1.1等腰三角形 课时作业
1.如图，在中，，，，则( )
A. B. C. D.
2.如图,,,于点D,则的长为( )
A. B. C. D.
3.老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：
“如图，在中，，点D是的中点，交于E；点O在上，，，”，
甲说：；
乙说：；
丙说：为等边三角形；
丁说：过点O作，可以求出.
若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的.则“卧底”是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.四个人都不是卧底
4.如图是由边长相等的小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,A、B、C、D四点均在格点上,则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，M，A，N是直线l上的三点，，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N处停止，在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )
A.直角三角形、等边三角形、直角三角形、等腰三角形
B.直角三角形、等腰三角形、直角三角形、等边三角形
C.等腰三角形、直角三角形、等腰三角形、直角三角形
D.等腰三角形、直角三角形、等边三角形、直角三角形
6.在中,分别平分、,过点D作直线平行于,分别交于点E、F,若,,则线段的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
7.如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图,中,,,,垂足为Q,延长MN至G,取,若的周长为12,,则周长是( )
A. B. C. D.
9.如图,在中,点E是边上一点,连接,且,过点E作于点D,若的周长为20,,则的周长为______.
10.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为______.
11.如图,在四边形中,,,,,,则的长为___.
12.如图，D为内一点，，平分，且.如果，，那么_________.
13.用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
已知：在中，.求证：，必为锐角.
14.如图,在中,点E在线段的延长线上,连接、,,；
(1)如图1,求证：是等腰三角形；
(2)如图2,,求证：；
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,点F是线段中点,连接,,于点H,,的面积为,求线段的长.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，
，
，
，
.
故选：B.
2.答案：C
解析：∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
故选：C.
3.答案：D
解析：连接，作于点F，
由题意得：，
在中，，
，，所以甲对；
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，所以乙对；
，
，所以丁对；
在中，，，由勾股定理可得，
，
过B作于M点，
，，
，，
，
在中，
由勾股定理可得：，
在中，，，
由勾股定理可得：，
，
，
为等边三角形，丙对，
故四人都不是卧底，
所以D选项说法正确，
故选：D.
4.答案：C
解析：如图,取格点E,
由网格可得,,,
∴,
∴,
∵,,
∴.
∴,
∴,
故选：C.
5.答案：D
解析：当点Q移动到AM的三等分点（靠近点A）处时，，此时Q在A的左侧，且，是等腰三角形；当点Q移动到点A的右侧，且时，是直角三角形；当点Q移动到点A的右侧，且时，是等边三角形；当点Q移动到点A的右侧，且时，是直角三角形.综上，在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、直角三角形.
6.答案：D
解析：∵、分别平分、,
∴,,
∵,
∴,,
∴,,
∴,,
∴,
故选：D.
7.答案：C
解析：如图，连接，与交于点P，此时最小，
是等边三角形，是边上的高，
，
，
，
即的长度即为与和的最小值，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C
8.答案：C
解析：∵,,
∴是等边三角形,
∵,
∴,,,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∵的周长为12,,
∴,,,
∴周长是,
故选C.
9.答案：26
解析：∵,,
∴,
∵,
∵的周长为20,
∴,
∴的周长.
故答案为：26.
10.答案：或
解析：(1)当该三角形顶角为锐角时,如下图,
由题意可知,,,且,
∴,
∴；
(2)当该三角形顶角为钝角时,如下图,
由题意可知,,,且,
∴,
∴.
综上所述,这个等腰三角形的底角为或.
故答案为：或.
11.答案：4
解析：延长,交于点E,
∵,,
∴,
∴,
∴,
在中,,
∴,
故答案为：4.
12.答案：2
解析：如图，延长CD交AB于点E，，.平分，，，，.，.，，.
13.答案：见解析
解析：假设结论不成立，则，为直角或钝角，
，
，
当为直角时，，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾；
当为钝角时，，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾.
综上所述，假设不成立，
，必为锐角.
14.答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
解析：(1)证明：,
,
,
,即,
,
是等腰三角形；
(2)证明：,,
是等边三角形,
,
如图,延长至H,使,
又,
是等边三角形,
,,
,
,
在和中,
,
,
,
；
(3)由(2)知是等边三角形,
如图,延长至P,使,连接,过点E作于G,
点F是线段中点,
,
,
,
设,则,
,
,
在和中,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
由(2)知：,
,
在和中,
,
,
,
∵,
,
,,
,
,
,
,
.
