九年级数学参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D A C C D D
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. （﹣2，3）． 12.c＞1． 13. 65°或115°． 14. 1 15. 4.5．
三、解答题（共8小题，共75分）
16解：（1）方程（x+1）（x﹣3）＝2x+5，
整理得：x2﹣4x﹣8＝0，
移项得：x2﹣4x＝8，
配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，
开方得：x﹣2＝±2，
即x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，
所以x1＝2+2，x2＝2﹣2；
（2）0.8x2+x＝0.3，
整理得：8x2+10x﹣3＝0，
这里a＝8，b＝10，c＝﹣3，
∵b2﹣4ac＝102﹣4×8×（﹣3）＝196＞0，
∴x，
解得：x1，x2．
17解：（1）设平均每次降价的百分率是x，
根据题意列方程得，200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）200（1﹣5%）（1﹣15%）＝161.5＜162
∴售货员的方案对顾客更优惠．
18.解：（1）本次被调查的学生有：9÷15%＝60（人）；
故答案为：60；
（2）航模的人数有：60﹣9﹣15﹣12＝24（人），
补全条形统计图如图：
“航模”所对应的圆心角的度数是：360°144°；
（3）设两名男生分别为男1，男2，两名女生分别为女1，女2，列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1）
男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2）
女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1）
女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2）
所有可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等，其中是1名男生和1名女生情况有8种，
则所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是．
19.解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），
如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．
（2）如图：
（3）由两点间的距离公式可知：BC，
∴点C旋转到C2点的路径长．
20解：（1）如图，FG就是所求作的线段．
（BE、DE、CF、FG每条线1分）
（2）∵上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，
∴CG＝2FG＝3，
∵FG∥CD，
∴∠EFG＝∠D，∠EGF＝∠ECD，
∴△EFG∽△EDC，
∴，
∴，
解得CD＝3.75，
∴路灯高3.75米．
21.解：（1）∵∠ABD＝∠CAD，
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2∠ABD+2∠ADB＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；
（2）由（1）知∠BAD＝90°，
∴∠CAD+∠BAE＝90°，BD为直径，
∵∠ABD＝∠CAD，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵BD为直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，
∵AC＝AB，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠CDF＝∠ABC＝60°，
∵CF∥AB，
∴∠BAD+∠AFC＝180°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠FCD＝30°，
∴CD＝2DF，
∵DF＝3，
∴CD＝6，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝30°，
∴BD＝2CD＝12，
即圆的直径为12，
所以圆的半径为6．
22解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数 的图象上，
∴，
得m＝6，
∴反比例函数的表达式为；
∵点B（n，2）在反比例函数 的图象上，
∴，
解得：n＝3，
∴点B的坐标为（3，2），
∵将点A（1，6）和B（3，2）的坐标分别代入y1＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y1＝﹣2x+8；
（2）在y1＝﹣2x+8 中，当x＝0时y＝8，
∴点C的坐标为（0，8），
过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，
如图所示：
S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC
，
∴△AOB的面积为8；
（3）能，理由：
A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为 （1，6）、（3，2）、（0，5），
设点D的坐标为（s，t），
①当AB是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到 D（P），
则0+2＝s，5﹣4＝t或 0﹣2＝s，5+4＝t，
解得 或；
②当AB是对角线时，
由中点公式得： ，
解得；
故点D的坐标为 （2，1）或（4，3）或（﹣2，9）．
B：由直线AB的表达式知，点C（0，8），
由点A、C 的坐标知 AC2＝5，
设点Q的坐标为（0，m），点M的坐标为（s，t），
①当AC为边时，
则AC＝CQ或AC＝AQ，即 5＝（m﹣8）2 或 5＝1+（m﹣6）2，
解得 或8（舍去）或4，即 或4；
②当AC是对角线时，
则AM＝AQ且AC的中点即为MQ的中点，
则，
解得，
综上，点Q的坐标为（0，4）或 或 或 ．
23.（1）证明：小丽同学，
∵AB∥CE，
∴∠BAD＝∠E，；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠E，
∴AC＝CE，
∴．
小强同学，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴△ABD≌△AFD，
∴BD＝DF，∠ADB＝∠ADF＝∠CDG，
∵DF∥CG，
∴∠ADF＝∠G＝∠CDG，，
∴CD＝CG，，
∴．
（2）证明：如图4，过点D作DM∥AC交BE于点M，
∴，，∠CAD＝∠ADM，
∴，则；
∵AD平分∠CAM，
∴∠CAD＝∠DAM＝∠ADM，
∴AM＝DM，
∴；
（3）解：如图5，延长BA交CD的延长线于点F，
∵AD∥BC，
∴，即，
解得AF＝1，
∴BF＝3，
∵∠ABC＝90°，BC＝4，BF＝3，
∴CF＝5，
∵BE平分∠ABC，
∴，∠CBE＝45°．
∴CE；
过点E作EG⊥BC于点G，
∴△BEG是等腰直角三角形，EG∥BF，
∴EG＝BG，
∴，
解得BG，
∴BEBG．海城市西部集团2024-2025学年第一学期期末质量监测
九年级数学试卷
（试卷满分120分，答题时间120分钟)
注意事项:
1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；
2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；
3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷；
选择题（每题3分，共30分）
1．如图所示是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1
3．从﹣2、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在反比例函数的图象上的概率为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，让游客饱览山间风光．这其中体现的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
5．将二次函数y＝x2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x+3）2+2
C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+3）2﹣2
6．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）
A．100m B．100m C．100m D．m
7．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．我国古代数学著作《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（ ）
A．12尺 B．56尺5寸 C．57尺5寸 D．62尺5寸
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
填空题（每小题3分，共15分）
11．点A（2，﹣3）与点B关于原点对称，则点B坐标是 ．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则c的取值范围是 ．
13．PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB＝50°，则∠COD的度数为 ．
14．抛物线y＝2x2+（m﹣1）x+4的对称轴是y轴，则m的值为 ．
15．如图，在等边三角形ABC中，点D，点E分别为AB，AC边上一点，连接DE，将△AED
沿DE折叠，点A恰好落在BC边的点F处，若AD：AE＝2：3，且△BDF的面积S△BDF＝2，
则△EFC的面积S△ECF＝ ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分)．计算：
（1）（x+1）（x﹣3）＝2x+5；
（2）0.8x2+x＝0.3．
17．（8分)某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
18．（8分)某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
19．（8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
20．（8分)如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处；晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处．
（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示）．
（2）若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他距离路牌底部E恰好2米，求路灯高．
21．（8分)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ADC，∠ABD＝∠CAD．
（1）求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AB交AD的延长线于点F．若AC＝AB，DF＝3，求圆的半径．
22（12分)．如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2（x＞0）的图象的两个交点，直线AB交y轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）从下面A，B两题中任选一题作答．
A．设y轴上有一点P（0，5），点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标；
B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
23．（13分)【问题初探】
在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，求证：，有两名同学给出了不同的解答思路：
①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作AB的平行线交AD的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题．
②如图3，小强同学从“AD是△ABC的角平分线”给出了另一种解题思路：在AC上截取AF＝AB，连接DF，过点C作DF的平行线交AD的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题．
（1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程．
【类比分析】
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，请你解答．
（2）如图4，若△ACB的外角∠CAE平分线AD交BC的延长线于点D，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中，，CB＝4，AB＝2，∠ABC＝90°，AD∥BC，BE平分∠ABC，求BE的长．
