(共87张PPT)
9.2.3
第九章
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总体集中趋势的估计
1.能够正确计算平均数、中位数、众数.(重点)
2.掌握利用样本的平均数、众数、中位数估计总体的集中趋势的方法，从而解决相关的实际问题.
3.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势.(难点)
学习目标
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.
导 语
一、众数、中位数、平均数
二、总体集中趋势的估计
课时对点练
三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
随堂演练
内容索引
众数、中位数、平均数
一
提示 平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才可求出.
中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.它的求出不需或只需简单的计算.
众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出.
如何求一组数据的众数、中位数和平均数？
问题1
1.众数：一组数据中出现次数 的数.
2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数.
3.平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，
那么= 叫做这n个数的平均数.
最多
(x1+x2+…+xn)
在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示.
例 1
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求出这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.
表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.
这组数据的平均数=×(1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4
+1.80×1+1.85×1+1.90×1)=≈1.69.
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的个数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数.
反
思
感
悟
平均数、众数、中位数的计算方法
已知一组数据为52，49，48，54，47，48，55，52，则该组数据的中位数为 ，众数为 ，平均数为 .
跟踪训练 1
50.5
48和52
50.625
把这组数据从小到大排列为47，48，48，49，52，52，54，55.
中位数为=50.5，众数为48和52，平均数为==50.625.
二
总体集中趋势的估计
我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.从下面的三幅图中，你能得到平均数和中位数的大小存在什么关系吗？
问题2
提示 一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；
如果直方图在右边“拖尾”(图(2))，那么平均数大于中位数；
如果直方图在左边“拖尾”(图(3))，那么平均数小于中位数.
也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.
什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描述？什么样的问题可以用众数描述？
问题3
提示 一般地，对数值型的数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.
某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：
甲 7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.9
乙 7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5
选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数，那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？
例 2
甲选手的最后得分为×(7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4)=8，
乙选手的最后得分为×(7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5)=8.062 5.
若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，
则甲选手的得分为×(7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.9)=8.14，
乙选手的得分为×(7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5)=8.05.
去掉最高分与最低分时，甲的得分小于乙的得分，即乙的排名靠前；
若直接用10位评委评分的平均数作为得分，则甲的得分大于乙的得分，即甲的排名靠前.
两种评分下，甲、乙两位选手的排名不同，去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数作为选手的最后得分更好，这是因为平均数对样本数据的极端值比较“敏感”.
反
思
感
悟
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
众数、中位数、平均数的意义
某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级(选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级)的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是
A.3，5
B.3，3
C.3.5，5
D.3.5，4
跟踪训练 2
√
由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为
=3.5，乙成绩等级的众数为5.
利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
三
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
例 3
众数是频率分布直方图中最高小矩形底
边中点的横坐标，所以众数m=75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10+0.015×
10+0.015×10=0.4<0.5，
前4个小矩形面积和为0.4+0.03×10=0.7
>0.5，
所以中位数n=70+≈73.3.
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
依题意得，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，
所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.
则估计这次考试物理成绩的平均分是71分.
反
思
感
悟
(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最高，在最高的小矩形中.中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数).平均数为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积乘积之和.
(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数.
利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法
根据如图所示的频率分布直方图求出样本数据的众数、中位数和平均数.
跟踪训练 3
在[124.5，126.5)中的数据最多，取这个区间
的中点值作为众数的近似值，得众数约为
125.5.中位数左边和右边的直方图的面积相等，
设中位数为x，则由图可知x在区间[124.5，
126.5)内，则(x-124.5)×0.2+2×0.075+2×0.05=0.5，解得x=125.75，即中位数约为125.75.使用组中值求平均数，则=121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4+127.5×0.2+129.5×0.15=125.8.即平均数约为125.8.
1.知识清单：中位数、众数、平均数的计算及应用.
2.方法归纳：数据分析统计.
3.常见误区：求中位数时未对数据进行排序.
随堂演练
四
1.在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96.关于这组数据，下列说法错误的是
A.众数是83 B.中位数是83
C.极差是30 D.平均数是83
√
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2
3
4
由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A说法正确；
把数据66，83，87，83，77，96按从小到大排列为66，77，83，83，87，96，中间两个数为83，83，所以中位数是83，故B说法正确；
极差是96-66=30，故C说法正确；
由于平均数为(66+83+87+83+77+96)÷6=82，故D说法错误.
1
2
3
4
2.(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是
A.中位数可以准确地反映出总体的情况
B.平均数可以准确地反映出总体的情况
C.众数可以准确地反映出总体的情况
D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
√
1
2
3
4
√
√
3.已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是 .
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3
4
3
∵数据0，2，x，4，5的众数是4，∴x=4，
∴这组数据的平均数是×(0+2+4+4+5)=3.
4.某天文社团随机调查了100位天文爱好者的年龄，得到样本数据的频率分布直方图，如图所示，则这100位天文爱好者的平均年龄约为 岁.
1
2
3
4
21.4
根据频率分布直方图，这100位天文爱好者的平均年龄约为
5×0.16+15×0.36+25×0.28+35×0.1+45×0.08+55×0.02=21.4(岁).
课时对点练
五
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D C C AB 85 85 0.9
题号 11 12 13 14 15
答案 B C C 3 648元 BD
对一对
答案
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9.
(1)(0.2+0.8+0.6+a+0.1)×0.5=1，
解得a=0.3.
(2)=0.1×0.25+0.4×0.75+0.3×1.25+0.15×1.75+0.05×2.25
=1.075.
估计该样本数据的平均数为1.075.
由0.5×(0.2+0.8)=0.5，
所以估计该样本数据的中位数为1.0.
答案
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9.
(3)不一定(不能).
理由：①不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同；②样本指标只能作为估计值.(理由说明一点就可以)
答案
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10.
(1)由题图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
甲的平均数是×(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7，中位数是=7.5，命中9环及9环以上的次数是3.
乙的平均数是×(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.
答案
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10.
(2)由(1)知，①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲的成绩较好.
②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲的成绩较好.
③从题中的折线图看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力.
答案
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16.
(1)网友打分的平均数为
(55×0.005+65×0.035+75×0.030+85×0.020+95×0.010)×10=74.5.
分数在[50，70)内的频率(0.005+0.035)×10=0.4<0.5，
分数在[50，80)内的频率0.4+0.030×10=0.7>0.5，
设中位数为x，则x∈[70，80)，
0.4+(x-70)×0.030=0.5，得x≈73.3，
即中位数约为73.3.
答案
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16.
(2)由(1)可知μ=74.5.
要使抽取的10人中打分在[74.5-m，74.5+m]内的人数为8，
则打分在区间[74.5-m，74.5+m]内的频率为0.8.
若m=5.5，则[74.5-m，74.5+m]=[69，80]，
频率0.03×10+×0.035×10=0.335<0.8；
若m=14.5，则[74.5-m，74.5+m]=[60，89]，
答案
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16.
频率0.035×10+0.03×10+×0.020×10=0.83>0.8.
所以5.5
0.035×10+×0.020×10=0.8，
解得m≈13.95，即m的值约为13.95.
1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，则该组数据的平均数、中位数和众数的大小关系是
A.平均数>中位数>众数
B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数
D.平均数=中位数=众数
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基础巩固
答案
平均数为×(20+30+40+50+50+60+70+80)=50，中位数为×(50+50)=
50，众数为50，所以它们的大小关系是平均数=中位数=众数.
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答案
2.在某次考试中，共有100名学生参加考试，如果某题的得分情况如表所示：
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答案
那么这些得分的众数是
A.37.0% B.20.2%
C.0分 D.4分
√
得分 0分 1分 2分 3分 4分
百分率 37.0% 8.6% 6.0% 28.2% 20.2%
由题意得，得分为0分的百分率为37.0%，所占比例最大，所以这些得分的众数是0分.
3.数据x1，x2，x3，…，xm的平均数为，数据y1，y2，y3，…，yn的平均数为，则数据x1，x2，x3，…，xm，y1，y2，y3，…，yn的平均数为
A.+ B.+
C. D.
由题意得x1+x2+x3+…+xm=m，
y1+y2+y3+…+yn=n
所以=.
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答案
4.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是
A.平均数 B.极差
C.中位数 D.以上都不对
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答案
判断能否进入决赛，只要判断他是否在前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩按从小到大(或从大到小)的顺序排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.
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答案
5.(2024·新课标全国Ⅱ)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
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答案
亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150，
1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
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答案
亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150，
1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
√
对于A， 根据频数分布表可知，
6+12+18=36<50，
所以亩产量的中位数不小于1 050 kg， 故A错误；
对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34，
所以低于1 100 kg的稻田占比为×100%=66%，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200-900=300，
最小为1 150-950=200，故C正确；
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答案
对于D，由频数分布表可得，
平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10
×1 175)=1 067，故D错误.
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答案
亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150，
1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
6.(多选)一条青果巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集.基于此，某中学举行了一次“红色青果”知识竞赛.学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩，整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有
A.样本的众数为75
B.样本的平均数为68.5
C.样本的中位数为75
D.估计该校学生中得分不低于80分的占20%
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答案
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依题意，(0.015+0.025+0.035+0.005+2a)×10
=1，解得a=0.010，
选项A，∵最高小矩形的中点横坐标为75，
∴众数是75，故A正确；
选项B，平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95
×0.05=68.5，故B正确；
选项C，∵10×(0.010+0.015+0.025)=0.5，∴样本的中位数为70，故C错误；
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答案
选项D，估计该校学生中得分不低于80分的
占(0.010+0.005)×10=15%，故D错误.
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答案
7.从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如下：
甲：79 78 80 x 85 92 96
乙：72 81 81 y 91 91 96
其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x= ，y= .
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答案
85
85
由数据知，乙班学生成绩的中位数是y=85.
由甲班学生成绩的平均分为85，得79+78+80+x+85+92+96=85×7，解得x=85.
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答案
8.某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们某天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为 h.
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答案
0.9
由题中的条形统计图可得，这50名学生这
一天平均每人的课外阅读时间为
=0.9(h)，
因此估计该校全体学生这一天平均每人的
课外阅读时间为0.9 h.
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答案
9.有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.0×10-6的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在100条鱼的样本中发现的汞含量(乘以百万分之一)统计得到频率分布直方
图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值；
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答案
(0.2+0.8+0.6+a+0.1)×0.5=1，
解得a=0.3.
(2)请估计该样本数据的平均数和中位数(假设各组数据在组内均匀分布)；
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答案
=0.1×0.25+0.4×0.75+0.3×1.25+0.15×1.75+0.05×2.25=1.075.
估计该样本数据的平均数为1.075.
由0.5×(0.2+0.8)=0.5，
所以估计该样本数据的中位数为1.0.
(3)从实际情况看，许多鱼汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过.你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.0×10-6大吗？请说明理由.
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答案
不一定(不能).
理由：①不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同；②样本指标只能作为估计值.(理由说明一点就可以)
10.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示.
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答案
(1)请填写表格.
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答案
平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)
甲
乙
由题图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，
8，7，7，8，9，9，10.乙打靶的成绩为
9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
甲的平均数是×(2+4+6+8+7+7+8+9+9
+10)=7，中位数是=7.5，命中9环及9
环以上的次数是3.
乙的平均数是×(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7，中位数是7，命中9环
及9环以上的次数是1.
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答案
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行
分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结
合看，谁的成绩好些？
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
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答案
由(1)知，①甲、乙的平均数相同，甲的
中位数比乙的中位数大，所以甲的成绩
较好.
②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环
以上的次数比乙多，所以甲的成绩较好.
③从题中的折线图看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力.
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答案
11.如图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下列说法正确的是
A.M>N B.M
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综合运用
答案
平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每一个数据都有关系；将一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数，叫做这组数据的中位数，平均数和中位数的大小关系与数据分布的形态有关，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”的那边，如图(1)，中位数与平均数相等，如图(2)，
中位数小于平均数，如图(3)，
中位数大于平均数，结合给定
的频率分布直方图，可知数据
的中位数N更大一些，即M
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答案
12.某校在劳动基地开展“开垦菜地、种植蔬菜”的实践活动.某班级统计其负责菜地连续八周的蔬菜周产量(单位：斤)，并制作折线图如图所示.根据折线图信息，下列结论中不正确的是
A.这八周周产量的众数为19
B.共有4周周产量超过周产量的平均数
C.这八周周产量的中位数小于周产量的平均数
D.前四周周产量的极差大于后四周周产量的极差
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答案
根据折线图可知，众数为19，A选项正确；
平均数为=17.25，
所以共有4周周产量超过周产量的平均数，
B选项正确；
中位数为=17.5，所以中位数大于平均
数，C选项错误；
根据折线图可知，前四周周产量的极差大于后四周周产量的极差，D选项正确.
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答案
13.国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值(单位：亿千瓦时)，并与上一年同期相比较，得到同比增长率(注：同比增长率=今年月发电量-去年同期月发电量)÷去年同期月发电量×100%)，统计图如图所示，下列说法不正确的是
A.2023年第一季度的月发电量平均
值约为204.2
B.2023年至少有一个月的发电量低
于上一年同期发电量
C.2022年11月发电量高于该年12月发电量
D.2023年下半年发电量的中位数为245.2
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答案
由图中数据可知，2023年第一
季度的月发电量平均值约为
=≈204.2，A正确；
由图中数据可知，2023年4月的
同比增长率为负数，
故该月发电量低于上一年同期发电量，B正确；
根据同比增长率公式可知，2022年11月发电量为≈173.3，
2022年12月发电量为≈179.6，而179.6>173.3，
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答案
则2022年11月发电量低于该年
12月发电量，C错误；
2023年下半年发电量按从小到
大的顺序排列如下：
210.5，234.6，244.3，246.1，
258.9，269.2，
所以中位数为=245.2，D正确.
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答案
14.有一容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如表：
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答案
起始 月薪 (百元) [33，34) [34，35) [35，36) [36，37) [37，38) [38，39) [39，40) [40，41]
频数 7 11 26 23 15 8 4 6
从上表中，估计该校毕业生起始月薪平均值是 .
3 648元
设这100名毕业生起始月薪平均值为=33.5×+34.5×+
35.5×+36.5×+37.5×+38.5×+39.5×+40.5×=
36.48(百元)，所以估计该校毕业生起始月薪平均值是3 648元.
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答案
拓广探究
15.(多选)人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则下列说法正确的是
A.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支
出逐年递增
B.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配
收入逐年递增
C.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配
收入的极差比人均消费支出的极差小
D.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21 180元
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√
对于A，由题中折线图知，2018~2023
年前三季度全国城镇居民人均消费支
出先增后减再增，A错误；
对于B，由题中折线图知人均可支配收
入逐年递增，B正确；
对于C，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为39 428-29 599=9 829(元)，
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答案
人均消费支出的极差为24 315-19 014=
5 301(元)，C错误；
对于D，2018~2023年前三季度全国城
镇居民人均消费支出的中位数为
=21 180(元)，D正确.
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答案
16.中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想+艺术+技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴.2023年12月2日，中央广播电视总台发布了甲辰龙年春晚的主标识——龘.为了解大家对这一标识的看法，某网站进行了一次网络调研，并
将参与调查的网友对这一标识的打分情况(分数
在50分到100分之间)绘制成频率分布直方图如图
所示.
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答案
(1)求网友打分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)、中位数(保留一位小数)；
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答案
网友打分的平均数为
(55×0.005+65×0.035+75×0.030+85×0.020
+95×0.010)×10=74.5.
分数在[50，70)内的频率(0.005+0.035)×10=
0.4<0.5，
分数在[50，80)内的频率0.4+0.030×10=0.7>0.5，
设中位数为x，则x∈[70，80)，
0.4+(x-70)×0.030=0.5，得x≈73.3，即中位数约为73.3.
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答案
(2)设网友打分的平均数为μ，若按打分是否在区间[μ-m，μ+m](m>0)内进行比例分配的分层随机抽样，抽取10人进行深度调研，打分在区间[μ-m，μ+m]内的抽取8人，试估计m的值(保留两位小数).
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答案
由(1)可知μ=74.5.
要使抽取的10人中打分在[74.5-m，74.5+m]
内的人数为8，
则打分在区间[74.5-m，74.5+m]内的频率为0.8.
若m=5.5，则[74.5-m，74.5+m]=[69，80]，
频率0.03×10+×0.035×10=0.335<0.8；
若m=14.5，则[74.5-m，74.5+m]=[60，89]，
频率0.035×10+0.03×10+×0.020×10=0.83>0.8.
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答案
所以5.5
×0.020×10=0.8，
解得m≈13.95，即m的值约为13.95.
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答案9.2.3 总体集中趋势的估计
[学习目标] 1.能够正确计算平均数、中位数、众数.2.掌握利用样本的平均数、众数、中位数估计总体的集中趋势的方法，从而解决相关的实际问题.3.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势.
一、众数、中位数、平均数
问题1 如何求一组数据的众数、中位数和平均数？
知识梳理
1.众数：一组数据中出现次数 的数.
2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数.
3.平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，
那么= 叫做这n个数的平均数.
例1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示.
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求出这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的个数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数.
跟踪训练1 已知一组数据为52，49，48，54，47，48，55，52，则该组数据的中位数为 ，众数为 ，平均数为 .
二、总体集中趋势的估计
问题2 我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.从下面的三幅图中，你能得到平均数和中位数的大小存在什么关系吗？
问题3 什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描述？什么样的问题可以用众数描述？
例2 某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：
甲 7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2
8.3 8.4 9.9
乙 7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3
8.3 8.5 8.5
选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数，那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？
跟踪训练2 某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级(选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级)的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是( )
A.3，5 B.3，3
C.3.5，5 D.3.5，4
三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
例3 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
跟踪训练3 根据如图所示的频率分布直方图求出样本数据的众数、中位数和平均数.
1.知识清单：中位数、众数、平均数的计算及应用.
2.方法归纳：数据分析统计.
3.常见误区：求中位数时未对数据进行排序.
1.在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96.关于这组数据，下列说法错误的是( )
A.众数是83 B.中位数是83
C.极差是30 D.平均数是83
2.(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是( )
A.中位数可以准确地反映出总体的情况
B.平均数可以准确地反映出总体的情况
C.众数可以准确地反映出总体的情况
D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
3.已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是 .
4.某天文社团随机调查了100位天文爱好者的年龄，得到样本数据的频率分布直方图，如图所示，则这100位天文爱好者的平均年龄约为 岁.
答案精析
问题1 平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才可求出.
中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.它的求出不需或只需简单的计算.
众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出.
知识梳理
1.最多
3.(x1+x2+…+xn)
例1 解 在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数=×(1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4+1.80×1+1.85×1+1.90×1)=≈1.69.
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
跟踪训练1 50.5 48和52 50.625
问题2 一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图(2))，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(图(3))，那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.
问题3 一般地，对数值型的数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.
例2 解 甲选手的最后得分为×(7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4)=8，
乙选手的最后得分为×(7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5)=8.062 5.
若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，
则甲选手的得分为×(7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.9)=8.14，
乙选手的得分为×(7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5)=8.05.
去掉最高分与最低分时，甲的得分小于乙的得分，即乙的排名靠前；若直接用10位评委评分的平均数作为得分，则甲的得分大于乙的得分，即甲的排名靠前.两种评分下，甲、乙两位选手的排名不同，去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数作为选手的最后得分更好，这是因为平均数对样本数据的极端值比较“敏感”.
跟踪训练2 C
例3 解 (1)众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数m=75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4<0.5，
前4个小矩形面积和为0.4+0.03×10=0.7>0.5，
所以中位数n=70+≈73.3.
(2)依题意得，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，
所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.
则估计这次考试物理成绩的平均分是71分.
跟踪训练3 解 在[124.5，126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数约为125.5.中位数左边和右边的直方图的面积相等，设中位数为x，则由图可知x在区间[124.5，126.5)内，则(x-124.5)×0.2+2×0.075+2×0.05=0.5，解得x=125.75，即中位数约为125.75.使用组中值求平均数，则=121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4+127.5×0.2+129.5×0.15=125.8.即平均数约为125.8.
随堂演练
1.D 2.ABC 3.3 4.21.4作业47 总体集中趋势的估计
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，则该组数据的平均数、中位数和众数的大小关系是( )
A.平均数>中位数>众数
B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数
D.平均数=中位数=众数
2.在某次考试中，共有100名学生参加考试，如果某题的得分情况如表所示：
得分 0分 1分 2分 3分 4分
百分率 37.0% 8.6% 6.0% 28.2% 20.2%
那么这些得分的众数是( )
A.37.0% B.20.2%
C.0分 D.4分
3.数据x1，x2，x3，…，xm的平均数为，数据y1，y2，y3，…，yn的平均数为，则数据x1，x2，x3，…，xm，y1，y2，y3，…，yn的平均数为( )
A.+ B.+
C. D.
4.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )
A.平均数 B.极差
C.中位数 D.以上都不对
5.(2024·新课标全国Ⅱ)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
亩产量 ［900，950) ［950，1 000) ［1 000，1 050) ［1 050，1 100) ［1 100，1 150) ［1 150，1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
6.(多选)一条青果巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集.基于此，某中学举行了一次“红色青果”知识竞赛.学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩，整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有( )
A.样本的众数为75
B.样本的平均数为68.5
C.样本的中位数为75
D.估计该校学生中得分不低于80分的占20%
7.(5分)从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如下：
甲：79 78 80 x 85 92 96
乙：72 81 81 y 91 91 96
其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x= ，y= .
8.(5分)某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们某天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为 h.
9.(10分)有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.0×10-6的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在100条鱼的样本中发现的汞含量(乘以百万分之一)统计得到频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值；(3分)
(2)请估计该样本数据的平均数和中位数(假设各组数据在组内均匀分布)；(4分)
(3)从实际情况看，许多鱼汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过.你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.0×10-6大吗？请说明理由.(3分)
10.(11分)甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示.
(1)请填写表格.(6分)
平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)
甲
乙
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？(1分)
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？(2分)
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？(2分)
11.如图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下列说法正确的是( )
A.M>N B.M
12.某校在劳动基地开展“开垦菜地、种植蔬菜”的实践活动.某班级统计其负责菜地连续八周的蔬菜周产量(单位：斤)，并制作折线图如图所示.根据折线图信息，下列结论中不正确的是( )
A.这八周周产量的众数为19
B.共有4周周产量超过周产量的平均数
C.这八周周产量的中位数小于周产量的平均数
D.前四周周产量的极差大于后四周周产量的极差
13.国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值(单位：亿千瓦时)，并与上一年同期相比较，得到同比增长率(注：同比增长率=今年月发电量-去年同期月发电量)÷去年同期月发电量×100%)，统计图如图所示，下列说法不正确的是( )
A.2023年第一季度的月发电量平均值约为204.2
B.2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量
C.2022年11月发电量高于该年12月发电量
D.2023年下半年发电量的中位数为245.2
14.(5分)有一容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如表：
起始月薪 (百元) ［33，34) ［34，35) ［35，36) ［36，37) ［37，38) ［38，39) ［39，40) ［40，41］
频数 7 11 26 23 15 8 4 6
从上表中，估计该校毕业生起始月薪平均值是 .
15.(多选)人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则下列说法正确的是( )
A.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
B.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
C.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小
D.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21 180元
16.(12分)中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想+艺术+技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴.2023年12月2日，中央广播电视总台发布了甲辰龙年春晚的主标识——龘.为了解大家对这一标识的看法，某网站进行了一次网络调研，并将参与调查的网友对这一标识的打分情况(分数在50分到100分之间)绘制成频率分布直方图如图所示.
(1)求网友打分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)、中位数(保留一位小数)；(6分)
(2)设网友打分的平均数为μ，若按打分是否在区间［μ-m，μ+m］(m>0)内进行比例分配的分层随机抽样，抽取10人进行深度调研，打分在区间［μ-m，μ+m］内的抽取8人，试估计m的值(保留两位小数).(6分)
答案精析
1.D 2.C 3.D 4.C 5.C
6.AB [依题意，(0.015+0.025+0.035+0.005+2a)×10=1，
解得a=0.010，
选项A，∵最高小矩形的中点横坐标为75，∴众数是75，故A正确；
选项B，平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5，故B正确；
选项C，∵10×(0.010+0.015+0.025)=0.5，
∴样本的中位数为70，故C错误；
选项D，估计该校学生中得分不低于80分的占(0.010+0.005)×10=15%，故D错误.]
7.85 85 8.0.9
9.解 (1)(0.2+0.8+0.6+a+0.1)×0.5=1，
解得a=0.3.
(2)=0.1×0.25+0.4×0.75+0.3×1.25+0.15×1.75+0.05×2.25
=1.075.
估计该样本数据的平均数为1.075.
由0.5×(0.2+0.8)=0.5，
所以估计该样本数据的中位数为1.0.
(3)不一定(不能).
理由：①不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同；②样本指标只能作为估计值.(理由说明一点就可以)
10.解 (1)由题图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
甲的平均数是×(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7，中位数是=7.5，命中9环及9环以上的次数是3.
乙的平均数是×(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.
(2)由(1)知，①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲的成绩较好.
②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲的成绩较好.
③从题中的折线图看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力.
11.B [平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每一个数据都有关系；将一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数，叫做这组数据的中位数，平均数和中位数的大小关系与数据分布的形态有关，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”的那边，如图(1)，中位数与平均数相等，如图(2)，中位数小于平均数，如图(3)，中位数大于平均数，结合给定的频率分布直方图，可知数据的中位数N更大一些，即M
13.C [由图中数据可知，2023年第一季度的月发电量平均值约为=≈204.2，A正确；
由图中数据可知，2023年4月的同比增长率为负数，
故该月发电量低于上一年同期发电量，B正确；
根据同比增长率公式可知，2022年11月发电量为≈173.3，
2022年12月发电量为≈179.6，而179.6>173.3，
则2022年11月发电量低于该年12月发电量，C错误；
2023年下半年发电量按从小到大的顺序排列如下：
210.5，234.6，244.3，246.1，258.9，269.2，
所以中位数为=245.2，D正确.]
14.3 648元
解析 设这100名毕业生起始月薪平均值为，则=33.5×+34.5×+35.5×+36.5×+37.5×+38.5×+39.5×+40.5×=36.48(百元)，所以估计该校毕业生起始月薪平均值是3 648元.
15.BD [对于A，由题中折线图知，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，A错误；
对于B，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，B正确；
对于C，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为39 428-29 599=9 829(元)，
人均消费支出的极差为24 315-19 014=5 301(元)，C错误；
对于D，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为=21 180(元)，D正确.]
16.解 (1)网友打分的平均数为
(55×0.005+65×0.035+75×0.030+85×0.020+95×0.010)×10=74.5.
分数在[50，70)内的频率(0.005+0.035)×10=0.4<0.5，
分数在[50，80)内的频率0.4+0.030×10=0.7>0.5，
设中位数为x，则x∈[70，80)，
0.4+(x-70)×0.030=0.5，
得x≈73.3，
即中位数约为73.3.
(2)由(1)可知μ=74.5.
要使抽取的10人中打分在[74.5-m，74.5+m]内的人数为8，
则打分在区间[74.5-m，74.5+m]内的频率为0.8.
若m=5.5，则[74.5-m，74.5+m]=[69，80]，
频率0.03×10+×0.035×10=0.335<0.8；
若m=14.5，则[74.5-m，74.5+m]=[60，89]，
频率0.035×10+0.03×10+×0.020×10=0.83>0.8.
所以5.5
0.035×10+×0.020×10=0.8，
解得m≈13.95，即m的值约为13.95.
