(共89张PPT)
8.6.2
第八章
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直线与平面垂直的性质定理
1.通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面的关系，掌握直线与平面垂直的性质定理，并加以证明.(重点)
2.会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.(重点)
3.会求直线与平面、平面与平面的距离.(难点)
学习目标
在平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？本节课我们就来学习一下！
导 语
一、直线与平面垂直的性质定理及应用
二、直线与平面垂直关系的综合应用
课时对点练
三、空间中的距离问题
随堂演练
内容索引
直线与平面垂直的性质定理及应用
一
提示 平行.
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
问题1
提示 一定平行.
如图，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？
问题2
提示 如图，假设b与a不平行且b∩α=O，显然点O不在
直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面，在该平面
内过点O作直线b'∥a，则直线b与b'是相交于点O的两条
不同直线，所以直线b与b'可确定平面β，设α∩β=c，则
O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为b'∥a，所以b'⊥c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b'与c垂直，显然不可能.因此b∥a.
你能证明问题2所得结论吗？
问题3
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____
符号语言 a∥b
图形语言
平行
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
(2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据.
(3)其逆定理也成立：即两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
注 意 点
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如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.
例 1
如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点.
(2)利用平面几何的知识：三角形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理等.
(3)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线.
(4)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(5)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(6)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
反
思
感
悟
证明线线平行常用的方法
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD=AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
求证：AE∥MN.
跟踪训练 1
因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD=AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD=C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
二
直线与平面垂直
关系的综合应用
如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：=.
例 2
∵PA⊥平面ABD，
PC⊥平面BCD，
∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC=P，PC，PA 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC，
∴EF⊥平面PAC，
∴EF∥BD，∴=.
反
思
感
悟
要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法.
如图，已知α∩β=AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB.
跟踪训练 2
∵α∩β=AB，
∴AB α，AB β，∵PO⊥β，∴PO⊥AB.
∵PQ⊥α，∴PQ⊥AB.
∵PO∩PQ=P，PO，PQ 平面PQO，
∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α，∴PQ∥OR.
∴PQ与OR确定平面PQRO.
又QR 平面PQRO，∴QR⊥AB.
空间中的距离问题
三
若直线l∥平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等吗？
提示 相等.
问题4
你能证明问题4吗？
提示 如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1∥BB1，
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1，
∵l∥α，∴l∥A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1=BB1.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
问题5
1.直线与平面的距离
一条直线与一个平面 时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2.平面与平面的距离
如果两个平面 ，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
平行
任意一点
平行
任意一点
相等
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.
例 3
由长方体ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，
BE 平面ABB1A1，
所以B1C1⊥BE，
因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，
B1C1，EC1 平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1，
因为EB1 平面EB1C1，
所以BE⊥EB1，所以∠BEB1=90°，
由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB=∠A1EB1=45°，
所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，
E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，
所以点E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C
的距离，且AB=3，
所以四棱锥E-BB1C1C的体积
V=AB·=×3×6×3=18.
反
思
感
悟
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(或等分点)转化为另一点到平面的距离.
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.
空间中距离的转化
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.
(1)求证：AE⊥平面PAD；
跟踪训练 3
因为底面ABCD为菱形，
∠ABC=60°，
所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，
所以AE⊥BC，
因为AD∥BC，所以AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，所以AE⊥平面PAD.
(2)若AB=AP=2，求点P到平面AMC的距离.
因为AB=AP=2，则AD=2，AE=，
所以VP-AMC=VC-PAM=S△PAM·AE
=×××2×2×=.
设点P到平面AMC的距离为h，
即S△AMC·h=.
易知PD=2，PM=，PC=2，CD=2，
所以在△PCD和△PCM中，由余弦定理得
cos∠CPM==，
所以CM=2，
在△AMC中，AM=，AC=CM=2，
所以S△AMC=××=，
所以×h=，所以h=.
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的性质定理及应用.
(2)直线与平面垂直关系的综合应用.
(3)直线与平面、平面与平面的距离.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：距离转化不当导致错误.
随堂演练
四
1.线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30 cm和50 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为
A.40 cm B.10 cm
C.80 cm D.40 cm或10 cm
√
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4
2.如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为
A. B.1
C.2 D.
√
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由题意，得B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底
面ABCD所成的角，则∠B1AB=60°，因为正四棱柱
ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，所以B1B=AB×tan 60°
=，即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为.
又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以
A1C1到底面ABCD的距离为A1A=.
3.(多选)下列命题正确的是
A. b⊥α B. b∥α
C. a⊥β D. a∥b
√
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√
√
4.(多选)直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是
A.a和b垂直于正方体的同一个面
B.a和b在正方体两个相对的面内，且共面
C.a和b平行于同一条棱
D.a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直
√
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√
√
A为直线与平面垂直的性质定理的应用；
B为平面平行的性质；
C为基本事实4的应用.
课时对点练
五
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B D AC A 6 30°
题号 11 12 13 14 15
答案 B ABC ACD 1 C
对一对
答案
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9.
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a.
又因为a⊥AB，AB∩EB=B，AB，EB 平面ABE，所以a⊥平面ABE.
因为α∩β=l，所以l α，l β.
因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.
又因为EA∩EB=E，
EA，EB 平面ABE，
所以l⊥平面ABE.所以a∥l.
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10.
(1)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC和△ACD都是正三角形，取BC的中点M，连接EM，AM，如图所示.因为M为BC的中点，
所以BC⊥AM.
因为EB=EC，所以BC⊥ME，
又ME∩AM=M，
AM，ME 平面MAE，
所以BC⊥平面MAE，
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10.
又AE 平面MAE，所以BC⊥EA.
同理可得CD⊥EA.
因为BC∩CD=C，
BC，CD 平面ABCD，
所以EA⊥平面ABCD.
答案
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10.
(2)由(1)得EA⊥平面ABCD，
因为CF∥AE，所以CF⊥平面ABCD.
因为AM 平面ABCD，
所以CF⊥AM.
又BC⊥AM，CF∩BC=C，
CF，BC 平面FCB，
所以AM⊥平面FCB.
答案
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由题意易得AM=，
又CF∥AE，CF 平面FCB，
AE 平面FCB，
所以AE∥平面FCB，所以点E到平面FCB的距离等于
点A到平面FCB的距离，即AM的长.
故VF-ECB=VE-FCB=S△FCB·AM=××3×2×=.
答案
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16.
(1)连接EF(图略)，由题意知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF2+BF2=20+16
=36=PB2，
所以PF⊥BF.
易得EF==，
在△PEF中，EF2+PF2=61+20
=81=PE2，
答案
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所以PF⊥EF.
又BF∩EF=F，BF，EF 平面ABED，
所以PF⊥平面ABED.
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16.
(2)由(1)知，PF⊥平面ABED，连接AE(图略)，
则PF为三棱锥P-ABE的高.
设点A到平面PBE的距离为h，
由VA-PBE=VP-ABE，
得×S△PBE×h=×S△ABE×PF.
又S△PBE=×6×9=27，
答案
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16.
S△ABE=×12×6=36，
所以h===，
即点A到平面PBE的距离为.
1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质可得两直线的位置关系是平行.
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基础巩固
答案
2.直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线
A.只有一条 B.有无数条
C.是平面内的所有直线 D.不存在
当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；
当a α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；
当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.
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答案
√
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为
A.1 B.
C.2 D.2
如图，连接AC，交BD于点E，易知AC⊥平面BDD1B1，
所以CE的长即为点C到平面BDD1B1的距离 .
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，可知AC=2.
故CE=.
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答案
4.地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是b米和c米(b>c)，则它们上端的距离为
A. B.
C. D.
如图，由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，过点A作AE⊥CD于点E，则DE=b-c，故AD=.
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答案
5.(多选)已知平面α和两条不同的直线m，n，下面的条件中一定可以推出m⊥n的是
A.m⊥α，n∥α B.m⊥α，n⊥α
C.m α，n⊥α D.m∥α，n∥α
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答案
√
对选项A，若m⊥α，n∥α，则存在直线b α，且n∥b，因为m⊥α，b α，所以m⊥b，即m⊥n，故A正确；
对选项B，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故B错误；
对选项C，m α，n⊥α，则m⊥n，故C正确；
对选项D，若m∥α，n∥α，则m，n的位置关系为平行、相交或异面，故D错误.
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答案
6.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为
A.2 B.7
C. D.
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答案
如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则
△PCM是直角三角形，故PM2=PC2+CM2，所以当
CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.
由条件知AC=4，BC=4，因为AB=8，故CM的最
小值为=2，
又PC=4，
则PM的最小值为=2.
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答案
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1各表面上的对角线中，与体对角线AC1垂直的面对角线共有 条.
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答案
6
如图所示，BD⊥AC，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面BCD，BD
平面BCD，
所以CC1⊥BD，
又AC∩CC1=C，AC，CC1 平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，
又AC1 平面ACC1，所以AC1⊥BD.
同理可得，A1B，A1D，B1D1，D1C，B1C都与AC1垂直，共6条.
8.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成角的大小是 .
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答案
30°
如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥
BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，设CD与
AB相交于O，则AB=10 cm，AC=3 cm，BD=2 cm，
则AO=6 cm，BO=4 cm，
所以∠AOC=∠BOD=30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.
9.如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB.求证：a∥l.
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答案
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a.
又因为a⊥AB，AB∩EB=B，AB，EB 平面ABE，
所以a⊥平面ABE.
因为α∩β=l，所以l α，l β.
因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.
又因为EA∩EB=E，EA，EB 平面ABE，
所以l⊥平面ABE.所以a∥l.
10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，EB=EC=ED，CF∥AE，AB=2，CF=3.
(1)求证：EA⊥平面ABCD；
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在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC和△ACD都是正三角形，取BC的中点M，连接EM，AM，如图所示.
因为M为BC的中点，所以BC⊥AM.
因为EB=EC，所以BC⊥ME，
又ME∩AM=M，AM，ME 平面MAE，
所以BC⊥平面MAE，又AE 平面MAE，所以BC⊥EA.
同理可得CD⊥EA.
因为BC∩CD=C，BC，CD 平面ABCD，所以EA⊥平面ABCD.
(2)求四面体F-ECB的体积.
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由(1)得EA⊥平面ABCD，
因为CF∥AE，所以CF⊥平面ABCD.
因为AM 平面ABCD，所以CF⊥AM.
又BC⊥AM，CF∩BC=C，
CF，BC 平面FCB，
所以AM⊥平面FCB.
由题意易得AM=，
又CF∥AE，CF 平面FCB，AE 平面FCB，
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答案
所以AE∥平面FCB，所以点E到平面FCB的距离等于
点A到平面FCB的距离，即AM的长.
故VF-ECB=VE-FCB=S△FCB·AM
=××3×2×=.
11.三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，且PA=PB=PC=1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为
A. B.
C. D.
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综合运用
答案
空间四个点P，A，B，C在同一球面上，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，
则PA，PB，PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P，A，B，C的球即为正方体的外接球，
球的直径即是正方体的体对角线，长为，球心O到平面ABC的距离
为体对角线的，
即球心O到平面ABC的距离为.
所以其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为+=.
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答案
12.(多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点.下列结论中正确的是
A.BC⊥PC
B.OM∥平面PAC
C.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的
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答案
√
√
对于A，∵直线PA垂直于圆O所在的平面，∴PA⊥BC.
∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC，
又PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
∴BC⊥PC，A正确；
对于B，∵点M为线段PB的中点，点O为直径AB的中点，∴OM∥PA.又PA 平面PAC，OM 平面PAC，∴OM∥平面PAC，B正确；
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答案
对于C，∵BC⊥平面PAC，∴点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，C正确；
对于D，∵点M为线段PB的中点，∴点M到平面PAC的距离是点B到
平面PAC距离的，
∴VM-PAC=VB-PAC，又VB-PAC=VP-ABC，
∴VM-PAC=VP-ABC，D不正确.
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答案
13.(多选)如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则下列结论正确的是
A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C
B.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为
C.当∠B'DC=60°时，点A到B'C的距离为
D.当∠B'DC=90°时，点C到平面ADB'的距离为
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答案
√
√
因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'=D，DC，DB'
平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；
当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥
A-DB'C的体积也最大，最大值为××××=，
故B错误；
当∠B'DC=60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE，DE(图略)，
则AE⊥B'C，即AE为点A到B'C的距离，
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答案
AE==，故C正确；
当∠B'DC=90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，AD∩DB'=D，
AD，DB' 平面ADB'，故CD⊥平面ADB'，则CD就是点
C到平面ADB'的距离，CD=，故D正确.
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答案
14.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BED的距离为 .
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答案
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如图，连接AC交BD于点O，连接OE.在△CC1A中，易证OE∥AC1.
又OE 平面BED，AC1 平面BED，∴AC1∥平面BED，∴直线AC1到平面BED的距离为点A到平面BED的距离.
连接AE，VE-ABD=S△ABD·EC=××2×2×=.
在△BED中，BD=2，BE=，DE=，
∴S△BED=×2×=2.
设点A到平面BED的距离为h，
由VA-BDE=VE-ABD，得S△BED·h=×2×h=h=，解得h=1.
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答案
拓广探究
15.用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为
A. B.
C. D.2
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答案
由题意知，正六面体ABCD-A1B1C1D1是棱长为4的正
方体，
∵AB1∥C1D，B1D1∥BD，AB1∩B1D1=B1，
C1D∩BD=D，
∴平面AB1D1∥平面BC1D，
连接A1C，如图所示，∵B1D1⊥AC，B1D1⊥AA1，AC∩AA1=A，AC，AA1 平面AA1C，
∴B1D1⊥平面AA1C，
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答案
又A1C 平面AA1C，∴B1D1⊥A1C，同理可证AD1⊥A1C，
又B1D1 ∩AD1=D1，B1D1，AD1 平面AB1D1，
∴A1C⊥平面AB1D1.
∴A1C⊥平面BC1D.
设A1C与平面AB1D1交于点E，与平面BC1D交于点F，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为线段EF的长.
由题意知，A1C==4，
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答案
=·A1E=A1E，=·AA1=，
∴A1E=，即A1E=，
同理可得CF=，
∴EF=A1C-A1E-CF=.
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答案
16.如图①，在矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图②所示)，连接AP，PF，其中PF=2.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
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答案
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答案
连接EF(图略)，由题意知，PB=BC=6，
PE=CE=9，
在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，
所以PF⊥BF.
易得EF==，
在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，
所以PF⊥EF.
又BF∩EF=F，BF，EF 平面ABED，所以PF⊥平面ABED.
(2)求点A到平面PBE的距离.
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答案
由(1)知，PF⊥平面ABED，连接AE(图略)，则PF为三棱锥P-ABE的高.
设点A到平面PBE的距离为h，
由VA-PBE=VP-ABE，
得×S△PBE×h=×S△ABE×PF.
又S△PBE=×6×9=27，
S△ABE=×12×6=36，
所以h===，
即点A到平面PBE的距离为.
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答案8.6.2 直线与平面垂直的性质定理
[学习目标] 1.通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面的关系，掌握直线与平面垂直的性质定理，并加以证明.2.会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.3.会求直线与平面、平面与平面的距离.
一、直线与平面垂直的性质定理及应用
问题1 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
问题2 如图，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？
问题3 你能证明问题2所得结论吗？
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言 a∥b
图形语言
例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.
跟踪训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD=AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.求证：AE∥MN.
二、直线与平面垂直关系的综合应用
例2 如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：=.
跟踪训练2 如图，已知α∩β=AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB.
三、空间中的距离问题
问题4 若直线l∥平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等吗？
问题5 你能证明问题4吗？
知识梳理
1.直线与平面的距离
一条直线与一个平面 时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2.平面与平面的距离
如果两个平面 ，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
例3 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.
反思感悟 空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(或等分点)转化为另一点到平面的距离.
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.
跟踪训练3 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.
(1)求证：AE⊥平面PAD；
(2)若AB=AP=2，求点P到平面AMC的距离.
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的性质定理及应用.
(2)直线与平面垂直关系的综合应用.
(3)直线与平面、平面与平面的距离.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：距离转化不当导致错误.
1.线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30 cm和50 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为( )
A.40 cm B.10 cm
C.80 cm D.40 cm或10 cm
2.如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B.1
C.2 D.
3.(多选)下列命题正确的是( )
A. b⊥α
B. b∥α
C. a⊥β
D. a∥b
4.(多选)直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是( )
A.a和b垂直于正方体的同一个面
B.a和b在正方体两个相对的面内，且共面
C.a和b平行于同一条棱
D.a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直
答案精析
问题1 平行.
问题2 一定平行.
问题3 如图，假设b与a不平行且b∩α=O，显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面，在该平面内过点O作直线b'∥a，则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线，所以直线b与b'可确定平面β，设α∩β=c，则O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为b'∥a，所以b'⊥c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b'与c垂直，显然不可能.因此b∥a.
知识梳理
平行
例1 证明 如图所示，连接AB1，
B1C，BD，B1D1，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C=C，
AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C=C，
AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
跟踪训练1 证明 因为AB⊥平面PAD，
AE 平面PAD，
所以AE⊥AB，又AB∥CD，
所以AE⊥CD.
因为AD=AP，E是PD的中点，
所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D，
CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，
所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD=C，
PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
例2 证明 ∵PA⊥平面ABD，
PC⊥平面BCD，
∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC=P，
PC，PA 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC=C，
PC，AC 平面PAC，
∴EF⊥平面PAC，
∴EF∥BD，∴=.
跟踪训练2 证明 ∵α∩β=AB，
∴AB α，AB β，
∵PO⊥β，∴PO⊥AB.
∵PQ⊥α，∴PQ⊥AB.
∵PO∩PQ=P，
PO，PQ 平面PQO，
∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α，
∴PQ∥OR.
∴PQ与OR确定平面PQRO.
又QR 平面PQRO，∴QR⊥AB.
问题4 相等.
问题5 如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1∥BB1，
设直线AA1，BB1确定的平面为β，
β∩α=A1B1，
∵l∥α，∴l∥A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形.
∴AA1=BB1.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
知识梳理
1.平行 任意一点
2.平行 任意一点 相等
例3 解 由长方体ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，
BE 平面ABB1A1，
所以B1C1⊥BE，
因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，
B1C1，EC1 平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1，
因为EB1 平面EB1C1，
所以BE⊥EB1，所以∠BEB1=90°，
由题设可知
Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB=∠A1EB1=45°，
所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，
所以点E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，
且AB=3，
所以四棱锥E-BB1C1C的体积
V=AB·=×3×6×3=18.
跟踪训练3 (1)证明 因为底面ABCD为菱形，
∠ABC=60°，
所以△ABC为正三角形，
因为E是BC的中点，
所以AE⊥BC，
因为AD∥BC，所以AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，
AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，
PA，AD 平面PAD，
所以AE⊥平面PAD.
(2)解 因为AB=AP=2，
则AD=2，AE=，
所以VP-AMC=VC-PAM=S△PAM·AE
=×××2×2×=.
设点P到平面AMC的距离为h，
即S△AMC·h=.
易知PD=2，PM=，PC=2，CD=2，
所以在△PCD和△PCM中，由余弦定理得cos∠CPM=
=，
所以CM=2，
在△AMC中，AM=，AC=CM=2，
所以S△AMC=××
=，
所以×h=，所以h=.
随堂演练
1.D 2.D 3.ACD 4.ABC作业36 直线与平面垂直的性质定理
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
2.直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线( )
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面内的所有直线
D.不存在
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为( )
A.1 B. C.2 D.2
4.地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是b米和c米(b>c)，则它们上端的距离为( )
A. B.
C. D.
5.(多选)已知平面α和两条不同的直线m，n，下面的条件中一定可以推出m⊥n的是( )
A.m⊥α，n∥α B.m⊥α，n⊥α
C.m α，n⊥α D.m∥α，n∥α
6.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A.2 B.7 C. D.
7.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1各表面上的对角线中，与体对角线AC1垂直的面对角线共有 条.
8.(5分)一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成角的大小是 .
9.(10分)如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB.求证：a∥l.
10.(10分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，EB=EC=ED，CF∥AE，AB=2，CF=3.
(1)求证：EA⊥平面ABCD；(5分)
(2)求四面体F-ECB的体积.(5分)
11.三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，且PA=PB=PC=1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
12.(多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点.下列结论中正确的是( )
A.BC⊥PC
B.OM∥平面PAC
C.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的
13.(多选)如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则下列结论正确的是( )
A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C
B.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为
C.当∠B'DC=60°时，点A到B'C的距离为
D.当∠B'DC=90°时，点C到平面ADB'的距离为
14.(5分)已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BED的距离为 .
15.用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为( )
A. B. C. D.2
16.(12分)如图①，在矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图②所示)，连接AP，PF，其中PF=2.
(1)求证：PF⊥平面ABED；(6分)
(2)求点A到平面PBE的距离.(6分)
答案精析
1.B 2.B 3.B 4.D 5.AC
6.A [如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2=PC2+CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC=4，BC=4，因为AB=8，故CM的最小值为=2，
又PC=4，
则PM的最小值为=2.]
7.6
解析 如图所示，BD⊥AC，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面BCD，BD 平面BCD，
所以CC1⊥BD，
又AC∩CC1=C，AC，CC1 平面ACC1，
所以BD⊥平面ACC1，
又AC1 平面ACC1，
所以AC1⊥BD.
同理可得，A1B，A1D，B1D1，D1C，B1C都与AC1垂直，共6条.
8.30°
解析 如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，设CD与AB相交于O，则AB=10 cm，
AC=3 cm，BD=2 cm，
则AO=6 cm，BO=4 cm，
所以∠AOC=∠BOD=30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.
9.证明 因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a.
又因为a⊥AB，AB∩EB=B，AB，EB 平面ABE，所以a⊥平面ABE.
因为α∩β=l，所以l α，l β.
因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.
又因为EA∩EB=E，
EA，EB 平面ABE，
所以l⊥平面ABE.所以a∥l.
10.(1)证明 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC和△ACD都是正三角形，取BC的中点M，连接EM，AM，如图所示.因为M为BC的中点，
所以BC⊥AM.
因为EB=EC，所以BC⊥ME，
又ME∩AM=M，
AM，ME 平面MAE，
所以BC⊥平面MAE，
又AE 平面MAE，所以BC⊥EA.
同理可得CD⊥EA.
因为BC∩CD=C，
BC，CD 平面ABCD，
所以EA⊥平面ABCD.
(2)解 由(1)得EA⊥平面ABCD，
因为CF∥AE，所以CF⊥平面ABCD.
因为AM 平面ABCD，
所以CF⊥AM.
又BC⊥AM，CF∩BC=C，
CF，BC 平面FCB，
所以AM⊥平面FCB.
由题意易得AM=，
又CF∥AE，CF 平面FCB，
AE 平面FCB，
所以AE∥平面FCB，所以点E到平面FCB的距离等于点A到平面FCB的距离，即AM的长.故VF-ECB=VE-FCB=S△FCB·AM
=××3×2×=.
11.B [空间四个点P，A，B，C在同一球面上，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则PA，PB，PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P，A，B，C的球即为正方体的外接球，球的直径即是正方体的体对角线，长为，球心O到平面ABC的距离为体对角线的，即球心O到平面ABC的距离为.所以其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为+=.]
12.ABC [对于A，∵直线PA垂直于圆O所在的平面，∴PA⊥BC.
∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC，
又PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，
∴BC⊥PC，A正确；
对于B，∵点M为线段PB的中点，点O为直径AB的中点，∴OM∥PA.
又PA 平面PAC，OM 平面PAC，
∴OM∥平面PAC，B正确；
对于C，∵BC⊥平面PAC，
∴点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，C正确；
对于D，∵点M为线段PB的中点，
∴点M到平面PAC的距离是点B到平面PAC距离的，
∴VM-PAC=VB-PAC，
又VB-PAC=VP-ABC，
∴VM-PAC=VP-ABC，D不正确.]
13.ACD [因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'=D，DC，DB' 平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最大值为××××=，故B错误；当∠B'DC=60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE，DE(图略)，
则AE⊥B'C，即AE为点A到B'C的距离，
AE==，故C正确；
当∠B'DC=90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，AD∩DB'=D，AD，DB' 平面ADB'，故CD⊥平面ADB'，则CD就是点C到平面ADB'的距离，CD=，故D正确.]
14.1
解析 如图，连接AC交BD于点O，
连接OE.
在△CC1A中，
易证OE∥AC1.
又OE 平面BED，
AC1 平面BED，
∴AC1∥平面BED，
∴直线AC1到平面BED的距离为点A到平面BED的距离.
连接AE，VE-ABD=S△ABD·EC
=××2×2×=.
在△BED中，BD=2，BE=，DE=，
∴S△BED=×2×
=2.
设点A到平面BED的距离为h，
由VA-BDE=VE-ABD，得S△BED·h=×2×h=h=，
解得h=1.
15.C [由题意知，正六面体ABCD-A1B1C1D1是棱长为4的正方体，
∵AB1∥C1D，
B1D1∥BD，
AB1∩B1D1=B1，
C1D∩BD=D，
∴平面AB1D1∥平面BC1D，
连接A1C，如图所示，∵B1D1⊥AC，B1D1⊥AA1，AC∩AA1=A，AC，AA1 平面AA1C，
∴B1D1⊥平面AA1C，
又A1C 平面AA1C，
∴B1D1⊥A1C，
同理可证AD1⊥A1C，
又B1D1 ∩AD1=D1，
B1D1，AD1 平面AB1D1，
∴A1C⊥平面AB1D1.
∴A1C⊥平面BC1D.
设A1C与平面AB1D1交于点E，与平面BC1D交于点F，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为线段EF的长.
由题意知，A1C==4，
=·A1E=A1E，=·AA1=，
∴A1E=，即A1E=，
同理可得CF=，
∴EF=A1C-A1E-CF=.]
16.(1)证明 连接EF(图略)，由题意知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF2+BF2=20+16
=36=PB2，
所以PF⊥BF.
易得EF==，
在△PEF中，EF2+PF2=61+20
=81=PE2，
所以PF⊥EF.
又BF∩EF=F，BF，EF 平面ABED，
所以PF⊥平面ABED.
(2)解 由(1)知，PF⊥平面ABED，连接AE(图略)，
则PF为三棱锥P-ABE的高.
设点A到平面PBE的距离为h，
由VA-PBE=VP-ABE，
得×S△PBE×h=×S△ABE×PF.
又S△PBE=×6×9=27，
S△ABE=×12×6=36，
所以h===，
即点A到平面PBE的距离为.
