(共87张PPT)
8.5.3
第八章
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平面与平面平行
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的平行关系，理解并掌握平面与平面平行的判定定理.(重点)
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.(难点)
学习目标
前面我们研究了空间中直线与平面的位置关系，并用文字语言、图形语言、符号语言进行了表述.
类似于直线与平面平行的判定，我们是不是可以把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题呢？
导 语
一、平面与平面平行的判定定理
二、平面与平面平行的性质定理
课时对点练
三、平行关系的综合应用
随堂演练
内容索引
平面与平面平行的判定定理
一
提示 三角尺和桌面一定平行，硬纸片不一定平行.即如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？该如何判定平面与平面平行呢？
问题1
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 β∥α
两条相交直线
图形语言
简记 线面平行，面面平行
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，
N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
求证：(1)E，F，D，B四点共面；
例 1
如图，连接B1D1，
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，D，B四点共面.
(2)平面MAN∥平面EFDB.
易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.连接MF，
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF=A1D1，
又A1D1∥AD，A1D1=AD，
∴MF∥AD，MF=AD，
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
∵AM∩MN=M，AM，MN 平面MAN，
∴平面MAN∥平面EFDB.
①定义法：两个平面没有公共点.
②判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
③转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
④利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
反
思
感
悟
平面与平面平行的判定方法
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，求证：平面PAB∥平面EFG.
跟踪训练 1
∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，
AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
二
平面与平面平行的性质定理
提示 直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.
当a与b不异面，即在同一个平面内时，a与b平行.
若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？
问题2
试着证明这个结论：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
问题3
提示 如图，平面α∥β，平面γ分别与平面α，β相交于直线a，b.
∵α∩γ=a，β∩γ=b，
∴a α，b β.
又α∥β，
∴a，b没有公共点.
又a，b同在平面γ内，∴a∥b.
两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_____
符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b _______
图形语言
简记 面面平行，线线平行
平行
a∥b
如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点.求证：MN∥α.
例 2
若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交
线分别为BD，AC.
∵α∥β，∴AC∥BD.
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴MN∥BD.
又BD α，MN α，∴MN∥α.
若AB，CD异面，如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC.
∵α∥β，∴ED∥AC.
又P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥ED，又PN α，ED α，∴PN∥α，
同理MP∥BE，又MP α，BE α，∴MP∥α，
又MP∩PN=P，MP，PN 平面MPN，
∴平面MPN∥α，
又MN 平面MPN，∴MN∥α.
反
思
感
悟
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
跟踪训练 2
因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF=D，DE，
DF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF，
平面PCM∩平面ABC=CM，
所以NF∥CM.
平行关系的综合应用
三
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点.
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
例 3
∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1.
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G.
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F=BG，A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G.
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF=F，EF，BF 平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)若平面A1C1G∩BC=H，求证：H为BC的中点.
∵平面A1C1G与平面ABC有公共点G，
且平面A1C1G∩BC=H，
∴平面A1C1G∩平面ABC=GH.
又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1，∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点.
反
思
感
悟
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示.
如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，求BD的长.
跟踪训练 3
∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD，∴AB∥CD，可得
=.
∵PA=6，AC=9，PD=8，∴=，
解得BD=.
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理.
(2)平面与平面平行的性质定理.
(3)平行关系的综合应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
随堂演练
四
1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面
∵α∥β，∴α与β无公共点，又m α，n β，
∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面.
√
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2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.以上判断都不对
√
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4
3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，
平面BCC1B1∥平面FEE1F1，
平面AFF1A1∥平面CDD1C1，
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，故此六棱柱的
面中互相平行的有4对.
√
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4
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则= .
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4
∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为
A'B'，AB，
∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，A'C'∥AC，
易得△ABC∽△A'B'C'，
∴===.
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课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A D B ACD A A 平行四边形
题号 8 11 12 13 14 15
答案 A B ACD BCD
对一对
答案
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9.
因为BE∥AA1，
AA1 平面AA1D，
BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
答案
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9.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，
BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，
平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，
所以EC∥A1D.
答案
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10.
(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
答案
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10.
(2)取BB1的中点M，
连接MC1，ME，
如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME A1B1，
又A1B1 C1D1，
∴ME C1D1，
答案
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10.
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM C1F，
∴F为棱CC1的中点.
答案
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16.
(1)当=1时，
BC1∥平面AB1D1.
理由如下：
如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
答案
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所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，
BC1 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1，
所以当=1时，
BC1∥平面AB1D1.
答案
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16.
(2)由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD=D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形.
所以AD1∥DC1.
又因为DC1 平面AB1D1，
AD1 平面AB1D1，
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1，
BC1 平面BC1D，
答案
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DC1 平面BC1D，
DC1∩BC1=C1，
所以平面BC1D∥平面AB1D1.
1.已知平面α，β，γ，α∩β=a，γ∩β=b，则α∥γ是a∥b的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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基础巩固
答案
因为α∥γ，α∩β=a，γ∩β=b，所以由面面平行的性质定理可得a∥b，则充分性成立；
因为a∥b，α∩β=a，γ∩β=b，所以
且则a∥γ，b∥α，当α∩γ=l时，由线面平行的性质定理可知
a∥l∥b，则必要性不成立，
综上所述，α∥γ是a∥b的充分不必要条件.
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答案
2.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
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答案
3.下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是
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答案
√
B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.
又AB∩BC=B，且AB，BC 平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF.
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答案
4.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的是
A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B.若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C.若α∥β，l α，则l∥β
D.若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n
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答案
√
√
对于A，由面面平行的传递性可知A正确；
对于B，若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以B错误；
对于C，若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确；
对于D，因为α∩β=l，β∩γ=m，l∥γ，所以l∥m，又γ∩α=n，则l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以D正确.
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答案
5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=
A1F，则AF的长为
A.1 B.1.5 C.2 D.3
∵平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1=A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1=BE，∴A1F∥BE，又A1E∥FB，
∴四边形A1FBE为平行四边形，
∴FB=A1E=3-1=2，∴AF=1.
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答案
6.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，不正确的是
A.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
B.若α∥β，a∥α，a β，则a∥β
C.若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l α
D.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则
这两个平面平行
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答案
A选项，由面面平行的性质可知，a与b可能平行，相交，或异面，故A错误，BCD均正确.
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答案
7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是 .
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答案
平行四边形
由夹在两平行平面间的平行线段相等可得.
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则= .
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答案
∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E为BB1的中
点，∴M，N分别为BA，BC的中点，∴MN=AC，即=.
9.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
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答案
因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，
BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，
平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，所以EC∥A1D.
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
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答案
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE，平面BFD1E∩平面
DCC1D1=FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)试确定点F的位置.
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答案
取BB1的中点M，
连接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME A1B1，
又A1B1 C1D1，
∴ME C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，又D1E∥BF，
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答案
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM C1F，
∴F为棱CC1的中点.
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形CDD1C1内(包括边界)的一动点，且满足B1P∥平面BA1E，则点P的轨迹长为
A.2 B.2
C. D.1
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综合运用
答案
如图，分别作CC1，C1D1，DD1的中点G，H，F，连接B1G，B1H，GH，HE，CD1，A1B，A1F，EF，BE，
由题可知HE∥CC1∥BB1，HE=CC1=BB1，
则四边形BB1HE为平行四边形，∴B1H∥BE，
∵B1H 平面BA1E，BE 平面BA1E，
∴B1H∥平面BA1E；
同理可得B1G∥平面BA1E，又B1H∩B1G=B1，B1H，B1G 平面B1GH，
∴平面B1GH∥平面BA1E，
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答案
由题意知P∈平面B1GH，又点P为四边形CDD1C1
内(包括边界)的一动点，
∴P∈线段GH，即点P的轨迹为GH，
∴点P的轨迹长为GH=2.
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答案
12.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且==.若G在线段CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则等于
A. B.
C. D.
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答案
∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分
别在线段DB，DD1上，且==，
∴=，EF∥BD1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1.
∵G在线段CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，
设平面BD1G∩平面ADD1A1=l，
∴BG∥l，AF∥l，
∴AF∥BG.又AD BC，∴DF=CG，
∴==.
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答案
13.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面ABC1D1
C.平面ABCD∥平面A1B1C1D1
D.平面EFG∥平面A1BC1
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答案
√
√
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
又FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面ABC1D1相交，
∴EF与平面ABC1D1相交，故B错误；
由正方体的性质可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，故C正确；
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答案
∵FG∥BC1，EF∥A1C1，BC1 平面A1BC1，FG 平面
A1BC1，A1C1 平面A1BC1，EF 平面A1BC1，
∴FG∥平面A1BC1，EF∥平面A1BC1.又FG∩EF=F，
∴平面EFG∥平面A1BC1，故D正确.
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答案
14.已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ
依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB=EF=3，BC=4，则DE= .
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答案
如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，因为α∩α1=AD，β∩α1=BG，
且α∥β，所以AD∥BG，所以=，同理可得，GE∥CF，==，
所以DE===.
拓广探究
15.(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，设P，Q分别为A1B1，DD1的中点，则过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状可能为
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
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答案
√
√
对选项A，假设过点P，Q的平面α截正方体所得截面
的形状为三角形，则PQ必为三角形的一条边，但线
段PQ不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形
的边，故A项错误；
对选项B，如图1，取AB的中点为M，连接PM，过点
P，Q，M的平面作截面α，则平面B1BAA1∩α=PM，
设平面C1CDD1∩α=l，且点Q∈l，
由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PM∥l，
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答案
又Q∈DD1，且PM∥BB1，又BB1∥DD1，
则PM∥DD1，故DD1所在直线与l重合，
又PM=BB1=DD1，
连接MD，PD1，则四边形PMDD1为平行四边形，且
MD∥PD1，
故此时过点P，Q，M的平面α截正方体所得的截面为四边形PMDD1，故B项正确；
对选项C，如图2，连接PB，过点P，B，Q的平面作截面α，
则平面B1BAA1∩α=PB，设平面C1CDD1∩α=l，
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答案
且点Q∈l，
由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PB∥l，
取DC上靠近D的四等分点为N，连接QN，再分别取
DC，D1C1的中点R，T，连接D1R，CT，PT，
由PT∥B1C1∥BC，PT=B1C1=BC，可得四边形PBCT为平行四边形，
则PB∥CT，同理可证CT∥D1R，又由Q，N分别为D1D，DR的中点，则D1R∥QN，所以PB∥QN，
即QN所在直线与l重合，即平面C1CDD1∩α=QN；
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答案
同理，如图3，取A1D1上靠近D1的三等分点为M，连接PM，BN，
由平面ABCD∥平面A1B1C1D1，可得PM∥BN，平面A1B1C1D1∩α=PM；
连接MQ，此时过点P，B，Q的平面α截正方体所得的截面为五边形PBNQM，故C项正确；
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答案
对选项D，如图4，取M，N，E，F分别为对应棱的中
点，连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM，
可由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，平面ABCD∥平面
A1B1C1D1，平面B1BCC1∥平面A1ADD1，得PM∥QE，
PF∥NE，MN∥FQ，
即此时过点P，M，Q的平面α截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确.
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答案
16.在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点.
(1)当为何值时，BC1∥平面AB1D1？
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答案
当=1时，BC1∥平面AB1D1.
理由如下：
如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于
点O，连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1，
所以当=1时，BC1∥平面AB1D1.
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答案
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
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答案
由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中
点，则有AD∥D1C1，且AD=D1C1，所以四边形ADC1D1
是平行四边形.
所以AD1∥DC1.
又因为DC1 平面AB1D1，AD1 平面AB1D1，
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1，BC1 平面BC1D，DC1 平面BC1D，DC1∩BC1=C1，所以平面BC1D∥平面AB1D1.
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答案8.5.3 平面与平面平行
[学习目标] 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的平行关系，理解并掌握平面与平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.
一、平面与平面平行的判定定理
问题1 如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？该如何判定平面与平面平行呢？
知识梳理
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 β∥α
图形语言
简记 线面平行，面面平行
例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
求证：(1)E，F，D，B四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
跟踪训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，求证：平面PAB∥平面EFG.
二、平面与平面平行的性质定理
问题2 若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？
问题3 试着证明这个结论：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
知识梳理
两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线
符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b
图形语言
简记 面面平行，线线平行
例2 如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点.求证：MN∥α.
跟踪训练2 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
三、平行关系的综合应用
例3 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点.
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC=H，求证：H为BC的中点.
反思感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示.
跟踪训练3 如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，求BD的长.
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理.
(2)平面与平面平行的性质定理.
(3)平行关系的综合应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是( )
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面
2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.以上判断都不对
3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则= .
答案精析
问题1 三角尺和桌面一定平行，硬纸片不一定平行.即如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
知识梳理
两条相交直线 b β a∩b=P
a∥α
例1 证明 (1)如图，连接B1D1，
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，
∴BD∥EF.
∴E，F，D，B四点共面.
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，
BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.连接MF，
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF=A1D1，
又A1D1∥AD，A1D1=AD，
∴MF∥AD，MF=AD，
∴四边形ADFM是平行四边形，
∴AM∥DF.
又AM 平面EFDB，
DF 平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
∵AM∩MN=M，AM，
MN 平面MAN，
∴平面MAN∥平面EFDB.
跟踪训练1 证明 ∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，
PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，
AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG=E，
EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
问题2 直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.
当a与b不异面，即在同一个平面内时，a与b平行.
问题3 如图，平面α∥β，平面γ分别与平面α，β相交于直线a，b.
∵α∩γ=a，
β∩γ=b，
∴a α，b β.
又α∥β，
∴a，b没有公共点.
又a，b同在平面γ内，∴a∥b.
知识梳理
平行 a∥b
例2 证明 若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC.
∵α∥β，∴AC∥BD.
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴MN∥BD.
又BD α，MN α，∴MN∥α.
若AB，CD异面，如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.
∵AE∥CD，
∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC.
∵α∥β，∴ED∥AC.
又P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥ED，又PN α，ED α，
∴PN∥α，
同理MP∥BE，又MP α，BE α，
∴MP∥α，
又MP∩PN=P，MP，
PN 平面MPN，
∴平面MPN∥α，
又MN 平面MPN，∴MN∥α.
跟踪训练2 证明 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，
且DE∩DF=D，DE，
DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF，
平面PCM∩平面ABC=CM，
所以NF∥CM.
例3 证明 (1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1.
∵A1C1 平面A1C1G，
EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G.
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F=BG，A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，
∴BF∥A1G.
∵A1G 平面A1C1G，
BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF=F，EF，
BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面A1C1G与平面ABC有公共点G，
且平面A1C1G∩BC=H，
∴平面A1C1G∩平面ABC=GH.
又平面ABC∥平面A1B1C1，
平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1，
∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.
∵G为AB的中点，
∴H为BC的中点.
跟踪训练3 解 ∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD，∴AB∥CD，可得=.
∵PA=6，AC=9，PD=8，
∴=，
解得BD=.
随堂演练
1.D 2.C 3.D 4.作业33 平面与平面平行
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1.已知平面α，β，γ，α∩β=a，γ∩β=b，则α∥γ是a∥b的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
3.下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )
4.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的是( )
A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B.若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C.若α∥β，l α，则l∥β
D.若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n
5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
6.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，不正确的是( )
A.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
B.若α∥β，a∥α，a β，则a∥β
C.若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l α
D.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行
7.(5分)如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是 .
8.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则= .
9.(10分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
10.(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；(5分)
(2)试确定点F的位置.(5分)
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形CDD1C1内(包括边界)的一动点，且满足B1P∥平面BA1E，则点P的轨迹长为( )
A.2 B.2 C. D.1
12.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且==.若G在线段CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则等于( )
A. B. C. D.
13.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则( )
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面ABC1D1
C.平面ABCD∥平面A1B1C1D1
D.平面EFG∥平面A1BC1
14.(5分)已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB=EF=3，BC=4，则DE= .
15.(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，设P，Q分别为A1B1，DD1的中点，则过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状可能为( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
16.(12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点.
(1)当为何值时，BC1∥平面AB1D1？(6分)
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.(6分)
答案精析
1.A 2.D 3.B 4.ACD 5.A 6.A
7.平行四边形 8.
9.证明 因为BE∥AA1，
AA1 平面AA1D，
BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，
BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，
平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，
所以EC∥A1D.
10.(1)证明 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)解 取BB1的中点M，
连接MC1，ME，
如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME綊A1B1，
又A1B1綊C1D1，
∴ME綊C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM綊C1F，
∴F为棱CC1的中点.
11.A [如图，分别作CC1，C1D1，DD1的中点G，H，F，连接B1G，B1H，GH，HE，CD1，A1B，A1F，EF，BE，由题可知
HE∥CC1∥BB1，HE=CC1=BB1，
则四边形BB1HE为平行四边形，
∴B1H∥BE，
∵B1H 平面BA1E，
BE 平面BA1E，
∴B1H∥平面BA1E；
同理可得B1G∥平面BA1E，又B1H∩B1G=B1，
B1H，B1G 平面B1GH，
∴平面B1GH∥平面BA1E，
由题意知P∈平面B1GH，又点P为四边形CDD1C1内(包括边界)的一动点，
∴P∈线段GH，即点P的轨迹为GH，
∴点P的轨迹长为GH=2.]
12.B [∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且==，
∴=，EF∥BD1，
平面ADD1A1∥平面BCC1B1.
∵G在线段CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，
设平面BD1G∩平面ADD1A1=l，
∴BG∥l，AF∥l，
∴AF∥BG.又AD綊BC，∴DF=CG，
∴==.]
13.ACD [∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1.
∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
又FG 平面AA1D1D，
AD1 平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面ABC1D1相交，
∴EF与平面ABC1D1相交，故B错误；
由正方体的性质可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，故C正确；
∵FG∥BC1，EF∥A1C1，
BC1 平面A1BC1，FG 平面A1BC1，
A1C1 平面A1BC1，EF 平面A1BC1，
∴FG∥平面A1BC1，
EF∥平面A1BC1.又FG∩EF=F，
∴平面EFG∥平面A1BC1，故D正确.]
14.
解析 如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，
因为α∩α1=AD，
β∩α1=BG，且α∥β，
所以AD∥BG，
所以=，同理可得，GE∥CF，=，
所以=，
所以DE===.
15.BCD [对选项A，假设过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状为三角形，则PQ必为三角形的一条边，但线段PQ不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边，故A项错误；
对选项B，如图1，取AB的中点为M，连接PM，过点P，Q，M的平面作截面α，
则平面B1BAA1∩α=PM，
设平面C1CDD1∩α=l，且点Q∈l，
由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，
则PM∥l，
又Q∈DD1，且PM∥BB1，
又BB1∥DD1，
则PM∥DD1，故DD1所在直线与l重合，
又PM=BB1=DD1，
连接MD，PD1，则四边形PMDD1为平行四边形，且MD∥PD1，
故此时过点P，Q，M的平面α截正方体所得的截面为四边形PMDD1，故B项正确；
对选项C，如图2，连接PB，过点P，B，Q的平面作截面α，
则平面B1BAA1∩α=PB，设平面C1CDD1∩α=l，
且点Q∈l，
由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，
则PB∥l，
取DC上靠近D的四等分点为N，连接QN，再分别取DC，D1C1的中点R，T，连接D1R，CT，PT，
由PT∥B1C1∥BC，PT=B1C1=BC，可得四边形PBCT为平行四边形，
则PB∥CT，同理可证CT∥D1R，
又由Q，N分别为D1D，DR的中点，
则D1R∥QN，
所以PB∥QN，
即QN所在直线与l重合，
即平面C1CDD1∩α=QN；
同理，如图3，取A1D1上靠近D1的三等分点为M，连接PM，BN，
由平面ABCD∥
平面A1B1C1D1，
可得PM∥BN，
平面A1B1C1D1∩α=PM；
连接MQ，此时过点P，B，Q的平面α截正方体所得的截面为五边形PBNQM，故C项正确；
对选项D，如图4，取M，N，E，F分别为对应棱的中点，连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM，
可由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，
平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面B1BCC1∥平面A1ADD1，
得PM∥QE，PF∥NE，MN∥FQ，
即此时过点P，M，Q的平面α截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确.]
16.(1)解 当=1时，
BC1∥平面AB1D1.
理由如下：
如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，
BC1 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1，
所以当=1时，
BC1∥平面AB1D1.
(2)证明 由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD=D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形.所以AD1∥DC1.
又因为DC1 平面AB1D1，
AD1 平面AB1D1，
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1，
BC1 平面BC1D，
DC1 平面BC1D，
DC1∩BC1=C1，
所以平面BC1D∥平面AB1D1.
