(共83张PPT)
第八章
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圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
8.3.2
1.掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.(重点)
2.理解圆台的表面积与体积公式的推导.(难点)
3.会求简单组合体的表面积和体积.
学习目标
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？
导 语
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
课时对点练
三、简单组合体的表面积和体积公式的应用
随堂演练
内容索引
一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱的表面积是围成圆柱的各个面的面积和，大家能说一下圆柱的表面包括哪几部分吗？我们又如何计算它们的面积呢？
问题1
提示 圆柱的表面积=上底面面积+下底面面积+侧面面积.
圆柱的上、下底面是大小相等的两个圆面.
圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).则S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长.
如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
问题2
提示 圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl=πrl，则S圆锥侧=πrl，S圆锥表=πr(r+l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.
如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
问题3
提示 圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，
=，解得x=l，
S扇环=S大扇形-S小扇形=πR(x+l)-πrx=π［(R-r)x+Rl］=π(r+R)l，
所以S圆台侧=π(r+R)l，
S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底=_______；
侧面积：S侧=_______；
表面积：S=_________
圆锥 底面积：S底=_____；
侧面积：S侧=_____；
表面积：S=_________
2πr2
2πrl
2πr(r+l)
πr2
πrl
πr(r+l)
图形 表面积公式
旋转体 圆台 上底面面积：
S上底=______；
下底面面积：
S下底=_____；
侧面积：
S侧=__________；
表面积：S=_______________
πr'2
πr2
π(r'l+rl)
π(r'2+r2+r'l+rl)
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？
问题4
提示
(1)已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是 .
例 1
1
方法一 设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以πl2=2π，解得l=2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR=2π，解得R=1.
方法二 设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr=2πR，即r=2R，所以侧面展开图的面积为·2R·2πR=2πR2=2π，解得R=1.
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为 .
3
设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧=7π(r+3r)=84π，解得r=3.
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开图.
(2)依次求出各个平面图形的面积.
(3)将各个平面图形的面积相加.
反
思
感
悟
若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为
A.9π B.12π C.π D.π
跟踪训练 1
√
由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则h=2r=3，所以圆柱的侧面积为2πr·h=9π.
二
圆柱、圆锥、圆台的体积
我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即
V圆柱=πr2h(r是底面半径，h是高)，
V圆锥=πr2h(r是底面半径，h是高).
你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
问题5
提示 V圆台=πh(r'2+r'r+r2).
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱=Sh=_______ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥=Sh=_______ 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台=h(S'++S) =______________ 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
πr2h
πr2h
πh(r'2+r'r+r2)
1.
2.柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积
柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高)
锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)
台体 V台体=h(S'++S )(S'，S分别为上、下底面面积，h为高)
当S=S'时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S'=0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式.
注 意 点
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(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是
A. cm3 B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
例 2
√
当圆柱的高为8 cm时，V=π××8=(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，
V=π××12=(cm3).
√
(2)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆
台的体积是 .
设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，
则S上=πr2=π，S下=πR2=4π，
∴r=1，R=2，S侧=π(r+R)l=6π，
∴l=2，∴h=，
∴V=π(1+4+1×2)×=.
反
思
感
悟
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形(或直角梯形)中列出方程并求解.
圆柱、圆锥、圆台的体积的解题策略
(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为
A.2π B.3π C.6π D.9π
跟踪训练 2
√
设圆柱的底面半径为r，
则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，
所以2πr×=πr×，
即2=，故r=3，
故圆锥的体积为π×9×=3π.
三
简单组合体的表面积和体积公式的应用
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.
例 3
如题图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，
∴CD==2a，
AB=CDsin 60°=a.
∴DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a.
∴DO=DD'=a.
以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.
由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
∴圆柱的侧面积S1=2π·2a·a=4πa2，
圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2，
圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2，
圆锥的底面积S4=πa2.
∴组合体上底面面积S5=S3-S4=3πa2.
∴旋转体的表面积
S=S1+S2+S3+S5=(4+9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积.
V柱=S3h=4πa2·a=4πa3.
V锥=S4h=·πa2·a=πa3.
∴V=V柱-V锥=4πa3-πa3=πa3.
反
思
感
悟
(1)求解组合体的体积与表面积时经常用割补法.补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体.
(2)解答本例题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢固.
简单组合体的表面积与体积的方法
(1)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积.
跟踪训练 3
该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.
令BD=R，HD=r，AB=l，EH=h，
则R=2，r=1，l=4，h=.
所以圆锥的表面积S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π，
圆柱的侧面积S2=2πrh=2π×1×=2π.
所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12π+2π=(12+2)π.
(2)若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5+)π，求这个旋转体的体积.
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体.过点C作CE⊥AB于点E，
设CD=x，
则AB=x，
则AD=CE=BE=AB-CD=，BC=x.
S表=S圆柱底+S圆柱侧+S圆锥侧=π·AD2+2π·AD·CD+π·CE·BC=π·+2π··x+π··x
=πx2.
根据题设得πx2=(5+)π，则x=2.
所以旋转体的体积V=π·AD2·CD+·CE2·BE
=π×12×2+×12×1=.
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.
(3)简单组合体的表面积和体积公式的应用.
2.方法归纳：公式法、转化法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.
随堂演练
四
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2
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1.若半径为R的半圆卷成一个无底圆锥，则它的体积是
A.πR3 B.πR3 C.πR3 D.πR3
√
设无底圆锥底面半径为r，则2πr=πR，所以r=.所以圆锥的高h==R.所以体积V=πr2×h=π×R=πR3.
2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为
A.3 B.4 C.5 D.6
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√
设圆台的高为h，由题意知V=π(12+1×2+22)h=7π，解得h=3.
3.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是
A. B. C. D.
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√
设圆柱的底面圆半径为r，
∴2πr=2，∴r=，∴S侧=4，S底=πr2=，
∴==.
4.某花器(如图1)可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体(如图2).已知大圆台的两底面半径和高分别为2 cm、4 cm、12 cm，小圆台的两底面半径和高分别为2 cm、3 cm、6 cm，则该几何体的体积为________cm3.
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根据圆台的体积公式V=π(r2+rr'+r'2)h，
可得V=π×(22+2×4+42)×12+π×
(22+2×3+32)×6=150π(cm3).
课时对点练
五
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D C ABC 16π 6 cm
题号 11 12 13 14 15
答案 A AB ∶4 BCD
对一对
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9.
过点C作CD⊥AB于点D，
如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB=5，
因为AC2+BC2=AB2，
所以△ABC为直角三角形，
所以圆锥底面半径DC==，
故S表=π·DC·(BC+AC)=.
答案
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10.
(1)连接AC(图略)，
∵矩形ABCD内接于☉O，
∴AC是☉O的直径.
∴AC=2，又AB=x，
∴BC=，
∴S=AB·BC=x(0
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10.
(2)∵长方体的高AA1=1，
∴V=S·AA1=x
≤=2，
当x=，即x=时，V取得最大值，Vmax=2.
答案
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16.
如图所示是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB=60°，过A1作A1H⊥AB于点H，则O1O=A1H=A1Asin 60°=4(cm)，
AH=A1Acos 60°=4(cm).
设O1A1=r1，OA=r2，
则r2-r1=AH=4. ①
设A1B与AB1的交点为M，
则A1M=B1M.
答案
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16.
又A1B⊥AB1，
∴∠A1MO1=∠B1MO1=45°.∴O1M=O1A1=r1.
同理OM=OA=r2.
∴O1O=O1M+OM=r1+r2=4， ②
由①②可得r1=2(-1)，
r2=2(+1).
∴S表=π+π+π(r1+r2)l=32(1+)π(cm2).
答案
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1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是
A.4π B.3π C.2π D.π
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基础巩固
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由题意可得，旋转之后所得几何体为圆柱，且圆柱底面圆的半径为1，高为1，所以侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.
√
答案
2.圆锥的母线长扩大到原来的n倍，底面半径缩小为原来的，那么它的侧面积变为原来的
A.1倍 B.n倍 C.n2倍 D.
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设变化前圆锥的底面半径为r，母线长为l，则侧面积S=πrl，
变化后其底面半径为r，母线长为nl，故此时侧面积S'=π·r·nl=πrl，所以S'=S.
故侧面积大小不变，为原来的1倍.
答案
3.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为
A.2 B.2 C.4 D.8
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圆台的轴截面如图，由题意知，l=(r+R)，
S圆台侧=π(r+R)·l=π·2l·l=32π，∴l=4.
答案
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4.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
A.5π B.6π
C.20π D.10π
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答案
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用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5=20π，故所求几何体的体积为10π.
答案
5.某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为
A.36+12π
B.36+16π
C.40+12π
D.40+16π
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由几何体的直观图可知该几何体为长方体与半圆柱的组合体，
其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，
∴几何体的表面积S=π×22×2+×π×4×4+2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=40+12π.
答案
6.(多选)在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20 厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是
A.若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费
为2π元
B.用此斗笠盛水，则需要1 000π立方厘米的水才能将斗笠装满
C.斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°
D.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100 平方厘米
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如图所示，由题意知，PA=20厘米，
AB=20 厘米，
对于A，圆锥的侧面积S=πrl=π×10×20=200π(平方厘米)，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2π元，故正确；
对于B，PO==10(厘米)，圆锥的体积V=πr2·PO=×π××10=1 000π(立方厘米)，所以用此斗笠盛水，则需要1 000π立方厘米的水才能将斗笠装满，故正确；
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对于C，sin∠APO===，则∠APO=60°，所以∠APB=120°，所以斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°，故正确；
对于D，由C知斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°，所以过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积S=×20×20×sin 90°=200(平方厘米)，故错误.
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7.已知某圆锥体的底面半径r=2，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是 .
因为底面周长，即扇形的弧长为4π，设圆锥母线长为l，则可得4π=×l，解得l=6，故可得圆锥的侧面积S=πrl=12π.则表面积为12π+πr2=12π+4π=16π.
16π
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8.若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 .
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水的体积V=π×22×6=24π(cm3).设圆锥中水的底面半径为r，则水的高度为r，
∴πr2·r=24π，∴r3=24.
∴(r)3=216，∴r=6，即圆锥中水面的高度为6 cm.
答案
9.如图所示，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积.
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过点C作CD⊥AB于点D，
如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB=5，
因为AC2+BC2=AB2，
所以△ABC为直角三角形，所以圆锥底面半径
DC==，
故S表=π·DC·(BC+AC)=.
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10.如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体ABCD-A1B1C1D1，设矩形ABCD的面积为S，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V，AB=x.
(1)将S表示为x的函数；
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连接AC(图略)，∵矩形ABCD内接于☉O，∴AC是☉O的直径.
∴AC=2，又AB=x，∴BC=，
∴S=AB·BC=x(0
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(2)求V的最大值.
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∵长方体的高AA1=1，
∴V=S·AA1=x≤=2，
当x=，即x=时，V取得最大值，Vmax=2.
答案
11.如图所示，在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
A.π B.π
C.π D.2π
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综合运用
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由题意，旋转而成的几何体是圆柱挖去一个圆锥(如图)，所以该几何体的体积为π×12×2-×π×12×1=π.
答案
12.(多选)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则
A.圆锥的母线长为9
B.圆锥的表面积为36π
C.圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°
D.圆锥的体积为12π
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对于B，圆锥的表面积为3π×9+π×32=36π，故B正确；
对于C，圆锥的底面圆周长为2π×3=6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为α rad，则6π=9α，解得α=，即α=120°，故C错误；
对于A，设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，圆锥的侧面积为πrl=3πl，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则πl2=9πl，所以圆锥的母线长l=9，故A正确；
答案
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对于D，圆锥的高h===6，所以圆锥的体积V=πr2h=π×32×6=18π，故D错误.
答案
13.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台母线长分别为2(r2-r1)，3(r2-r1)，则圆台甲与乙的体积之比为 .
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由题可得两个圆台的高分别为
h甲==(r2-r1)，
h乙==2(r2-r1)，
所以====.
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14.如图所示的图形是由六个直角边均为1和的直角三角形组成的，则该图形绕直线l旋转一周得到的
几何体的体积为 .
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由题意可得该图形外面的正六边形边长为
，所以外面的六边形绕l旋转一周得到的
几何体的体积为2×××=.
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内部的正六边形的边长为1，绕直线l旋转一周得到的几何体是由底面圆的半径均为，高为1的一个圆柱组成的，
所以内部的六边形绕l旋转一周得到的几何体的体积为2××π××+π××1=π.
所以所求几何体的体积为-π=.
答案
15.(多选)折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且∠ABC=120°，则该圆台
A.高为
B.表面积为
C.体积为
D.上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶24
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拓广探究
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对于A，设圆台的上底面半径为r，
下底面半径为R，
则2πr=·2π·1，2πR=·2π·3，
解得r=，R=1，又圆台的母线长为3-1=2，所以高为=，
选项A错误；
对于B，圆台的上底面积为，下底面积为π，侧面积为π××2=，
所以圆台的表面积为+π+=，选项B正确；
答案
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对于C，圆台的体积为π××=，选项C正确；
对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为∶π∶=1∶9∶
24，选项D正确.
答案
16.圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.
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如图所示是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB=60°，过A1作A1H⊥AB于点H，则O1O=A1H=A1Asin 60°=4(cm)，
AH=A1Acos 60°=4(cm).
设O1A1=r1，OA=r2，则r2-r1=AH=4. ①
设A1B与AB1的交点为M，则A1M=B1M.
又A1B⊥AB1，∴∠A1MO1=∠B1MO1=45°.∴O1M=O1A1=r1.同理OM=OA=r2.
∴O1O=O1M+OM=r1+r2=4， ②
由①②可得r1=2(-1)，r2=2(+1).
∴S表=π+π+π(r1+r2)l=32(1+)π(cm2).
答案8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
［学习目标］ 1.掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.2.理解圆台的表面积与体积公式的推导.3.会求简单组合体的表面积和体积.
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题1 圆柱的表面积是围成圆柱的各个面的面积和，大家能说一下圆柱的表面包括哪几部分吗？我们又如何计算它们的面积呢？
问题2 如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
问题3 如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
知识梳理
图形 表面积公式
旋 转 体 圆 柱 底面积： S底= ； 侧面积： S侧= ； 表面积： S=
圆 锥 底面积： S底= ； 侧面积： S侧= ； 表面积： S=
圆 台 上底面面积： S上底= ； 下底面面积： S下底= ； 侧面积： S侧= ； 表面积：S=
问题4 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？
例1 (1)已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是 .
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为 .
跟踪训练1 若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为( )
A.9π B.12π C.π D.π
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
问题5 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即V圆柱=πr2h(r是底面半径，h是高)，
V圆锥=πr2h(r是底面半径，h是高).
你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
知识梳理
1.
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱=Sh= 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥=Sh= 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台=h(S'++S) = 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
2.柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积
柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高)
锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)
台体 V台体=h(S'++S)(S'，S分别为上、下底面面积，h为高)
例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )
A. cm3 B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
(2)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是 .
跟踪训练2 (2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A.2π B.3π C.6π D.9π
三、简单组合体的表面积和体积公式的应用
例3 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.
跟踪训练3 (1)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积.
(2)若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5+)π，求这个旋转体的体积.
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.
(3)简单组合体的表面积和体积公式的应用.
2.方法归纳：公式法、转化法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.
1.若半径为R的半圆卷成一个无底圆锥，则它的体积是( )
A.πR3 B.πR3
C.πR3 D.πR3
2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )
A. B.
C. D.
4.某花器(如图1)可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体(如图2).已知大圆台的两底面半径和高分别为2 cm、4 cm、12 cm，小圆台的两底面半径和高分别为2 cm、3 cm、6 cm，则该几何体的体积为 cm3.
答案精析
问题1 圆柱的表面积=上底面面积+下底面面积+侧面面积.
圆柱的上、下底面是大小相等的两个圆面.
圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).则S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长.
问题2 圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl=πrl，则S圆锥侧=πrl，S圆锥表=πr(r+l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.
问题3 圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，
=，解得x=l，
S扇环=S大扇形-S小扇形
=πR(x+l)-πrx
=π［(R-r)x+Rl］=π(r+R)l，
所以S圆台侧=π(r+R)l，
S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).
知识梳理
2πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl
πr(r+l) πr'2 πr2 π(r'l+rl) π(r'2+r2+r'l+rl)
问题4
例1 (1)1
解析 方法一 设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以πl2=2π，解得l=2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR=2π，解得R=1.
方法二 设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr=2πR，即r=2R，所以侧面展开图的面积为·2R·2πR=2πR2=2π，解得R=1.
(2)3
解析 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧=7π(r+3r)=84π，解得r=3.
跟踪训练1 A
问题5 V圆台=πh(r'2+r'r+r2).
知识梳理
1.πr2h πr2h πh(r'2+r'r+r2)
例2 (1)AB ［当圆柱的高为8 cm时，V=π××8=(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，
V=π××12=(cm3).］
(2)
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，
则S上=πr2=π，S下=πR2=4π，
∴r=1，R=2，S侧=π(r+R)l=6π，
∴l=2，∴h=，
∴V=π(1+4+1×2)×=.
跟踪训练2 B
例3 解 如题图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=a，
BC=2a，∠DCB=60°，
∴CD==2a，
AB=CDsin 60°=a.
∴DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a.
∴DO=DD'=a.
以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.
由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
∴圆柱的侧面积S1=2π·2a·a=4πa2，
圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2，
圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2，
圆锥的底面积S4=πa2.
∴组合体上底面面积S5=S3-S4
=3πa2.
∴旋转体的表面积
S=S1+S2+S3+S5=(4+9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积.
V柱=S3h=4πa2·a=4πa3.
V锥=S4h=·πa2·a
=πa3.
∴V=V柱-V锥=4πa3-πa3
=πa3.
跟踪训练3 (1)解 该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.
令BD=R，HD=r，AB=l，EH=h，
则R=2，r=1，l=4，h=.
所以圆锥的表面积S1=πR2+πRl
=π×22+π×2×4=12π，
圆柱的侧面积S2=2πrh=2π×1×=2π.
所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12π+2π=(12+2)π.
(2)解 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体.过点C作CE⊥AB于点E，
设CD=x，
则AB=x，
则AD=CE=BE=AB-CD=，BC=x.
S表=S圆柱底+S圆柱侧+S圆锥侧=π·AD2+2π·AD·CD+π·CE·BC
=π·+2π··x+π··x
=πx2.
根据题设得πx2=(5+)π，
则x=2.
所以旋转体的体积V=π·AD2·CD+·CE2·BE=π×12×2+×12×1=.
随堂演练
1.C 2.A 3.A 4.150π作业27 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A.4π B.3π C.2π D.π
2.圆锥的母线长扩大到原来的n倍，底面半径缩小为原来的，那么它的侧面积变为原来的( )
A.1倍 B.n倍 C.n2倍 D.
3.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A.2 B.2 C.4 D.8
4.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A.5π B.6π C.20π D.10π
5.某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.36+12π B.36+16π
C.40+12π D.40+16π
6.(多选)在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20 厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是( )
A.若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2π元
B.用此斗笠盛水，则需要1 000π立方厘米的水才能将斗笠装满
C.斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°
D.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100 平方厘米
7.(5分)已知某圆锥体的底面半径r=2，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是 .
8.(5分)若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 .
9.(10分)如图所示，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积.
10.(10分)如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体ABCD-A1B1C1D1，设矩形ABCD的面积为S，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V，AB=x.
(1)将S表示为x的函数；(5分)
(2)求V的最大值.(5分)
11.如图所示，在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.π B.π C.π D.2π
12.(多选)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )
A.圆锥的母线长为9
B.圆锥的表面积为36π
C.圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°
D.圆锥的体积为12π
13.(5分)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台母线长分别为2(r2-r1)，3(r2-r1)，则圆台甲与乙的体积之比为 .
14.(5分)如图所示的图形是由六个直角边均为1和的直角三角形组成的，则该图形绕直线l旋转一周得到的几何体的体积为 .
15.(多选)折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且∠ABC=120°，则该圆台( )
A.高为
B.表面积为
C.体积为
D.上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶24
16.(12分)圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.
答案精析
1.C 2.A 3.C 4.D 5.C
6.ABC ［如图所示，由题意知，
PA=20厘米，
AB=20 厘米，
对于A，圆锥的侧面积S=πrl=π×10×20=200π(平方厘米)，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2π元，故正确；
对于B，PO==10(厘米)，圆锥的体积V=πr2·PO=×π××10=1 000π(立方厘米)，所以用此斗笠盛水，则需要1 000π立方厘米的水才能将斗笠装满，故正确；
对于C，sin∠APO===，则∠APO=60°，所以∠APB=120°，所以斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°，故正确；
对于D，由C知斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°，所以过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积S=×20×20×sin 90°=200(平方厘米)，故错误.］
7.16π 8.6 cm
9.解 过点C作CD⊥AB于点D，
如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB=5，
因为AC2+BC2=AB2，
所以△ABC为直角三角形，
所以圆锥底面半径
DC==，
故S表=π·DC·(BC+AC)
=.
10.解 (1)连接AC(图略)，
∵矩形ABCD内接于☉O，
∴AC是☉O的直径.
∴AC=2，又AB=x，
∴BC=，
∴S=AB·BC=x(0
∴V=S·AA1=x
≤=2，
当x=，即x=时，V取得最大值，Vmax=2.
11.A ［由题意，旋转而成的几何体是圆柱挖去一个圆锥(如图)，所以该几何体的体积为π×12×2-×π×12×1=π.
］
12.AB ［对于A，设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，圆锥的侧面积为πrl=3πl，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则πl2=9πl，所以圆锥的母线长l=9，故A正确；
对于B，圆锥的表面积为3π×9+π×32=36π，故B正确；
对于C，圆锥的底面圆周长为2π×3=6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为α rad，则6π=9α，解得α=，即α=120°，故C错误；
对于D，圆锥的高h===6，所以圆锥的体积V=πr2h=π×32×6=18π，故D错误.］
13.∶4
解析 由题可得两个圆台的高分别为
h甲=
=(r2-r1)，
h乙=
=2(r2-r1)，
所以=
===.
14.
解析 由题意可得该图形外面的正六边形边长为，旋转得到的几何体是由两个同底的圆台组成的，两圆台的两个底面圆的半径分别为和，高均为，所以外面的六边形绕l旋转一周得到的几何体的体积为2×××
=.
内部的正六边形的边长为1，绕直线l旋转一周得到的几何体是由底面圆的半径均为，高均为的两个圆锥和底面圆的半径为，高为1的一个圆柱组成的，所以内部的六边形绕l旋转一周得到的几何体的体积为2××π××+π××1=π.
所以所求几何体的体积为-π=.
15.BCD ［对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
则2πr=·2π·1，2πR=·2π·3，
解得r=，R=1，又圆台的母线长为3-1=2，所以高为=，选项A错误；
对于B，圆台的上底面积为，下底面积为π，侧面积为π××2=，
所以圆台的表面积为+π+=，选项B正确；
对于C，圆台的体积为π××=，选项C正确；
对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为∶π∶=1∶9∶24，选项D正确.］
16.解 如图所示是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB=60°，过A1作A1H⊥AB于点H，则O1O=A1H=A1Asin 60°=4(cm)，
AH=A1Acos 60°=4(cm).
设O1A1=r1，OA=r2，
则r2-r1=AH=4. ①
设A1B与AB1的交点为M，
则A1M=B1M.
又A1B⊥AB1，
∴∠A1MO1=∠B1MO1=45°.
∴O1M=O1A1=r1.
同理OM=OA=r2.
∴O1O=O1M+OM=r1+r2=4， ②
由①②可得r1=2(-1)，
r2=2(+1).
∴S表=π+π+π(r1+r2)l
=32(1+)π(cm2).
