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第八章
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棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
8.3.1
1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(重点)
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(重点、难点)
3.体会和理解棱台的表面积与体积公式的推导过程.(难点)
学习目标
前面我们认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，而且我们在初中学习了正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法.对于一般的棱柱、棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？
导 语
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
课时对点练
三、简单组合体的表面积和体积
随堂演练
内容索引
一
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图是什么样子的？
问题1
提示 长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.
棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和 表面积
棱柱 S棱柱表=___________
棱锥 S棱锥表=___________
棱台 S棱台表=_________________
S棱柱侧+2S底
S棱锥侧+S底
S棱台侧+S上底+S下底
(1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积.
例 1
如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，对角线A1C=15，B1D=9，
∴a2+52=152，b2+52=92，
∴a2=200，b2=56.
即AC=10，BD=2.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2=+===64，∴AB=8.
∴该直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160.
该直四棱柱的底面积S底=AC·BD=20.
该直四棱柱的表面积
S表=160+2×20=160+40.
(2)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.
如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF=×(8-4)=2，B1B=8，
故B1F==2，
所以=×(8+4)×2=12，
故四棱台的侧面积S侧=4×12=48，
所以四棱台的表面积S表=48+4×4+8×8=80+48.
(1)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意由它们组成的直角三角形的应用.
(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.
反
思
感
悟
已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD，如图所示，求它的侧面积、表面积.
跟踪训练 1
∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
∴S侧=4S△SAB=4×SA·SBsin 60°
=4××52×=25，
S表=S侧+S底=25+25=25(+1).
二
棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的________，h为棱柱的_____
棱锥 V棱锥=___Sh S为棱锥的_______，h为棱锥的____
棱台 V棱台=h(S'++S ) S'，S分别为棱台的________________，h为棱台的_____
底面积
高
底面积
高
上、下底面面积
高
观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？
问题2
提示
(1)已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1-ABC的体积为
A. B.
C. D.
例 2
√
设三棱锥B1-ABC的高为h，则=·S△ABC·h=××3=.
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.
正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1=10 cm，AB=20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∵S侧=4××(10+20)×EE1=780(cm2)，
∴EE1=13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1=A1B1=5(cm)，OE=AB=10(cm)，
∴O1O==12(cm).
故该正四棱台的体积为V=×12×(102+202+10×20)=2 800(cm3).
反
思
感
悟
求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面的边长、高、斜高、侧棱长).
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识及相似性来解决问题.
如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的
中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1-D1EF的体积为 .
跟踪训练 2
a3
=，
∵=EA1·A1D1=a2，
又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a，
∴=·a2·a=a3，
∴=a3.
三
简单组合体的表面积和体积
一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)？
例 3
将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.
S底=0.6×1.1-×(0.5+0.3)×0.3=0.54(平方米)，
V=S底·h=0.54×24.8≈13.39(立方米).
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米
混凝土.
反
思
感
悟
(1)求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
(2)常见的几何体体积求法.
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.
跟踪训练 3
由图可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为a2，
故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S=+3S△DBC+3
=a2+3××a2+3a2=a2.
几何体A1B1C1D1-DBC的体积V=-
=a3-××a×a×a=a3.
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
(3)组合体的表面积与体积.
(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.
2.方法归纳：公式法、等体积法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.
随堂演练
四
1
2
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4
1.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是
A.2 B.4 C.4 D.6
√
S表=4××22=4.
2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是
A.2 B.4 C.6 D.8
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√
由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1，长方体的高为=2，故这个棱柱的侧面积为1×2×4=8.
3.如图，ABC-A'B'C'是体积为1的三棱柱，则四棱锥
C-AA'B'B的体积是
A. B.
C. D.
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∵V三棱锥C-A'B'C'=V三棱柱ABC-A'B'C'=，
∴V四棱锥C-AA'B'B=1-=.
4.棱台的上、下底面面积分别是2和4，高为3，则棱台的体积为 .
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4
V棱台=×(2+4+)×3=×3×(6+2)=6+2.
课时对点练
五
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B ABD C D 110 32
题号 11 12 13 14 15
答案 AC BCD 7∶5 16+8 A
对一对
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9.
由PO1=2 m，
知O1O=4PO1=8 m.
因为A1B1=AB=6 m，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3)，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3)，所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3)，
故仓库的容积是312 m3.
答案
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10.
(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4，
则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.
答案
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10.
如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA=12 cm，∴A1A=6 cm.
又梯形ABB1A1的高h'==4(cm)，
∴S棱台侧=6××4=144(cm2)，∴S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底
=144+4×4××6+8×8××6=144+24+96
=(144+120)cm2.
答案
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(1)将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱.
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥.
答案
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16.
(2)因为正四棱柱的底面边长为2a，高为a，
所以其体积V柱=(2a)2·a=4a3.
又因为正四棱锥的底面边长为2a，
高为h==2a，
所以其体积V锥=(2a)2·2a=a3.
因为42-=16-=>0，即4>，
所以4a3>a3，所以V柱>V锥，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大.
答案
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1.已知一个正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为
A.6 B. C.2 D.2
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基础巩固
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由题可得高h==2，
又因为底面积S=6××1×1×=，所以V=Sh=××2=.
√
答案
2.将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了
A.6a2 B.12a2 C.18a2 D.24a2
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棱长为a的正方体的表面积为S1=6a2，由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2=27×=18a2，因此表面积增加了12a2.
答案
3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥体积的比值为
A. B.2 C. D.3
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√
设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，故二者体积的比值为==2.
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4.(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是
A.正三棱锥的高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
√
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√
√
答案
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设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，
则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，
又PF==，
EF=×=，故PE==3，故A，B正确.
而正三棱锥的体积为×3××9=，侧面积为3××3×=，故C错误，D正确.
答案
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为
A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2
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如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥=4××(a)2=2a2，S正方体=6a2，故S锥∶S正方体=1∶.
答案
6.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为
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A. B. C.2 D.
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因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，
∴
=S梯形EFCB×3=S△ABC×3
=S△ABC，设甲中水面的高度为h，则S△ABC×h=S△ABC，∴h=.
答案
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7.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为 .
设正四棱柱的底面边长为m，则4(42-m2)=60，解得m=1，则该几何体的表面积为42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.
110
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8.如图，已知正四棱锥的底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为 cm2.
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正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成一Rt△POE.
因为OE=2 cm，∠OPE=30°，
所以斜高PE===4(cm)，
所以正四棱锥的侧面积S=4××BC×PE=4××4×4=32(cm2).
答案
9.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB=6 m，PO1=2 m，则仓库的容积是多少？
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由PO1=2 m，知O1O=4PO1=8 m.
因为A1B1=AB=6 m，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3)，
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3)，所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3)，
故仓库的容积是312 m3.
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10.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
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由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4，
则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.
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(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
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如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA=12 cm，∴A1A=6 cm.
又梯形ABB1A1的高h'==4(cm)，
∴S棱台侧=6××4=144(cm2)，
∴S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=144+4×4××6+8×8××6
=144+24+96=(144+120)cm2.
答案
11.(多选)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜切(图1)，得到一模一样的两个堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜切(图2)，得一个四棱锥称为阳马(图3)，一个三棱锥称为鳖臑(图4).
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综合运用
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若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列选项正确的是
A.V1+V2+V3=V B.V1=2V2
C.V2=2V3 D.V2-V3=
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由题意，堑堵的体积V1=，阳马的体积V2=，鳖臑的体积V3==，
所以V1+V2+V3=V，2V1=3V2，6V3=3V2=V，即V2=2V3，所以V2-V3=V3=，
所以A，C选项正确，B，D选项错误.
答案
12.(多选)正多面体统称为柏拉图体.若连接某正方体ABCD-A1B1C1D1的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体Ω.则
A.Ω是正六面体
B.正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2
C.Ω与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比是
D.平面ACC1A1与Ω相交所得截面的面积是
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对于A，如图，Ω是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；
对于B，设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a，Ω是正八面体，且四边形NGMH是对角线长为a的正方形，以四边形NGMH为底面的两个四棱锥E-NGMH与F-NGMH的高都为，
则Ω的体积为××a×a××2=a3=，
所以a=2，所以B正确；
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对于C，正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积是6×2×2=24，
Ω的各个面是边长为的等边三角形，
所以Ω的表面积是8××××=4，
所以=，所以C正确；
对于D，如图，平面ACC1A1与Ω相交所得截面为四边形EQFP，P，Q分别是HM，NG的中点，
答案
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且EQ，QF，FP，PE相等，EQ∥FP，QF∥PE，四边形EQFP是菱形，EF=2，PQ=×2×=，所以D正确.
答案
13.如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1的棱台AEF-A'C'B'和体积为V2的几何体BFECC'B'两部分，那么V1∶V2= .
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设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V=V1+V2=Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF=S，
所以V1=h=Sh，
V2=V-V1=Sh.所以V1∶V2=7∶5.
答案
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14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段BB1，BD1上的动点，点O为侧面BCC1B1的中心，则△OEF周长的平方的最小值为 .
16
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如图①，设侧面ABB1A1的中心为M，根据正方体的结构特征可得，FM=FO，
则△OEF周长的最小值即OE+EF+FM的最小值.
将侧面BCC1B1绕着BB1旋转至与平面B1D1B在同一平面上，
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将平面A1D1B绕着BD1旋转至与平面B1D1B在同一平面上，如图②，则
OE+EF+FM≥OM==2，
故△OEF周长的平方的最小值为(2)2=16+8.
答案
15.宫灯又称宫廷花灯(如图1所示)，是中国彩灯中富有特色的手工艺品之一.图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上底面、下底面的边长分别为2 dm和4 dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1 dm和6 dm，则该花灯的表面积为
A.(108+30)dm2 B.(72+30)dm2
C.(64+24)dm2 D.(48+24)dm2
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拓广探究
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√
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正六棱柱的六个侧面面积之和为2×6×6=
72(dm2)，正六棱柱的底面面积为×22×6
=6(dm2)，如图所示，正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，A1B1=2 dm，AB=4 dm，
过点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别作A1A2，B1B2，C1C2，D1D2，E1E2，F1F2垂直于底面ABCDEF于点A2，B2，C2，D2，E2，F2，连接AD，BE，CF相交于点O，则A2，B2，C2，D2，E2，F2分别为OA，OB，OC，OD，OE，OF的中点，过点A2作A2G⊥AB于点G，连接A1G，则A1G为正六棱台的斜高，其中A1A2=1 dm，
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AG==1(dm)，AA2=AO=2(dm)，
由勾股定理得
A2G==(dm)，
故A1G==2(dm)，
所以正六棱台的斜高为2 dm，故正六棱台的侧面积为×(4+2)×2×
6=36(dm2)，又正六棱台的下底面面积为×42×6=24(dm2)，所以该花灯的表面积为72+6+36+24=108+30(dm2).
答案
16.甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积).
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(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；
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将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱.
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥.
答案
(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论.
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因为正四棱柱的底面边长为2a，高为a，
所以其体积V柱=(2a)2·a=4a3.
又因为正四棱锥的底面边长为2a，
高为h==2a，
所以其体积V锥=(2a)2·2a=a3.
因为42-=16-=>0，
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即4>，
所以4a3>a3，所以V柱>V锥，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大.
答案8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
［学习目标］ 1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.3.体会和理解棱台的表面积与体积公式的推导过程.
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
问题1 我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图是什么样子的？
知识梳理
棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和 表面积
棱柱 S棱柱表=
棱锥 S棱锥表=
棱台 S棱台表=
例1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积.
(2)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.
跟踪训练1 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD，如图所示，求它的侧面积、表面积.
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
知识梳理
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的
棱锥 V棱锥= Sh S为棱锥的 ，h为棱锥的
棱台 V棱台=h(S'++S) S'，S分别为棱台的 ，h为棱台的
问题2 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？
例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1-ABC的体积为( )
A. B. C. D.
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.
跟踪训练2 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1-D1EF的体积为 .
三、简单组合体的表面积和体积
例3 一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)？
跟踪训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
(3)组合体的表面积与体积.
(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.
2.方法归纳：公式法、等体积法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.
1.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是( )
A.2 B.4 C.4 D.6
2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.如图，ABC-A'B'C'是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA'B'B的体积是( )
A. B. C. D.
4.棱台的上、下底面面积分别是2和4，高为3，则棱台的体积为 .
答案精析
问题1 长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.
知识梳理
S棱柱侧+2S底 S棱锥侧+S底 S棱台侧+S上底+S下底
例1 (1)解
如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，对角线A1C=15，B1D=9，
∴a2+52=152，b2+52=92，
∴a2=200，b2=56.
即AC=10，BD=2.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2=+===64，∴AB=8.
∴该直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160.
该直四棱柱的底面积S底=AC·BD=20.
该直四棱柱的表面积
S表=160+2×20=160+40.
(2)解 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF=×(8-4)=2，B1B=8，
故B1F==2，
所以=×(8+4)×2=12，
故四棱台的侧面积S侧=4×12=48，
所以四棱台的表面积S表=48+4×4+8×8=80+48.
跟踪训练1 解 ∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
∴S侧=4S△SAB=4×SA·SBsin 60°
=4××52×=25，
S表=S侧+S底=25+25=25(+1).
知识梳理
底面积 高 底面积 高
上、下底面面积 高
问题2
例2 (1)D ［设三棱锥B1-ABC的高为h，则=·S△ABC·h=××3=.］
(2)解 正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1=10 cm，AB=20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，
则四边形EOO1E1为直角梯形.
∵S侧=4××(10+20)×EE1
=780(cm2)，
∴EE1=13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1=A1B1=5(cm)，
OE=AB=10(cm)，
∴O1O==12(cm).
故该正四棱台的体积为
V=×12×(102+202+10×20)
=2 800(cm3).
跟踪训练2 a3
例3 解 将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.
S底=0.6×1.1-×(0.5+0.3)×0.3
=0.54(平方米)，
V=S底·h=0.54×24.8≈13.39(立方米).
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
跟踪训练3 解 由图可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为a2，
故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S=+3S△DBC+3=a2+3××a2+3a2=a2.
几何体A1B1C1D1-DBC的体积
V=-
=a3-××a×a×a=a3.
随堂演练
1.B 2.D 3.C 4.6+2作业26 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.已知一个正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )
A.6 B. C.2 D.2
2.将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A.6a2 B.12a2 C.18a2 D.24a2
3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥体积的比值为( )
A. B.2 C. D.3
4.(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是( )
A.正三棱锥的高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2
6.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. B. C.2 D.
7.(5分)如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为 .
8.(5分)如图，已知正四棱锥的底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为 cm2.
9.(10分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB=6 m，PO1=2 m，则仓库的容积是多少？
10.(10分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(4分)
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.(6分)
11.(多选)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜切(图1)，得到一模一样的两个堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜切(图2)，得一个四棱锥称为阳马(图3)，一个三棱锥称为鳖臑(图4).
若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列选项正确的是( )
A.V1+V2+V3=V B.V1=2V2
C.V2=2V3 D.V2-V3=
12.(多选)正多面体统称为柏拉图体.若连接某正方体ABCD-A1B1C1D1的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体Ω.则( )
A.Ω是正六面体
B.正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2
C.Ω与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比是
D.平面ACC1A1与Ω相交所得截面的面积是
13.(5分)如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1的棱台AEF-A'C'B'和体积为V2的几何体BFECC'B'两部分，那么V1∶V2= .
14.(5分)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段BB1，BD1上的动点，点O为侧面BCC1B1的中心，则△OEF周长的平方的最小值为 .
15.宫灯又称宫廷花灯(如图1所示)，是中国彩灯中富有特色的手工艺品之一.图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上底面、下底面的边长分别为2 dm和4 dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1 dm和6 dm，则该花灯的表面积为( )
A.(108+30)dm2 B.(72+30)dm2
C.(64+24)dm2 D.(48+24)dm2
16.(12分)甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积).
(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；(6分)
(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论.(6分)
答案精析
1.B 2.B 3.B
4.ABD
［设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，
则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，
又PF==，
EF=×=，
故PE==3，故A，B正确.
而正三棱锥的体积为×3××9=，侧面积为3××3×=，故C错误，D正确.］
5.C ［如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥=4××(a)2=2a2，S正方体=6a2，故S锥∶S正方体=1∶.
］
6.D ［因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，
∴=S梯形EFCB×3=S△ABC×3=S△ABC，设甲中水面的高度为h，则S△ABC×h=S△ABC，∴h=.］
7.110 8.32
9.解 由PO1=2 m，
知O1O=4PO1=8 m.
因为A1B1=AB=6 m，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3)，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3)，所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3)，
故仓库的容积是312 m3.
10.解 (1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4，
则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.
(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA=12 cm，
∴A1A=6 cm.
又梯形ABB1A1的高
h'==4(cm)，
∴S棱台侧=6××4=144(cm2)，
∴S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底
=144+4×4××6+8×8××6
=144+24+96
=(144+120)cm2.
11.AC ［由题意，堑堵的体积V1=，阳马的体积V2=，
鳖臑的体积V3==，
所以V1+V2+V3=V，2V1=3V2，6V3=3V2=V，即V2=2V3，
所以V2-V3=V3=，
所以A，C选项正确，B，D选项错误.］
12.BCD
［对于A，如图，Ω是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；
对于B，设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a，Ω是正八面体，且四边形NGMH是对角线长为a的正方形，以四边形NGMH为底面的两个四棱锥E-NGMH与F-NGMH的高都为，
则Ω的体积为××a×a××2
=a3=，
所以a=2，所以B正确；
对于C，正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积是6×2×2=24，
Ω的各个面是边长为的等边三角形，
所以Ω的表面积是8××××=4，
所以=，所以C正确；
对于D，如图，平面ACC1A1与Ω相交所得截面为四边形EQFP，P，Q分别是HM，NG的中点，
且EQ，QF，FP，PE相等，EQ∥FP，QF∥PE，四边形EQFP是菱形，EF=2，PQ=，其面积为×2×=，所以D正确.］
13.7∶5
解析 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V=V1+V2=Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF=S，
所以V1=h
=Sh，
V2=V-V1=Sh.
所以V1∶V2=7∶5.
14.16+8
解析 如图①，设侧面ABB1A1的中心为M，根据正方体的结构特征可得，FM=FO，
则△OEF周长的最小值即OE+EF+FM的最小值.
将侧面BCC1B1绕着BB1旋转至与平面B1D1B在同一平面上，
将平面A1D1B绕着BD1旋转至与平面B1D1B在同一平面上，如图②，则
OE+EF+FM≥OM==2，
故△OEF周长的平方的最小值为(2)2=16+8.
15.A ［正六棱柱的六个侧面面积之和为2×6×6=72(dm2)，正六棱柱的底面面积为×22×6=6(dm2)，如图所示，正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，A1B1=2 dm，AB=4 dm，
过点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别作A1A2，B1B2，C1C2，D1D2，E1E2，F1F2垂直于底面ABCDEF于点A2，B2，C2，D2，E2，F2，连接AD，BE，CF相交于点O，则A2，B2，C2，D2，E2，F2分别为OA，OB，OC，OD，OE，OF的中点，过点A2作A2G⊥AB于点G，连接A1G，则A1G为正六棱台的斜高，其中A1A2=1 dm，
AG=
=1(dm)，
AA2=AO
=2(dm)，
由勾股定理得
A2G==(dm)，
故A1G==2(dm)，
所以正六棱台的斜高为2 dm，故正六棱台的侧面积为×(4+2)×2×6=36(dm2)，又正六棱台的下底面面积为×42×6=24(dm2)，所以该花灯的表面积为72+6+36+24=108+30(dm2).］
16.解 (1)将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱.
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥.
(2)因为正四棱柱的底面边长为2a，高为a，
所以其体积V柱=(2a)2·a=4a3.
又因为正四棱锥的底面边长为2a，
高为h==2a，
所以其体积V锥=(2a)2·2a
=a3.
因为42-=16-=>0，
即4>，
所以4a3>a3，所以V柱>V锥，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大.
