70°
，利用三角形中位线定理可得 NM∥DB，可得∠ = ∠ = 70°，证明△ ≌△ ， 可得
= ， 由直角三角形斜边中线的性质可得 = ，从而可得∠ = ∠ = 70°，由
∠MPB=180°-∠MPH即可求出结论.
10．D
解：∵四边形 ABCD是正方形， = 4，
∴ = = = 4，∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ = = 1，
∴ = = 3，
∴△ △ ， = 2 + 2 = 5，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = 90°，
∴ △ =
1 · = 12 2 · ，
∴ = · 4×3 12 = 5 = 5 .
故答案为：D.
利用正方形的性质求得 CE、BE的长度，再通过 SAS判定△ △ ，进而证得∠ = 90°，
然后利用等面积法求得 CG的长度.
11． 506
12． 5 1
解：
∵点 P是线段 AB的黄金分割点( ( < ), = 2厘米，
5 1
∴ = = 2 ,
∴ = 5 1 厘米，
故答案为： 5 1 .
根据黄金比值为 5 1计算即可.
2
13 18． 5
解：如图所示：连接 GD，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AD = CD，
∵根据折叠的性质可知：DC=DF，∠C=∠DFE=90°，
∴AD = DF，∠A=∠DFG = 90°，
又∵GD = GD，
∴△AGD≌△FGD，
∴AG=GF，
设 AG=GF=x，则 BG=6-x，
∵正方形 ABCD边长为 6cm，点 E为 BC边中点，
∴BE=EC=EF=3cm，
∵GE2= BE2+BG2，
∴(3+x)2=(6-x)2+32，
解得：x=2，
∴GB=6-2=4(cm)，GE= 2+3= 5(cm)，
∴S 3 3 1 18BEF = S BEG = × × 3 × 4 = 2△ 5 △ 5 2 5 ，
18
故答案为： 5 .
利用正方形的性质求出 AD = CD，再利用全等三角形的判定与性质，勾股定理和三角形的面积公式计
算求解即可。
14．7和 3．
15．②
解：如图所示，过点 A作 ⊥ 轴于M，
在 = 3 中，当 = 3 = 2 3时， = 2，
∴ (2，2 3)，
∴ = 2， = 2 3，
∴ = 2 + 2 = 4，
如图将△ 绕点 O顺时针旋转 90度得到△ ，
∴ = ，∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ = ∠ = 90°， = ，
∴∠ + ∠ = 180°，
∴B、C、H三点共线，
∵点 D在直线 = 上，
∴∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 45°，
又∵ = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ = + ，
∴ = + ，
∴△ 的周长= + + = + + + = + = 2 = 8，故①错误；
如图所示，取 中点 K，连接 ，
= = 1∴ 2 = 2 = ，
∴△ 是等边三角形，
∴∠ = 60°，
∴∠ = 30°，
∴∠ = 60°，
∴∠ = 30°，
∴ = 1 3 4 3；2 = 3 = 3
∴ = 4 4 3，3
设 = ，则 = 4 ，
∴ = + = 4 33 + 4
∵ 2 + 2 = 2，
∴ 2 + (4 4 33 )
2 = ( 4 33 + 4 )
2，
∴ = 12 3 12，3
∴ = 12 3 123 = 3(4
4 3 ，
3 )
∴ = 3 ，故②正确；
如图将△ 绕点 O逆时针旋转 90度得到△ ，连接 ，
∴ = ，∠ = 90°， = ，
∴∠ = 45° = ∠ ，
又∵ = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ < + ，
∴ < + ，故③错误；
∵点 P为射线 上一动点， = 12 =
4 3，
3
∴当 ⊥ + 1时， 最小，即此时 2 最小，最小值为 4 +
4 3，故④错误；
3
故答案为：②．
如图所示，过点 A作 ⊥ 轴于M，先求出 (2，2 3)，则 = 2， = 2 3，利用勾股定理求出
= 4，如图将△ 绕点 O顺时针旋转 90度得到△ ，则 = ，∠ = ∠ =
90°，∠ = ∠ = ∠ = 90°， = ，证明 B、C、H三点共线，∠ = 45°，则可证明
△ ≌△ ( )，得到 = ，进而得到 = + ，则△ 的周长= + + =
2 = 8，故①错误；如图所示，取 中点 K，连接 ，证明△ 是等边三角形，推出∠ = 30°，
得到 = 1 = 3 = 4 3， = 4 4 3，设 = ，则 = 4 ，则 = 4 3+ 4 ，利2 3 3 3 3
用勾股定理得到 2 + (4 4 33 )
2 = ( 4 3+ 4 )2，解得 = 12 3 123 ，则3 = 3
，故②正确；
如图将△ 绕点O逆时针旋转 90度得到△ ，连接 ，证明△ ≌△ ( )，得到 = ，
由 < + ，得到 < + ，故③错误；由点 P为射线 上一动点， = 1 = 4 3，2 3
则当 ⊥ 时， 1最小，即此时 + 2 最小，最小值为 4 +
4 3，故④错误．
3
16．（1）解：2x2-4x-5=0
∵a=2 ，b= -4 ，c= -5
2 4 = ( 4)2 4 × 2 × ( 5) = 56 > 0
∴x = 4±2 14 = 2± 144 2
∴ = 2+ 14 2 141 2 ， 2 = 2
（2）解：(x-2)2=(2x+3)2
(x-2)2-(2x+3)2=0
(x – 2 -2x -3)(x-2+2x+3)=0
(- x-5)(3x+1)=0
∴- x-5=0或 3x+1=0
1
1 = 5， 2 = 3
（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。
17 17．（1） < 4
（2） 1 = 1， 2 = 2
18．（1）解：由题意，将 (1， )代入 = + 3中，
∴ = 1 + 3．
∴ = 4．
∴ (1，4)．
将 (1，4)代入反比例函数 = ，
∴ = 1 × 4 = 4，
∴反比例函数的解析式为 = 4
（2）解：对于 = + 3，
当 = 0时， = 3，
∴ = 3，
∵ (0，3)，
∴ = 3，过点 A作 ⊥ 轴于点 H，过点 P作 ⊥ 轴于点 D，
∵ △ = 2 △ ，
∴12 × = 2 ×
1
2 × ，
即12 × 3 × = 2 ×
1
2 × 3 × 1，
解得 = 2，
∴点 P的纵坐标为 2或 2，
将 = 2代入 = 4 得： = 2，
= 2 = 4或 代入 得 = 2，
∴点 (2，2)或( 2， 2)．
19．（1）证明：根据题意得：
= [(3 + 3)]2 4(2 2 + 4 + 2) = ( + 1)2 ≥ 0，
∴无论 为何值，原方程都有实根；
（2）解：∵ 21、 2是 (3 + 3) + 2 2 + 4 + 2 = 0的两根，
∴ 1 + 2 = 3 + 3， 1 2 = 2 2 + 4 + 2，
∴由 21 2 +2 1 + 2 2 = 36得，2 + 4 + 2 + 2(3 + 3) = 36，
解得： 1 = 2， 2 = 7．
∵ 1， 2为一菱形的两条对角线的长，∴ 1 + 2 > 0， 1 2 > 0，
∴ = 2．
(1)根据根的判别式的意义得到当 = [ (3 + 3)]2 4(2 24 + 2) = + 1 2 ≥ 0 无论 k为何值，总
有 + 1 2 ≥ 0，方程有实数根；
(2)根据根与系数的关系得到 1 + 2 = 3 + 3 1 2 = 4 + 2， 再代入所求的代数式进行求值，然后根
据菱形的面积公式进行计算即可.
20．解：设每件商品定价为 x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，
根据题意得：[240﹣20（x﹣20）]×（x﹣12）＝1920
整理，得 x2﹣44x+480＝0，
解得，x1＝20，x2＝24；
∵要尽快减小库存，
∴x＝20，
答：为尽快减少库存，每件定价 20元．
设每件商品定价为 x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，根据题意列出方程[240﹣20（x﹣20）]×
（x﹣12）＝1920求解即可。
21．解：根据题意画图如下：
共有 12种等可能的结果，其中两次摸出的卡片上的汉字组成“诚信”的结果为 2种，
2 1
∴两次摸出的卡片上的汉字组成“诚信”的概率 P＝ = 12 = 6 ；
先画树状图求出 共有 12种等可能的结果，其中两次摸出的卡片上的汉字组成“诚信”的结果为 2种，
再求概率即可。
22．（1 1）一次函数表达式为： = 2 + 3，点 2,2
（2）点 P的坐标为 0,1 或 0,3 + 5 或 0,3 5 1或 0,2
（3）是定值，值为 4
23．（1）解：如图①，连接 AC．在菱形 ABCD中，
∵∠BAD= 120° ，∴△ABC，△ACD都为等边三角形，AE⊥BC于点 E，AF⊥CD于点 F，
∴∠AEB=90° ，∠B=60°，∠AFC=90°，∠ACD= 60°，
∴∠BAE= 30°，∠CAF=30°，
BE=12AB，CF=
1
2AC．
∵AB=AC，∴BE+CF=AB．
（2）BE+DF=AB；
证明：如图②，连接 AC ，在菱形 ABCD中，
∵∠BAD=120。∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∠ACE=∠ADF= 60° ，AD=AC．
∵∠EAC+∠CAF=∠EAF=60° ，∠DAF+∠CAF=∠CAD= 60°，
∴∠CAE=∠DAF．∴△AEC≌△AFD(ASA) ，∴EC=DF，∴BE+DF=BE+EC=BC=AB．
（3）BE-DF=AB；
解：（3）结论： = ，理由如下：
连接 AC，如下图：
在菱形 ABCD中，∵∠ = 120°，，
∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∠ = ∠ = 60°， = ，
∴∠ = ∠ = 120°，
∵∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，且∠ = ∠ = 60°，
∴∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中
∠ = ∠
=
∠ = ∠
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∴ = = ，
∴ = .
（1）连接 AC，根据菱形的性质和∠ = 120°，得到△ABC，△ACD都为等边三角形，且 AE⊥BC
于点 E，AF⊥CD 1于点 F，进而得到 = 2 ， =
1
2 ．进而即可求解；
（2）连接 AC，根据菱形的性质和∠ = 120°，得到△ABC，△ACD都为等边三角形，得到：∠ =
∠ = 60°， = ，进而根据角的运算和等量代换即可得到∠ = ∠ ，即可利用"ASA"证
明△ ≌△ ，得到 = ，进而即可求解；
（3）连接AC，根据菱形的性质和∠ = 120°，得到△ABC，△ACD都为等边三角形，得到：∠ =
∠ = 60°， = 进而根据角的运算和等量代换即可得到∠ = ∠ ，即可利用"ASA"证明
△ ≌△ ，得到 = ，进而即可求解.
