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8.6.3
第八章
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平面与平面垂直的判定定理
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.(重点、难点)
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.(重点)
3.能利用面面垂直的判定定理解决一些综合问题.(难点)
学习目标
回顾两条直线垂直的定义，要先定义角的概念，利用两条直线所成角的特殊情况研究直线垂直，因此，定义两平面垂直，我们先从二面角开始.
导 语
一、二面角的概念
二、平面与平面垂直的定义及应用
课时对点练
三、平面与平面垂直的判定定理及应用
随堂演练
内容索引
二面角的概念
一
提示 卫星的轨道平面与地球的赤道平面、教室的墙面与地面等等.
你能举出哪些两个平面相交的例子？
问题1
提示 指门与门框所成的二面角大一些.取二面角棱l上的一点O在二面角的面上分别作射线OA，OB与二面角的棱垂直，得到∠AOB可以刻画二面角.
我们通常说“把门开大一些”(动手演示教室的门)，是指哪个角大一些？如何去刻画二面角的大小呢？
问题2
提示 无关.
∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？
问题3
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 ，这两个半平面叫做二面角的面.
2.画法：
半平面
棱
3.记法：二面角 或二面角 或二面角P-l-Q或二面角 .
4.二面角的平面角
(1)在二面角α-l-β的棱l上 一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角，如图.
α-l-β
α-AB-β
P-AB-Q
任取
∠AOB
(2)二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是 的二面角叫做直二面角.
0°≤α≤180°
直角
已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.求：
(1)二面角B-PA-D的平面角的大小；
例 1
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°，
∴二面角B-PA-D的平面角为90°.
(2)二面角B-PA-C的平面角的大小；
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
AC 平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°.
即二面角B-PA-C的平面角为45°.
(3)二面角A-PD-C的平面角的大小.
如图，取PD，PC的中点分别为O，M，连接AO，MO，
∵PA⊥平面ABCD，AD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
又PA=AB=AD，∴AO⊥PD.
∵PA⊥CD，又AD⊥CD，
AD，PA 平面PAD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，
∴CD⊥PD，又∵OM∥CD，
∴OM⊥PD，OM⊥平面PAD，
∴OM⊥OA，又∵PD是二面角A-PD-C的棱，
∴∠AOM为二面角A-PD-C的平面角，即为90°.
(1)确定二面角的平面角的方法
①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角.
反
思
感
悟
③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角.
(2)求二面角大小的步骤
①找出这个平面角.
②证明这个角是二面角的平面角.
③作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.
反
思
感
悟
如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小.
跟踪训练 1
由已知得PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形.
∴∠PCA=45°，故二面角P-BC-A的大小为45°.
二
平面与平面垂直的定义及应用
提示 可以构成3个二面角，分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角.它们构成的二面角是直二面角，即二面角的度数为90°.
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？这些二面角的大小是多少？
问题4
平面与平面垂直的定义与画法
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β.
(2)画法：
如图所示，在四面体A-BCD中，BD=a，AB=AD=CB=CD=AC=a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
例 2
∵AB=AD=CB=CD=a，
∴△ABD与△BCD是等腰三角形.
取BD的中点E，连接AE，CE，如图，
则AE⊥BD，BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.
在Rt△ABD中，AB=a，
BE=BD=a，∴AE==a.
同理CE=a.
在△AEC中，AE=CE=a，AC=a，
∴AC2=AE2+CE2，
∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，
即二面角A-BD-C的平面角为90°.
∴平面ABD⊥平面BCD.
反
思
感
悟
(1)找出两个相交平面的二面角的平面角.
(2)证明这个二面角的平面角是直角.
(3)根据定义，这两个平面互相垂直.
用定义证明两个平面垂直的步骤
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
求证：平面AEC⊥平面AFC.
跟踪训练 2
如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB=1.
由∠ABC=120°，
可得AG=GC=.
由BE⊥平面ABCD，AB=BC，可得AE=EC.
又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC.
同理可得FG⊥AC，
所以∠EGF为二面角E-AC-F的平面角，
在Rt△EBG中，可得BE==，
故DF=.
在Rt△FDG中，可得FG==.
在直角梯形BDFE中，
由BD=2，BE=，DF=，
可得EF=.
从而EG2+FG2=EF2，
所以EG⊥FG.
即二面角E-AC-F的平面角为90°，
所以平面AEC⊥平面AFC.
平面与平面垂直的判定定理及应用
三
我们教室的建筑者是如何判断教室的墙面与地面是垂直的呢？
提示 用铅锤检测.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，他们就认为墙面垂直于地面.
问题5
你能说出这种方法的数学原理吗？
提示 如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
问题6
面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号表示为：a α，a⊥β α⊥β.简记：线面垂直，面面垂直.
如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，G，F分别为PB，PC的中点，点E在MB上.求证：平面EFG⊥平面PDC.
例 3
∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
∴PD⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.
又PD∩DC=D，PD，DC 平面PDC，
∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，
∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.
又GF 平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PDC.
反
思
感
悟
(1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”.
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
证明面面垂直的方法
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.
求证：平面AEC⊥平面PDB.
跟踪训练 3
∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，
∴AC⊥BD，AC⊥PD，
又PD∩BD=D，PD，BD 平面PDB，
∴AC⊥平面PDB.
又AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的定义及应用.
(3)平面与平面垂直的判定定理及应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：二面角找不到或者找错.
随堂演练
四
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.不存在
由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
√
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2.已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是
A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b β
C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β
由a∥α知，α内必有直线l与a平行，又因为a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.
√
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4
3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-D的大小是
A.30° B.45°
C.60° D.90°
如图，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD'A'，
则AB⊥AD，AB⊥AD'，
则∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角，
又因为四边形ADD'A'为正方形，
所以∠D'AD=45°，
即二面角D'-AB-D的大小是45°.
√
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4
4.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
1
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4
√
如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α-l-β的棱交于点O，连接OE，OF.
因为PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l，
又PE∩PF=P，
所以l⊥平面γ，
又OE，
OF 平面γ，
所以l⊥OE，l⊥OF，
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4
则∠EOF为二面角α-l-β的平面角，且它与∠EPF相等或互补，
故二面角α-l-β的平面角的大小为60°或120°.
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课时对点练
五
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C ACD C 1 5
题号 11 12 13 14 15
答案 A ABC ABD
对一对
答案
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9.
如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，
连接A'M，A'N，MN，则MN∥BC.
∵AB=AD，E是AD的中点，
∴AB=AE，即A'B=A'E.
∴A'N⊥BE.∵A'C=A'D，
∴A'M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
答案
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9.
又MN∩A'M=M，MN，
A'M 平面A'MN，
∴CD⊥平面A'MN，
又A'N 平面A'MN，∴CD⊥A'N.
∵DE∥BC且DE=BC，
∴BE必与CD相交.
又A'N⊥BE，A'N⊥CD，
答案
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9.
∴A'N⊥平面BCDE.
又A'N 平面A'BE，
∴平面A'BE⊥平面BCDE.
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10.
(1)如图，连接CB1交BC1于点F，连接EF，DF，
因为E，F是B1C1，B1C的中点，
所以EF∥CC1，
且EF=CC1，
又因为D是AA1的中点，
所以A1D∥CC1，
且A1D=CC1，
答案
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10.
所以A1D∥EF，且A1D=EF，
因此四边形A1DFE是平行四边形，
所以A1E∥DF，
又因为A1E 平面C1BD，
DF 平面C1BD，
所以A1E∥平面C1BD.
答案
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10.
(2)因为AD=AC=1，
AD⊥AC，CC1⊥AC，
所以∠DCA=∠DCC1=，
CD==，
同理可得∠DC1C=，
因此∠C1DC=，即CD⊥DC1，
又DC1=，BD=，BC1=，
答案
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10.
则D+BD2=B，所以DC1⊥BD，
所以∠CDB是二面角B-DC1-C的平面角，
因为CD2+BC2=BD2，所以△BCD为直角三角形，
所以tan∠CDB===.
故二面角B-DC1-C的正切值为.
答案
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(1)因为PM⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PM⊥BC.
又因为AB⊥BC，AB∩PM=M，
AB，PM 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
答案
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(2)如图，过点P作PN⊥AD，
交AD于点N，连接MN，BD.
由PD=x，x∈(1，)，得CD=-x，
因为BC=1，AB=，AB∥CD，AB⊥BC，
所以AD=，则PD2+PA2=AD2，
所以PD⊥PA，
则PN==，
答案
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16.
AN==，
BD==.
因为PM⊥平面ABCD，
AD 平面ABCD，所以PM⊥AD，
又PM∩PN=P，
PM，PN 平面PMN，
所以AD⊥平面PMN，
答案
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16.
而MN 平面PMN，
所以AD⊥MN.
在△ABD中，由余弦定理得
cos∠BAD==，
所以AM==，
则MN=
=，
答案
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16.
PM==，
所以V=V三棱锥P-AMD=·PM·S△AMD=····=
=
=，
所以当x=时，V取得最大值，最大值为.
1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是
A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
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基础巩固
答案
m∥α，m∥n，∴n∥α或n α，
又n⊥β，∴α⊥β.
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答案
2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
如图所示，设平面ABC⊥平面BCD，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDGM绕DG转动时，平面HDGM始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.
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答案
3.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABC⊥平面BCD
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
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答案
因为AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，所以DE⊥AC，BE⊥AC，
因为DE∩BE=E，DE，BE 平面BDE，
所以AC⊥平面BDE，
因为AC 平面ABC，
所以平面ABC⊥平面BDE，
同理AC 平面ACD，
所以平面ACD⊥平面BDE，故C正确；
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答案
由于平面ABC⊥平面BDE，而平面BDE∩平面ABD
=BD，故平面ABC与平面ABD不垂直，同理可得平
面ABC与平面BCD不垂直，故A，B错误；
平面ABC与平面ACD不一定垂直，故D错误.
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答案
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-A的平面角的正切值等于
A. B.
C. D.
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答案
如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则A1O
⊥BD，AO⊥BD，故∠A1OA为二面角A1-BD-A的平
面角，
设A1A=a，则AO=a，
所以tan∠A1OA===.
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5.(多选)在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个命题中正确的是
A.BC∥平面PDF
B.平面PDF⊥平面ABC
C.DF⊥平面PAE
D.平面PAE⊥平面ABC
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答案
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√
因为D，F分别是AB，AC的中点，
所以DF∥BC，
又DF 平面PDF，BC 平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故A正确；
因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE.
因为AE∩PE=E，AE，PE 平面PAE，所以BC⊥平面PAE.
因为BC 平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故D正确；
因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故C正确；
只有B不正确.
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答案
6.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相
垂直的平面有
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
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答案
因为DA⊥AB，DA⊥PA，
AB∩PA=A，AB，PA 平面PAB，
所以DA⊥平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
同理AB⊥平面PAD，
所以DC⊥平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对.
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答案
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=2，AA1=1，点E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C的大小为45°，则BF= .
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答案
1
易知二面角C1-EF-C的平面角为∠C1FC=45°，
∴在Rt△C1FC中，CC1=CF=1，
∴BF=BC-CF=1.
8.如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB
=20 m，它和坡脚的水平线成30°的角，沿此山路从A走到B后升高 m.
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答案
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如图，过B作BH⊥水平面，过H作HC垂直于坡脚线，连接BC，则∠BAC=30°，由BH⊥AC，HC⊥AC，
BH∩HC=H，得AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC，所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH=30°，
在Rt△ABC和Rt△BCH中，因为AB=20 m，
所以BC=AB·sin 30°=10(m)，
所以BH=BC·sin 30°=5(m).
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答案
9.如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A'BE的位置，使A'C=A'D，求证：平面A'BE⊥平面BCDE.
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答案
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答案
如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，
连接A'M，A'N，MN，则MN∥BC.
∵AB=AD，E是AD的中点，
∴AB=AE，即A'B=A'E.
∴A'N⊥BE.∵A'C=A'D，∴A'M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A'M=M，MN，A'M 平面A'MN，
∴CD⊥平面A'MN，
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答案
又A'N 平面A'MN，∴CD⊥A'N.
∵DE∥BC且DE=BC，∴BE必与CD相交.
又A'N⊥BE，A'N⊥CD，∴A'N⊥平面BCDE.
又A'N 平面A'BE，
∴平面A'BE⊥平面BCDE.
10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点.
(1)求证：A1E∥平面C1BD；
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答案
如图，连接CB1交BC1于点F，连接EF，DF，
因为E，F是B1C1，B1C的中点，所以EF∥CC1，
且EF=CC1，
又因为D是AA1的中点，
所以A1D∥CC1，
且A1D=CC1，
所以A1D∥EF，且A1D=EF，因此四边形A1DFE是平行四边形，
所以A1E∥DF，又因为A1E 平面C1BD，
DF 平面C1BD，所以A1E∥平面C1BD.
(2)AC=BC=1，AB=，AA1=2，求二面角B-DC1-C的正切值.
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答案
因为AD=AC=1，AD⊥AC，CC1⊥AC，
所以∠DCA=∠DCC1=，
CD==，同理可得∠DC1C=，
因此∠C1DC=，即CD⊥DC1，
又DC1=，BD=，BC1=，
则D+BD2=B，所以DC1⊥BD，
所以∠CDB是二面角B-DC1-C的平面角，
因为CD2+BC2=BD2，所以△BCD为直角三角形，
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答案
所以tan∠CDB===.
故二面角B-DC1-C的正切值为.
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答案
11.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面的交线的垂线，垂足为A'，B'，则AB∶A'B'等于
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
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综合运用
答案
连接AB'，A'B(图略).由已知条件可知∠BAB'=，
∠ABA'=，
设AB=2a，则BB'=2asin =a，
A'B=2acos =a，
∴在Rt△BB'A'中，得A'B'=a，
∴AB∶A'B'=2∶1.
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答案
12.(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是
A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是二面角P-AB-C的平面角
√
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答案
√
√
∵点E，F，G分别是所在棱的中点，
∴GF∥PC，GE∥CB，
∵GF，GE 平面PBC，PC，CB 平面PBC，
∴GF∥平面PBC，GE∥平面PBC，
∵GF∩GE=G，GF，GE 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PBC，A正确；
∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
∴GF⊥BC，GF⊥AC，
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答案
又BC∩AC=C，BC，AC 平面ABC，
∴GF⊥平面ABC，∵GF 平面EFG，
∴平面EFG⊥平面ABC，B正确；
易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的
角，C正确；
∵GE与AB不一定垂直，∴∠FEG不一定是二面角P-AB-C的平面角，D错误.
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答案
13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB=BC，PA=AB，AM⊥平面PBC，垂足M在直线PB上，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则=
.
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答案
如图所示，取PC的中点E，PE的中点N，连接BE，MN，AN，
∵AM⊥平面PBC，PB 平面PBC，∴AM⊥PB，
∵PA=AB，∴M为PB的中点，
∵PB=BC，E为PC的中点，∴BE⊥PC，
∵M，N分别为PB，PE的中点，
∴MN∥BE，∴MN⊥PC，
∵AM⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴PC⊥AM，
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答案
∵AM∩MN=M，AM，MN 平面AMN，
∴PC⊥平面AMN，
∵PC 平面PCD，∴平面PCD⊥平面AMN，
∵E为PC的中点，N为PE的中点，
∴PN=PE=PC，因此=.
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答案
14.用一个平面将圆柱切割成如图所示的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为y=1.5+cos x，x∈[-π，π]，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值
是 .
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答案
y=1.5+cos x在一个周期[-π，π]上的图象
如图所示，
其最大值与最小值相差2，即截面的最高
处与最低处的高度差为2，底面周长为2π，
即底面半径为1，故直径为2，
所以平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是=.
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答案
拓广探究
15.(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，PB=，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是
A.AD⊥PB
B.平面PAD⊥平面ABCD
C.二面角P-BC-A的平面角是∠PBA
D.三棱锥P-ABD外接球的表面积为
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答案
√
√
取AD中点E，连接PE，BE，
因为△PAD和△BAD都是等边三角形，则PE⊥AD，
BE⊥AD，
因为PE∩BE=E，PE，BE 平面PEB，所以AD⊥平面PEB，
因为PB 平面PEB，所以AD⊥PB，故A正确；
∠PEB是二面角P-AD-B的平面角，
PE=BE=，又PB=，
所以PE2+BE2=PB2，即PE⊥BE，所以二面角P-AD-B是直二面角，
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答案
所以平面PAD⊥平面ABCD，故B正确；
因为四边形ABCD为菱形，所以AD∥BC，
因为BE⊥AD，AD⊥平面PEB，
所以BC⊥BE，BC⊥平面PEB，
因为PB 平面PEB，所以BC⊥PB，
所以∠PBE是二面角P-BC-A的平面角，故C错误；
因为AD∩BE=E，AD，BE 平面ABD，所以PE⊥平面ABD，同理BE⊥平面PAD，
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答案
设M，N分别是△ABD和△PAD的中心，如图，作
NO∥EB，MO∥PE，NO与MO交于点O，
则NO⊥平面PAD，MO⊥平面ABD，所以O是三棱
锥P-ABD外接球的球心，
由于NE=ME=BE=，四边形ONEM是正方形，OM=，而BM=，
所以OB===，即为外接球半径，
三棱锥P-ABD外接球的表面积为4π×=，故D正确.
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答案
16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=BC=1，PD+DC=AB=，AB∥CD，AB⊥BC，M在线段AB上(不含端点)，PM⊥平面ABCD.
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；
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答案
因为PM⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PM⊥BC.
又因为AB⊥BC，AB∩PM=M，AB，PM 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)设PD=x，x∈(1，)，请写出三棱锥M-PAD的体积V关于x的函数表达式，并求出V的最大值.
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答案
如图，过点P作PN⊥AD，交AD于点N，连接MN，BD.
由PD=x，x∈(1，)，得CD=-x，
因为BC=1，AB=，AB∥CD，AB⊥BC，
所以AD=，则PD2+PA2=AD2，
所以PD⊥PA，
则PN==，
AN==，
BD==.
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答案
因为PM⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PM⊥AD，
又PM∩PN=P，PM，PN 平面PMN，
所以AD⊥平面PMN，而MN 平面PMN，
所以AD⊥MN.
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD==，
所以AM==，
则MN==，
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答案
PM==，
所以V=V三棱锥P-AMD=·PM·S△AMD=···
·=
==，
所以当x=时，V取得最大值，最大值为.
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答案8.6.3 平面与平面垂直的判定定理
[学习目标] 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.3.能利用面面垂直的判定定理解决一些综合问题.
一、二面角的概念
问题1 你能举出哪些两个平面相交的例子？
问题2 我们通常说“把门开大一些”(动手演示教室的门)，是指哪个角大一些？如何去刻画二面角的大小呢？
问题3 ∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？
知识梳理
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 ，这两个半平面叫做二面角的面.
2.画法：
3.记法：二面角 或二面角 或二面角P-l-Q或二面角 .
4.二面角的平面角
(1)在二面角α-l-β的棱l上 一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角，如图.
(2)二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是 的二面角叫做直二面角.
例1 已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.求：
(1)二面角B-PA-D的平面角的大小；
(2)二面角B-PA-C的平面角的大小；
(3)二面角A-PD-C的平面角的大小.
反思感悟 (1)确定二面角的平面角的方法
①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角.
③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角.
(2)求二面角大小的步骤
①找出这个平面角.
②证明这个角是二面角的平面角.
③作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.
跟踪训练1 如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小.
二、平面与平面垂直的定义及应用
问题4 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？这些二面角的大小是多少？
知识梳理
平面与平面垂直的定义与画法
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β.
(2)画法：
例2 如图所示，在四面体A-BCD中，BD=a，AB=AD=CB=CD=AC=a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
反思感悟 用定义证明两个平面垂直的步骤
(1)找出两个相交平面的二面角的平面角.
(2)证明这个二面角的平面角是直角.
(3)根据定义，这两个平面互相垂直.
跟踪训练2 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
求证：平面AEC⊥平面AFC.
三、平面与平面垂直的判定定理及应用
问题5 我们教室的建筑者是如何判断教室的墙面与地面是垂直的呢？
问题6 你能说出这种方法的数学原理吗？
知识梳理
面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号表示为：a α，a⊥β α⊥β.简记：线面垂直，面面垂直.
例3 如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，G，F分别为PB，PC的中点，点E在MB上.求证：平面EFG⊥平面PDC.
反思感悟 证明面面垂直的方法
(1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”.
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
跟踪训练3 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.
求证：平面AEC⊥平面PDB.
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的定义及应用.
(3)平面与平面垂直的判定定理及应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：二面角找不到或者找错.
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.不存在
2.已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是( )
A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b β
C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β
3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-D的大小是( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是( )
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
答案精析
问题1 卫星的轨道平面与地球的赤道平面、教室的墙面与地面等等.
问题2 指门与门框所成的二面角大一些.取二面角棱l上的一点O在二面角的面上分别作射线OA，OB与二面角的棱垂直，得到∠AOB可以刻画二面角.
问题3 无关.
知识梳理
1.半平面 棱
3.α-l-β α-AB-β P-AB-Q
4.(1)任取 ∠AOB (2)0°≤α≤180°
直角
例1 解 (1)∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∴二面角B-PA-D的平面角为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
AB 平面ABCD，
AC 平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°.
即二面角B-PA-C的平面角为45°.
(3)如图，取PD，PC的中点分别为O，M，连接AO，MO，
∵PA⊥平面ABCD，
AD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
又PA=AB=AD，∴AO⊥PD.
∵PA⊥CD，又AD⊥CD，
AD，PA 平面PAD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，
∴CD⊥PD，又∵OM∥CD，
∴OM⊥PD，OM⊥平面PAD，
∴OM⊥OA，
又∵PD是二面角A-PD-C的棱，
∴∠AOM为二面角A-PD-C的平面角，即为90°.
跟踪训练1 解 由已知得PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又PA∩AC=A，
PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形.
∴∠PCA=45°，故二面角P-BC-A
的大小为45°.
问题4 可以构成3个二面角，分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角.它们构成的二面角是直二面角，即二面角的度数为90°.
例2 证明 ∵AB=AD=CB=CD=a，
∴△ABD与△BCD是等腰三角形.
取BD的中点E，连接AE，CE，如图，
则AE⊥BD，
BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.
在Rt△ABD中，
AB=a，
BE=BD=a，
∴AE==a.
同理CE=a.
在△AEC中，AE=CE=a，AC=a，
∴AC2=AE2+CE2，
∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，
即二面角A-BD-C的平面角为90°.
∴平面ABD⊥平面BCD.
跟踪训练2 证明 如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB=1.
由∠ABC=120°，
可得AG=GC=.
由BE⊥平面ABCD，AB=BC，
可得AE=EC.
又AE⊥EC，所以EG=，
且EG⊥AC.
同理可得FG⊥AC，
所以∠EGF为二面角E-AC-F的平面角，
在Rt△EBG中，
可得BE==，
故DF=.
在Rt△FDG中，可得FG=
=.
在直角梯形BDFE中，
由BD=2，BE=，DF=，
可得EF=.
从而EG2+FG2=EF2，
所以EG⊥FG.
即二面角E-AC-F的平面角为90°，
所以平面AEC⊥平面AFC.
问题5 用铅锤检测.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，他们就认为墙面垂直于地面.
问题6 如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
例3 证明 ∵MA⊥平面ABCD，
PD∥MA，
∴PD⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC⊥DC.
又PD∩DC=D，
PD，DC 平面PDC，
∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，
∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.
又GF 平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PDC.
跟踪训练3 证明 ∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，
∴AC⊥BD，AC⊥PD，
又PD∩BD=D，
PD，BD 平面PDB，
∴AC⊥平面PDB.
又AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
随堂演练
1.C 2.D 3.B 4.C作业37 平面与平面垂直的判定定理
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
3.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABC⊥平面BCD
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-A的平面角的正切值等于( )
A. B. C. D.
5.(多选)在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个命题中正确的是( )
A.BC∥平面PDF
B.平面PDF⊥平面ABC
C.DF⊥平面PAE
D.平面PAE⊥平面ABC
6.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
7.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=2，AA1=1，点E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C的大小为45°，则BF= .
8.(5分)如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB=20 m，它和坡脚的水平线成30°的角，沿此山路从A走到B后升高 m.
9.(10分)如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A'BE的位置，使A'C=A'D，求证：平面A'BE⊥平面BCDE.
10.(10分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点.
(1)求证：A1E∥平面C1BD；(5分)
(2)AC=BC=1，AB=，AA1=2，求二面角B-DC1-C的正切值.(5分)
11.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面的交线的垂线，垂足为A'，B'，则AB∶A'B'等于( )
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3
12.(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是( )
A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是二面角P-AB-C的平面角
13.(5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB=BC，PA=AB，AM⊥平面PBC，垂足M在直线PB上，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则= .
14.(5分)用一个平面将圆柱切割成如图所示的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为y=1.5+cos x，x∈［-π，π］，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是 .
15.(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，PB=，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是( )
A.AD⊥PB
B.平面PAD⊥平面ABCD
C.二面角P-BC-A的平面角是∠PBA
D.三棱锥P-ABD外接球的表面积为
16.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=BC=1，PD+DC=AB=，AB∥CD，AB⊥BC，M在线段AB上(不含端点)，PM⊥平面ABCD.
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；(4分)
(2)设PD=x，x∈(1，)，请写出三棱锥M-PAD的体积V关于x的函数表达式，并求出V的最大值.(8分)
答案精析
1.C 2.D 3.C
4.C [如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则A1O⊥BD，AO⊥BD，故∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角，
设A1A=a，则AO=a，
所以tan∠A1OA===.]
5.ACD [因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，
又DF 平面PDF，BC 平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故A正确；
因为E是BC的中点，
所以BC⊥AE，BC⊥PE.
因为AE∩PE=E，AE，PE 平面PAE，
所以BC⊥平面PAE.
因为BC 平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故D正确；
因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故C正确；
只有B不正确.]
6.C [因为DA⊥AB，DA⊥PA，
AB∩PA=A，AB，PA 平面PAB，
所以DA⊥平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
同理AB⊥平面PAD，
所以DC⊥平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对.]
7.1
8.5
解析 如图，过B作BH⊥水平面，过H作HC垂直于坡脚线，连接BC，则∠BAC=30°，由BH⊥AC，HC⊥AC，
BH∩HC=H，得AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC，所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH=30°，
在Rt△ABC和Rt△BCH中，因为AB=20 m，
所以BC=AB·sin 30°=10(m)，
所以BH=BC·sin 30°=5(m).
9.证明 如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，
连接A'M，A'N，MN，则MN∥BC.
∵AB=AD，E是AD的中点，
∴AB=AE，即A'B=A'E.
∴A'N⊥BE.∵A'C=A'D，
∴A'M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A'M=M，MN，
A'M 平面A'MN，
∴CD⊥平面A'MN，
又A'N 平面A'MN，∴CD⊥A'N.
∵DE∥BC且DE=BC，
∴BE必与CD相交.
又A'N⊥BE，A'N⊥CD，
∴A'N⊥平面BCDE.
又A'N 平面A'BE，
∴平面A'BE⊥平面BCDE.
10.(1)证明 如图，连接CB1交BC1于点F，连接EF，DF，
因为E，F是B1C1，B1C的中点，
所以EF∥CC1，
且EF=CC1，
又因为D是AA1的中点，
所以A1D∥CC1，
且A1D=CC1，
所以A1D∥EF，且A1D=EF，
因此四边形A1DFE是平行四边形，
所以A1E∥DF，
又因为A1E 平面C1BD，
DF 平面C1BD，
所以A1E∥平面C1BD.
(2)解 因为AD=AC=1，
AD⊥AC，CC1⊥AC，
所以∠DCA=∠DCC1=，
CD==，
同理可得∠DC1C=，
因此∠C1DC=，即CD⊥DC1，
又DC1=，BD=，BC1=，
则D+BD2=B，所以DC1⊥BD，
所以∠CDB是二面角B-DC1-C的平面角，
因为CD2+BC2=BD2，所以△BCD为直角三角形，所以tan∠CDB===.
故二面角B-DC1-C的正切值为.
11.A [连接AB'，A'B(图略).由已知条件可知∠BAB'=，∠ABA'=，
设AB=2a，则BB'=2asin =a，
A'B=2acos =a，
∴在Rt△BB'A'中，得A'B'=a，
∴AB∶A'B'=2∶1.]
12.ABC [∵点E，F，G分别是所在棱的中点，
∴GF∥PC，GE∥CB，
∵GF，GE 平面PBC，
PC，CB 平面PBC，
∴GF∥平面PBC，GE∥平面PBC，
∵GF∩GE=G，GF，GE 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PBC，A正确；
∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
∴GF⊥BC，GF⊥AC，
又BC∩AC=C，BC，AC 平面ABC，
∴GF⊥平面ABC，∵GF 平面EFG，
∴平面EFG⊥平面ABC，B正确；
易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，C正确；
∵GE与AB不一定垂直，∴∠FEG不一定是二面角P-AB-C的平面角，D错误.]
13.
解析 如图所示，取PC的中点E，PE的中点N，连接BE，MN，AN，
∵AM⊥平面PBC，
PB 平面PBC，
∴AM⊥PB，
∵PA=AB，∴M为PB的中点，
∵PB=BC，E为PC的中点，
∴BE⊥PC，
∵M，N分别为PB，PE的中点，
∴MN∥BE，∴MN⊥PC，
∵AM⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴PC⊥AM，
∵AM∩MN=M，
AM，MN 平面AMN，
∴PC⊥平面AMN，
∵PC 平面PCD，
∴平面PCD⊥平面AMN，
∵E为PC的中点，N为PE的中点，
∴PN=PE=PC，因此=.
14.
解析 y=1.5+cos x在一个周期[-π，π]上的图象如图所示，
其最大值与最小值相差2，即截面的最高处与最低处的高度差为2，底面周长为2π，即底面半径为1，故直径为2，
所以平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是=.
15.ABD [取AD中点E，
连接PE，BE，
因为△PAD和△BAD都是等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，
因为PE∩BE=E，PE，BE 平面PEB，所以AD⊥平面PEB，
因为PB 平面PEB，
所以AD⊥PB，故A正确；
∠PEB是二面角P-AD-B的平面角，
PE=BE=，又PB=，
所以PE2+BE2=PB2，即PE⊥BE，所以二面角P-AD-B是直二面角，
所以平面PAD⊥平面ABCD，故B正确；
因为四边形ABCD为菱形，
所以AD∥BC，
因为BE⊥AD，AD⊥平面PEB，
所以BC⊥BE，BC⊥平面PEB，
因为PB 平面PEB，所以BC⊥PB，
所以∠PBE是二面角P-BC-A的平面角，故C错误；
因为AD∩BE=E，
AD，BE 平面ABD，
所以PE⊥平面ABD，
同理BE⊥平面PAD，
设M，N分别是△ABD和△PAD的中心，如图，作NO∥EB，MO∥PE，NO与MO交于点O，
则NO⊥平面PAD，MO⊥平面ABD，
所以O是三棱锥P-ABD外接球的球心，
由于NE=ME=BE=，
四边形ONEM是正方形，OM=，
而BM=，
所以OB=
==，
即为外接球半径，
三棱锥P-ABD外接球的表面积为4π×=，故D正确.]
16.(1)证明 因为PM⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PM⊥BC.
又因为AB⊥BC，AB∩PM=M，
AB，PM 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)解 如图，过点P作PN⊥AD，
交AD于点N，连接MN，BD.
由PD=x，x∈(1，)，得CD=-x，
因为BC=1，AB=，AB∥CD，AB⊥BC，
所以AD=
，则PD2+PA2=AD2，
所以PD⊥PA，
则PN==，
AN==，
BD==.
因为PM⊥平面ABCD，
AD 平面ABCD，所以PM⊥AD，
又PM∩PN=P，
PM，PN 平面PMN，
所以AD⊥平面PMN，
而MN 平面PMN，
所以AD⊥MN.
在△ABD中，由余弦定理得
cos∠BAD==，
所以AM==，
则MN=
=，
PM==，
所以V=V三棱锥P-AMD=·PM·S△AMD=····=
=
=，
所以当x=时，V取得最大值，最大值为.
