2024-2025 学年四川省成都市石室天府中学九年级上期末模拟（2）
数学试题
A 卷（共 100 分）
一、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）
1. 如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
y 3 x y
2. 若 ，则 的值为（ ）
x 2 x
3 5
A. B. 5 C. D. 1
2 2 2
3. 一个不透明的口袋中装有 8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的
1
概率是 ，估计袋中白球的个数是（ ）
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 如图，若 D、E 分别为△ABC 中 AB、AC 边上的点，且∠AED=∠B，AD=3，AC=6，DB=5，则 AE 的长度为（ ）
9 5 18
A. B. C. D. 4
4 2 5
5. 某厂家今年一月份的口罩产量是 30万个，三月份的口罩产量是 50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量
的月平均增长率为 x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50
C 2. 30（1+x ）＝50 D. 30（1﹣x
2）＝50
k
6. 如图，在平面直角坐标系中，点 A在第一象限，BA⊥y 轴于点 B，反比例函数 y= （x＞0）的图象与线段 AB相
x
交于点 C，且 C是线段 AB的中点，若△OAB的面积为 3，则 k的值为( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 3
3
k
7. 已知正比例函数 y k1x和反比例函数 y 2 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 k1 k2 0的是x
（ ）
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝kx（k＞0）与双曲线 交于 A，B两点，AC⊥x轴于点 C，连接 BC交 y
轴于点 D，结合图象判断下列结论，错误的为（ ）
A．点 A与点 B关于原点对称 B．点 D是 BC的中点
C．在 中，y的值随 x值的增大而减小 D．S△BOD＝
二、填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
9. 一元二次方程 x2 2x的根是_______．
3
10. 边长为 4的正方形 ABCD，在 BC边上取一动点 E，连接 AE，作 EF⊥AE，交 CD边于点 F，若 CF 的长为 ，
4
则 CE的长为 _____ ．
11. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以 B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点
M，N； ②作直线 MN交 AB于点 D，连结 CD．若 CD＝AC，∠A＝48°，则∠ACB＝ ．
12. 已知点 3, y1 和 2, y2
4
在反比例函数 y 的图象上，则 y
x 1
与 y2 的大小关系是______．
13. 如图，在△ABC中，已知 AE平分∠BAC，BE⊥AE于点 E，F是 BC的中点，若 AB＝14cm，AC＝20cm，则 EF
＝ cm．
三、解答题（共 48 分）
2
14. （1）计算： (3.14 )
0 8 4sin 45 |1 3 | 1 ； （2）解方程： x
2 6x 7．
2
15. 某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，
抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列
问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
（2）若参加比赛的共有 550名学生，则成绩良好的学生有 人．
（3）此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，
请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率．
16. 下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定
方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度 AB
目标示意图
测量数据 BC＝1.5m，BD＝10m，DE＝1.8m
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
任务一：（1）请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度 AB；
（2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识． （写出一个即可）
任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段 AB表示河宽，请直接写出
需要测量的线段有哪些？
17. 如图，在菱形 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点 E为边 AB上一个动点，延长 BA到点 F，使 AF＝AE，且
CF、DE相交于点 G．
（1）当点 E运动到 AB中点时，证明：四边形 DFEC是平行四边形；
（2）当 CG＝2时，求 AE的长；
18. 如图，在平面直角坐标系 xOy y 2x 2 y k中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 A m, 4 ，B
x
两点．
（1）求反比例函数的表达式及点 B的坐标；
（2）点 C是第一象限内反比例函数图象上一点，且 S ABC 6，求点 C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 C位于点 B左侧，连接BC，点 M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点 N，使以
点 B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
B 卷（共 50 分）
一、填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
19. 已知线段 AB＝4，点 P是线段 AB的黄金分割点，则 AP的长为_____．
20. 对于函数 y＝ ，当函数值 y＜﹣1时，自变量 x的取值范围是 ．
21. 已知平行四边形 ABCD的两边 AB、 AD 2的长是关于 x的方程 x mx
m 1
0的两个实数根，当四边形
2 4
ABCD是菱形时，其周长为_________．
22. 如图，分别以正方形 ABCD的顶点 A，D为圆心，边长为半径，在正方形内部作 B D和 AC，现随意在正方形
ABCD中取点，则这个点取在阴影部分里的概率是_________．
23. 如图，在 ABCD中，BC 6 5 ，对角线 BD 10, tan DBC
1
，点 E是线段 BC上的动点，连接 DE，
2
过点 D作 DP⊥DE，在射线 DP上取点 F，使得 DFE DBC，连接 CF,则 DCF 周长的最小值为___________.
24．某商场以每件 20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）
之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利 w（元）．
（1）求 y与 x之间的函数关系式；
（2）该商场规定这种商品每件售价不得高于 40元，商场要想获得 600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
25 l y kx+b = 3．在平面直角坐标系中，直线 ： ＝ 与双曲线 相交于 A，B两点，其中点 A（1，a）．
（1）如图 1，当 k＝﹣1时，
①求点 B坐标；
②连接 AO并延长，交双曲线于另一点 C，射线 AD平分∠OAB，若 CE⊥AD于点 E，求点 E的坐标；
（2）如图 2，若直线 AB分别交双曲线于第一、三象限，点 B关于原点的对称点为点 P，连接 BP，AP，若线段
AP的长为 5 53 ，求 k的值．
26.如图，在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝α．点 C是 BD延长线上一动点，连接 AC，将 AC绕点 A顺时针旋转α
得到 AE，连接 DE交 AC于点 F．
（1）求证：∠C＝∠E；
（2）如图 1，若 DE∥AB，DF＝2，FE＝7，求 BD的大小；
1
（3）如图 2，若点 F为 AC △ 中点， = ，CD＝4，求 AB的长（用含 n的代数式表示）．
△ +2
2024-2025 学年四川省成都市石室天府中学九年级上期末模拟（2）
答案
A 卷（共 100 分）
一、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）
【1】A【2】C【3】D【4】D【5】A【6】D【7】B【8】C
二、填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
【9题答案】 x1 0, x2 2
【10题答案】1或 3．
【11题答案】108°
【12题答案】 y1 y2
【13题答案】3
三、解答题（共 48 分）
【14题答案】（1） 4 3；（2） x1 7, x2 1
【15题答案】（1）72；补全条形统计图见详解；
1
（2）220； （3） ．
6
【16题答案】解：（1）∵BC⊥AD，DE⊥AD，
∴∠ABC＝∠ADE＝90°，
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ = ，
又∵BD＝10m，DE＝1.8m，BC＝1.5m，
∴AD＝AB+10（m），
1.5
∴ = ，
+10 1.8
解得 AB＝50（m），
经检验，AB＝50是原方程的解，且符合题意，
故河流的宽度 AB为 50m；
（2）本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识（答案不唯一），
故答案为：相似三角形的对应边成比例（答案不唯一）；
（3）根据题意可得∠ABD＝∠ECD＝90°，∠ADB＝∠EDC，
则△ABD∽△ECD，
∴ = ，
∴要求出 AB的长，需要知道 BD，CD，CE的长，
∴需要测量的线段为 BD，CD，CE．
【17题答案】解：（1）证明：连接 DF，CE，如图所示：
，
∵E为 AB中点，
∴AE＝AF＝ AB，
∴EF＝AB＝CD，
∵四边形 ABCD是菱形，
∴EF∥AB∥CD，
∴四边形 DFEC是平行四边形．
（2）作 CH⊥BH，设 AE＝FA＝m，如图所示，
，
∵四边形 ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴ ，
∴FG＝2m，
在 Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝ ，CH＝ ，
cos60°＝ ，BH＝1，
在 Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝ ，FH＝3+m，
CF ＝CH +FH ，
即（2+2m） ＝（ ） +（3+m） ，
整理得：3m +2m﹣8＝0，
解得：m1＝ ，m2＝﹣2（舍去），
∴ ．
4
【18题答案】（1） y ， B 2,2 ；
x
3 17
（2）点C的坐标为 1,4 或 , 17 32 ；
（3）点N 的坐标为 5,1 5 或 7, 2 ．
B 卷（共 50 分）
一、填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
【19】 2 5 2或6 2 5
【20】-2< x <0
【21】 2
【22 1 3】
3 4
【23】10 2 2 10
24、解：（1）设 y与 x之间的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0），
25 + = 70
由题意得： 35 + = 50，
= 2
解得： = 120，
∴y与 x的函数关系式为 y＝﹣2x+120；
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，
整理得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50（不符合题意，舍去），
答：每件商品的售价应定为 30元．
25 1 ① x 1 y= 3、解：（ ） 当 ＝ 时， 1 =3，则点 A（1，3），
当 k＝﹣1时，一次函数为：y＝﹣x+b，
将点 A的坐标代入上式得：3＝﹣1+b，
则 b＝4，
则一次函数的表达式为：y＝﹣x+4，
3
联立两个函数表达式得：﹣x+4= ，
解得：x＝1（舍去）或 3，
即点 B（3，1）；
②过点 C作 CF⊥AD交 AD的延长线于点 E，交 AB的延长线于点 F，
连接 OE，则 OE是 Rt△ACE的中线，
则 EO= 12AC＝OA= 1 + 3
2 = 10
∵AE⊥CF，则∠OEA＝∠OAE，
∵AE是△ACF的角平分线，
则∠OAD＝∠FAD＝∠AEO，
∴OE∥AB，
则 OE的表达式为：y＝﹣x，
设点 E（x，﹣x），
则 x2+（﹣x）2＝（ 10）2，
解得：x＝± 5（舍去负值），
则点 E（ 5， 5）；
2 kx+b= 3（ ）联立一次函数和反比例函数的表达式得： ，
整理得：kx2+bx﹣3＝0，
则 xA x =
3
P ，
而 xA＝1，
则 xP=
3
，
3
则点 P（ ，﹣k），
∵AP= 5 53 ，
3 5
则（ 1）2+（k﹣3）2＝（5 3 ）
2，
3
解得：k＝3或 （不合题意的值已舍去
4
26、（1）证明：∵将 AC绕点 A顺时针旋转α得到 AE，
∴∠CAE＝α，AC＝AE，
∵∠BAD＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝DAE．
在△BAC和△DAE中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴∠C＝∠E；
（2）解：∵△BAC≌△DAE，
∴∠ABC＝∠ADE，BC＝DE＝DF+FE＝9，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE．
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠B＝∠ADB＝∠DAB，
∴AB＝AD＝BD，
设 AB＝AD＝BD＝x，则 CD＝9﹣x，
∵DE∥AB，
∴△CDF∽△CBA，
∴ = ，
2 9
∴ = ，
9
解得：x＝3或 6．
∴BD的长为 3或 6；
3 △
1
（ ）解：∵ = ，△BAC≌△DAE，
△ +2
△ 1
∴ = ，
△ +2
△ 1
∴ = ，
△ +1
∵点 F为 AC中点，
∴S△ADF＝S△DCF，
△ 1
∴ = ，
△ +1
由（1）知：∠C＝∠E，
∵∠DFC＝∠AFE，
∴△DFC∽△AFE，
1
∴ = = = △ = ，
△ +1
4 1
∴ = ，
+1
∴AE＝4 + 1．
∴AC＝AE＝4 + 1，
1
∴AF＝FC= 2AC＝2 + 1，
2 +1 1
∴ = = ，
2 +1 +1
∴FE＝2n+2，DF＝2．
∴DE＝DF+FE＝2n+4，
∵△BAC≌△DAE，
∴BC＝DE＝2n+4，
∵BC＝BD+CD，
∴BD＝2n．
过点 A作 AM⊥BD于点 M，AN⊥DE于点 N，如图，
∵AB＝AD，
1
∴BM＝DM= 2BD＝n，
由（2）知：∠ADB＝∠ADE，
∴AM＝AN，
在 Rt△ADM和 Rt△ADN中，
=
= ，
∴Rt△ADM≌Rt△ADN（HL），
∴DM＝DN＝n，
∴EN＝DE﹣DN＝n+4，
∴AN2＝AE2﹣EN2= (4 + 1)2 ( + 4)2，
∴AM2＝AN2＝AE2﹣EN2= (4 + 1)2 ( + 4)2 =8n﹣n2，
在 Rt△ADM中，
AB= 2 + 2 = 2 + 8 2 = 8 =2 2 ．
