第六章 综合素质评价
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024廊坊校级月考]把变形成用表示的形式为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024沧州期末]若是关于，的方程的一个解，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．1
4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房间，客人人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．若方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
6．解方程组时，下列消元方法不正确的是（ ）
A．，消去
B．，消去
C．，消去
D．由②得，把③代入①中消去
7．关于，的方程组有正整数解，则正整数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．[2024邯郸校级期中]三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
9．2024年10月13日是第35个国际减灾日，主题为“赋能年轻一代、共筑韧性未来”.某校为奖励消防演练活动中表现优异的同学，决定用1 200元购买篮球和排球（两种球都必须购买），其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用完的情况下，购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
10．小明在解关于，的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“ ”“”处被污损了，则“ ”“”处的值分别是（ ）
A．3，1 B．2，1 C．3，2 D．2，2
11．若关于，的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A．2 025 B． C．1 D．
12．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒.现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（ ）
① ②
A．2 025 B．2 026 C．2 027 D．2 028
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．请写出一个解为的二元一次方程组：______________________________________________________________.
14．如果和互为相反数，那么______.
15．[2024宿迁]若关于，的二元一次方程组的解是 则关于，的方程组的解是__________________________________________________.
16．对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：，若，，则下列结论正确的有__.（填序号）
，；②若，则；③若，则，有且仅有3组整数解；④若无论 取何值时，的值均不变，则.
三、解答题（共72分）
17．[2024廊坊期末]（10分）解方程组：
（1）
（2）
18．（10分）已知代数式.
（1） 当时，代数式的值是5，请用含的代数式表示；
（2） 当时，代数式的值是0；当时，代数式的值是15，求，的值.
19．（10分）为庆祝2024年11月4日，神舟十八号载人飞船成功着陆，某校组织了航空航天知识竞赛，该竞赛共有20道题，做对一道题得5分，做错一道题倒扣2分，结果小荣同学考了72分（每道题都做），问他做对了几道题？
20．（12分）嘉嘉和淇淇同解一个关于，的二元一次方程组 嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为 淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为
（1） 求和的值；
（2） 求方程组的正确的解.
21．（14分）规定：关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程.例：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组.根据上述规定，回答下列问题：
（1） 方程________“友好”方程（填“是”或“不是”）；
（2） 若关于，的二元一次方程是“友好”方程，求的值；
（3） 若是关于，的“友好”方程组的解，求的值.
22．（16分）学校打算购买A，B两种教具，若购买60件A种教具和30件B种教具共需花费1 650元；购买50件A种教具和10件B种教具共需花费1 150元.
（1） 求A种教具和B种教具的单价.
（2） 实际购买时，发现厂家有两种优惠方案.方案一：购买A种教具超过20件时，超过的部分按原价的八折付款，B种教具没有优惠；方案二：无论购买多少件A，B教具，两种教具都按原价的九折付款.该校决定购买（且为整数）件A种教具和40件B种教具.
请根据上述信息回答下列问题:
① 方案一需花费________________元；方案二需花费________________元（用含 的代数式表示）；当__时，方案一与方案二的花费相同，此时花费金额为______元.
② 当时，哪种方案更优惠
【参考答案】
第六章 综合素质评价
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．D
2．A
3．D
4．D
5．A
6．C
7．C
8．A
9．B
【点拨】设购买篮球个，排球个，根据题意可得，
，则.因为,均为正整数，所以，或，或，，所以在购买资金恰好用完的情况下，购买方案有3种，故选.
10．B
11．D
12．A
【点拨】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为个、个，根据题意得， 两式相加得，.因为，都是正整数，所以是5的倍数.因为，，，四个数中只有2 025是5的倍数，所以的值可能是2 025.
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（答案不唯一）
14．0
15．【点拨】
[解析]将方程组整理得 因为关于，的二元一次方程组的解是 所以，，解得，，即关于，的方程组的解是
16．①②
【点拨】①因为，，，所以整理得 解得 故①正确；②因为，，，，所以，整理得，故②正确；③由②得，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以若，则，有且仅有6组整数解，故③不正确；④因为，，，所以，若无论取何值时，的值均不变，则，所以或，故④错误.故正确的有①②.
三、解答题（共72分）
17．（1） 【解】
得，，得，，解得，
把代入①得，，
所以原方程组的解是
（2） 原方程组可化为
得，，
得，，解得，
把代入①得，，
所以原方程组的解是
18．（1） 【解】根据题意得，，所以，
所以.
（2） 根据题意，得 解得
19．【解】设小荣同学做对了道题，做错了道题，依题意，得 解得
答：小荣同学做对了16道题.
20．（1） 【解】因为嘉嘉把方程①抄错，求得的解为
所以满足方程②，即.
又因为淇淇把方程②抄错，求得的解为
所以满足方程①，即.
联立 解得
（2） 由（1）得，原方程组为
即 解得
21．（1） 【解】是
（2） 因为关于，的二元一次方程是“友好”方程，所以，解得，所以的值是3.
（3） 因为方程组是“友好”方程组，
所以，，
所以，，
所以原方程组为
因为是方程组的解，
所以得，,
所以的值为3.
22．（1） 【解】设A种教具的单价为元，B种教具的单价为元，依题意得， 解得
答：A种教具的单价为20元，B种教具的单价为15元.
（2） ① ； ； 70； 1 800
② 当时，，
.
因为，所以方案一更优惠.
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