浙教版数学九年级上册期末尖子生密卷(原卷版 解析版)


浙教版九年级上册期末尖子生密卷
数 学
(时间:120分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.抛物线的顶点坐标是(  )
A.(1,﹣2) B.(﹣1,2)
C.(1,2) D.(﹣1,﹣2)
2.如图,ABCD为圆内接四边形,若∠A=60°,则∠C等于(  )
A.30° B.60° C.120° D.300°
3.在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x﹣1)2+1的图象向下平移2个单位长度,所得函数的解析式为(  )
A.y=(x﹣2)2﹣1 B.y=(x﹣1)2﹣1
C.y=x2+1 D.y=x2﹣1
4. 如图,电路连接完好,且各元件工作正常. 随机闭合开关中的两个,能让两个小灯泡同时发光的概率是(  )
A.0 B. C. D.
5.下列命题正确的是(  )
A.方程没有实数根
B.两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似
C.平分弦的直径垂直于弦
D.反比函数的图象不会与坐标轴相交
6.如图,和是以点O为位似中心的位似图形,,的周长为8,则的周长为(  )
A.12 B.18 C.20 D.24
7.如图,在平面直角坐标系中,经过点,直线与交于B、C两点,则弦的最小值是(  )
A. B. C. D.以上都不对
8.已知二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为(  )
A. B.
C. D.
9.在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4,有下列结论:①AE∥BC;②∠ADE=∠BDC;③△BDE是等边三角形;④△ADE的周长是9.其中,正确结论的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,矩形ABC0的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为(- ,5),D是AB边上的一点,将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,则过点E的反比例函数解析式是(  )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.若两个相似三角形的相似比为3∶4,则它们的面积比为   .
12.圆周率是无限不循环小数.历史上,祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究.目前,超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位.有学者发现,随着小数部分位数的增加,0-9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同,从的小数部分随机取出一个数字,估计数字是3的概率为   .
13.将二次函数的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后的二次函数的图象的顶点坐标是   .
14.如图,在中,,,,垂足为D,,则长为   .
15.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机停留在某块方砖上,那么小球最终停留在黑色区域的概率是   .
16.如图,矩形 中, , ,M是 边上的一点,且 ,点P在矩形 所在的平面中,且 ,则 的最大值是   .
三、综合题(本大题共7小题,共66分)
17.(9分)已知在矩形中,,,点是边上的一个动点,以为边,在的右侧作矩形,且,连接,.
(1)如图1,若,点运动到的中点时,求的长.
(2)如图2,判断与有怎样的数量关系,并说明理由.
(3)当点从点运动到点时,请直接写出点的运动路径长.
18.(9分)“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落,某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品,深受大家喜爱.自世界杯开赛以来,其销量不断增加,该商品销售第x天(,且x为整数)与该天销售量y(件)之间满足函数关系如下表所示:
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y(件) 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈项客,该商家将此纪念品的价格不断下调,其销售单价z(元)与第x天(,且x为整数)成一次函数关系,当时,,当时,.已知该纪念品成本价为20元/件.
(1)求y关于x的函数表达式,及z与x之间的函数关系式;
(2)求这28天中第几天销售利润最大,并求出最大利润;
(3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前,决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售,销售第x天与该天销售量y(件)仍然满足原来函数关系,问第几天的销售利润取得最大值,若最大利润是20250元,求a的值.
19.(9分)在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为P,且该抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).我们规定;抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”(不包含边界),横、纵坐标都是整数的点称为整点.
(1)求抛物线的顶点P的坐标(用含a的代数式表示);
(2)如果抛物线经过(1,3).
①求a的值
②在①的条件下,直接写出“G区域”内整点的坐标;
(3)如果抛物线在“G区域”内有4个整点,求a的取值范围,
20.(9分)如图,在 中, , , 于E, , .
(1)求证: ;
(2)求AE的长度;
(3)设AD与CE交于F,求 的面积.
21.(9分)2020年6月26日是第33个国际禁毒日,为了解同学们对禁毒知识的掌握情况,从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查,调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类,并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图.请根据统计图回答下列问题:
(1)本次抽取调查的学生共有   人,估计该校800名学生中“比较了解”的学生有   人.
(2)请补全条形统计图.
(3)“不了解”的4人中有3名男生A1,A2,A3,1名女生B,为了提高学生对禁毒知识的了解,对这4人进行了培训,然后随机抽取2人叹才禁毒知识的掌握情况进行检测,请用画树状图或列表的方法,求恰好抽到2名男生的概率.
22.(9分)已知抛物线的对称轴为直线.
(1)求抛物线的顶点坐标;(用含a的代数式表示)
(2)若点,在抛物线上,试比较与的大小;
(3)若,与其对应的函数的最大值为,求b的值.
23.(12分)如图,抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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浙教版九年级上册期末尖子生密卷
数 学
(时间:120分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.抛物线的顶点坐标是(  )
A.(1,﹣2) B.(﹣1,2)
C.(1,2) D.(﹣1,﹣2)
【答案】D
【解析】【解答】解:∵抛物线的解析式为,
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-2),
故答案为:D.
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
2.如图,ABCD为圆内接四边形,若∠A=60°,则∠C等于(  )
A.30° B.60° C.120° D.300°
【答案】C
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠C=180°,
∵∠A=60°,
∴∠C=180°-60°=120°,故C正确.
故答案为:C.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得出答案.
3.在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x﹣1)2+1的图象向下平移2个单位长度,所得函数的解析式为(  )
A.y=(x﹣2)2﹣1 B.y=(x﹣1)2﹣1
C.y=x2+1 D.y=x2﹣1
【答案】B
【解析】【解答】解: 将二次函数y=(x﹣1)2+1的图象向下平移2个单位长度,
即y=(x﹣1)2+1-2=(x﹣1)2-1,
故答案为:B.
【分析】已知二次函数y=(x﹣1)2+1,将图像下移,利用函数图象平移变换求解作答即可.
4. 如图,电路连接完好,且各元件工作正常. 随机闭合开关中的两个,能让两个小灯泡同时发光的概率是(  )
A.0 B. C. D.
【答案】B
【解析】【解答】解:把开关分别记为A,B,C
画出树状图
共有6中等可能得结果,能让两个小灯泡同时发光的结果有2中
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为:
故答案为:B
【分析】画出树状图,求出所有等可能得结果,再求出能让两个小灯泡同时发光的结果,再根据简单事件的概率即可求出答案.
5.下列命题正确的是(  )
A.方程没有实数根
B.两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似
C.平分弦的直径垂直于弦
D.反比函数的图象不会与坐标轴相交
【答案】D
【解析】【解答】解:A、在方程中,,方程有两个不相等的实数根,故A错误;
B、两边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似,故B错误;
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故C错误;
D、反比函数的图象不会与坐标轴相交,故D正确.
故答案为:D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式,相似三角形的判定定理,垂径定理的推论,以及反比例函数的性质逐项判定即可.
6.如图,和是以点O为位似中心的位似图形,,的周长为8,则的周长为(  )
A.12 B.18 C.20 D.24
【答案】C
【解析】【解答】解:和是以点O为位似中心的位似图形,


与的相似比为2:5,
与的周长比为2:5,
的周长为8,
的周长为 20.
故答案为:C.
【分析】根据位似图形的性质得到,再根据位似比为为2:5得到相似三角形的周长比也是2:5,再结合的周长为8即可求解.
7.如图,在平面直角坐标系中,经过点,直线与交于B、C两点,则弦的最小值是(  )
A. B. C. D.以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】解:对于直线,
当时,,
故直线恒经过点,记为点.
由于过圆内定点的所有弦中,与垂直的弦最短,即当时,最短,
连接,如图所示:
∵,
∴,
∵经过点,
∴,
根据勾股定理得,

∵,
∴,
∴弦的最小值是 .
故答案为:C.
【分析】令,消去k,得,可知直线过定点,如图,连接,OD,运用勾股定理可求得的长度,结合经过点可知半径,进而可求得,最后根据垂径定理的性质即可求解。
8.已知二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【解答】解:由图象可知:图象开口向下,对称轴位于轴左侧,与轴正半轴交于一点,
可得:
又由于当时,
因此一次函数的图象经过一、二、四三个象限,反比例函数的图象位于一、三象限;
故答案为:A.
【分析】根据二次函数图象与系数的关系并结合图象判断、、的正负,再取特定点,令代入判断的正负,由此判断两个函数图象所在象限即可求解。
9.在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4,有下列结论:①AE∥BC;②∠ADE=∠BDC;③△BDE是等边三角形;④△ADE的周长是9.其中,正确结论的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠C=60°,AC=BC=5.
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,
∴∠BAE=∠C=60°,AE=CD.
∴∠BAE=∠ABC,
∴AE∥BC,所以①正确;
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,
∴∠DBE=60°,BD=BE=4.
∴△BDE为等边三角形,所以③正确.
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°,∠ADE+∠BDC=180°-∠BDE=120°,
∴∠ADE<∠BDC,∴②一定错误;
∵AE=CD,DE=BD=4,
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+CD+DB=AC+BD=5+4=9,所以④正确.
故答案为:C.
【分析】本题的关键点在先证出三角形全等,再利用全等三角形的性质、平行线的性质及判定进行证明。
10.如图,矩形ABC0的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为(- ,5),D是AB边上的一点,将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,则过点E的反比例函数解析式是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【解答】解:过E作EF⊥OC交OC于点F,如图:
∵矩形ABCO中,
∴BC⊥OC,
∵EF⊥OC,
∴EF∥BC,
∴△OEF∽△OBC,
∴,
∵B(-,5),
∴BC=5,OC=-,
即=,
∴令EF=3x,OF=4x,
根据翻折的性质可知OA=OE=BC=5,
在Rt△OEF中,
∴(3x)2+(4x)2=52,
解得:x=1,
∴EF=3,OF=4,
∴E(-4,3),
设经过点E的反比例函数解析式为:y=,
又∵点E(-4,3)在反比例函数上,
∴k=-4×3=-12,
∴经过点E的反比例函数解析式为:y=.
故答案为:C.
【分析】解:过E作EF⊥OC交OC于点F,如图:
∵矩形ABCO中,
∴BC⊥OC,
∵EF⊥OC,
∴EF∥BC,
∴△OEF∽△OBC,
∴,
∵B(-,5),
∴BC=5,OC=-,
即=,
∴令EF=3x,OF=4x,
根据翻折的性质可知OA=OE=BC=5,
在Rt△OEF中,
∴(3x)2+(4x)2=52,
解得:x=1,
∴EF=3,OF=4,
∴E(-4,3),
设经过点E的反比例函数解析式为:y=,
又∵点E(-4,3)在反比例函数上,
∴k=-4×3=-12,
∴经过点E的反比例函数解析式为:y=.
故答案为:C.
【分析】过E作EF⊥OC交OC于点F,根据矩形的性质和相似三角形的判定得△OEF∽△OBC,由相似三角形的性质得=,从而令EF=3x,OF=4x,几何翻折的性质可知OE=5,在Rt△OEF中,根据勾股定理列出方程,解之得出x值,从而可得E点坐标,根据待定系数法即可求得经过点E的反比例函数解析式.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.若两个相似三角形的相似比为3∶4,则它们的面积比为   .
【答案】9:16
【解析】【解答】解:∵两个相似五边形的相似比为3:4,
∴它们的面积比为9:16
故答案为9:16
【分析】相似多边形的面积比等于相似比的平方,据此解答即可.
12.圆周率是无限不循环小数.历史上,祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究.目前,超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位.有学者发现,随着小数部分位数的增加,0-9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同,从的小数部分随机取出一个数字,估计数字是3的概率为   .
【答案】
【解析】【解答】解:根据题意
总可能结果是10种
出现3的结果是1种
出现3的概率是
故答案为:
【分析】掌握简单事件的概率计算,先找到总可能结果的数值和定义事件的结果的数值,后者与前者的比值就是该定义事件的概率。
13.将二次函数的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后的二次函数的图象的顶点坐标是   .
【答案】
【解析】【解答】解:由题意可得:
,顶点坐标为:(-1,-1)
∴将二次函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后的二次函数的图象的顶点坐标是(0,1)
故答案为:
【分析】将函数解析式化成顶点式,求出顶点坐标,再根据平行性质即可求出答案.
14.如图,在中,,,,垂足为D,,则长为   .
【答案】
【解析】【解答】解:如图所示
故答案为:
【分析】掌握相似三角形的性质定理并灵活应用求边长;从已知条件入手,可知图中的三个直角三角形都是相似的,可由相似三角形的性质定理对应边成比例求出未知边。
15.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机停留在某块方砖上,那么小球最终停留在黑色区域的概率是   .
【答案】
【解析】【解答】解:∵由图可知,黑色方砖有块,共有块方砖,
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值,
∴小球最终停留在黑色区域的概率是,
故答案为:.
【分析】利用几何概率公式求解即可。
16.如图,矩形 中, , ,M是 边上的一点,且 ,点P在矩形 所在的平面中,且 ,则 的最大值是   .
【答案】5+
【解析】【解答】解:连接BD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠BCD=90 ,AD=BC=8,
∴BD=10,
以BD的中点O为圆心5为半径作 ,
∵ ,
∴点P在 上,
连接MO并延长,交 于一点即为点P,此时PM最长,且OP=5,
过点O作OH⊥AD于点H,
∴AH= AD=4,
∵AM=2,
∴MH=2,
∵点O、H分别为BD、AD的中点,
∴OH为△ABD的中位线,
∴OH= AB=3,
∴OM= ,
∴PM=OP+OM=5+ .
故答案为:5+ .
【分析】由四边形是矩形得到内接于 ,利用勾股定理求出直径BD的长,由 确定点P在 上,连接MO并延长,交 于一点即为点P,此时PM最长,利用勾股定理求出OM,再加上OP即可得到PM的最大值.
三、综合题(本大题共7小题,共66分)
17.(9分)已知在矩形中,,,点是边上的一个动点,以为边,在的右侧作矩形,且,连接,.
(1)如图1,若,点运动到的中点时,求的长.
(2)如图2,判断与有怎样的数量关系,并说明理由.
(3)当点从点运动到点时,请直接写出点的运动路径长.
【答案】(1)解:矩形中,,,,
∴,则矩形是正方形,
∵点到的中点,
∴,,
在中,,
∴矩形,,
∵,,
∴,
在,中,
∴,
∴,
∵,
∴.
(2)解:,理由如下,
矩形,,,矩形,,
∴,
∴,,即,
∵,,
∴,
∴,
∴.
(3)解:点的运动路径长是2
【解析】【解答】(3)解:点从点运动到点,如图所示,
过点作的延长线于点,的延长线交延长线于点,
∵,
∴,,
∴,
∴,且,
∴,
∵,,
∴,
∴点在定直线上运动,
∴当点与点重合时,,,此时点与点重合;
当点与点重合时,,,点与点重合,
∴点的运动路径长是2.
【分析】(1)由题意可得矩形ABCD为正方形,由中点的概念可得AE=DE=1,BE=CE,利用勾股定理可得CE的值,根据矩形的性质可得CE=CCG,由同角的余角相等可得∠BCE=∠DCG,利用SAS证明△BEC≌△DGC,得到DG=BE,据此求解;
(2)由题意可得AD=BC=2k,证明△BEC∽△DGC,然后根据相似三角形的性质进行解答;
(3)过点G作GM⊥BC的延长线于点M,MG的延长线交AD延长线于点H,证明△ECD∽△CGM,根据相似三角形的性质可得CM,推出点G在定直线GM上运动,当点E与点A重合时,ED=AD,GM=2,此时点G与点H重合;当点E与点D重合时,ED=0,GM=0,点G与点M重合,据此解答.
18.(9分)“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落,某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品,深受大家喜爱.自世界杯开赛以来,其销量不断增加,该商品销售第x天(,且x为整数)与该天销售量y(件)之间满足函数关系如下表所示:
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y(件) 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈项客,该商家将此纪念品的价格不断下调,其销售单价z(元)与第x天(,且x为整数)成一次函数关系,当时,,当时,.已知该纪念品成本价为20元/件.
(1)求y关于x的函数表达式,及z与x之间的函数关系式;
(2)求这28天中第几天销售利润最大,并求出最大利润;
(3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前,决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售,销售第x天与该天销售量y(件)仍然满足原来函数关系,问第几天的销售利润取得最大值,若最大利润是20250元,求a的值.
【答案】(1)解:由表格信息可得:每增加1天,销量增加20件,可得是的一次函数,
设,把,,,代入可得:
,解得:,
∴y关于x的函数表达式为;
设,当时,,当时,,
∴,解得:,
∴z与x之间的函数关系式为:
(2)解:设总利润为元,则

当时,取得最大值,
所以,第15天利润最大,最大值为:(元).
(3)解:由题意可得:第20天开始每件商品的单价为元,每件商品的利润为:元,
设此时利润为:元,则
当时,取得最大值,
最大值为:;
当最大值为时,
∴,
整理得:,
解得:,(不合题意,舍去)
综上:第天时,取得最大值,当利润为元时,.
【解析】【分析】(1)由题意可得y是x的一次函数,设y=kx+b,将x=1、y=220;x=2、y=240代入求出k、b的值,可得y与x的关系式;设z=mx+n,将x=1、z=98;x=2、z=96代入求出m、n的值,可得z与x之间的函数关系式;
(2)设总利润为w元,根据(售价-成本价)×销售量可得w与x的关系式,然后利用二次函数的性质进行解答;
(3)由题意可得:第20天开始每件商品的单价为(-2x+100-a)元,每件商品的利润为(-2x+80-a)元,设此时利润为w1元,根据每件的利润×销售量=总利润可得w1与x的关系式,然后根据二次函数的性质进行解答.
19.(9分)在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为P,且该抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).我们规定;抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”(不包含边界),横、纵坐标都是整数的点称为整点.
(1)求抛物线的顶点P的坐标(用含a的代数式表示);
(2)如果抛物线经过(1,3).
①求a的值
②在①的条件下,直接写出“G区域”内整点的坐标;
(3)如果抛物线在“G区域”内有4个整点,求a的取值范围,
【答案】(1)解:∵,
∴顶点P的坐标为;
(2)解:①∵抛物线经过,
∴,解得;
②由①得:,
令得,,
解得,,
∴点,点.
当时,,
∴,两个整点在“G区域”;
当时,,
∴,两个整点在“G区域”;
当时,,
∴,两个整点在“G区域”;
(3)解:
当时,,
∴抛物线与y轴的交点坐标为.
当时,如图1所示,
此时有,解得;
当时,如图2所示,
此时有,解得;
综上,如果“G区域”内仅有4个整点时,则a的取值范围为或.
【解析】【分析】(1)将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点的坐标;
(2)①将点(1,3)代入y=ax2-2ax-3a可算出a的值;②易得抛物线的解析式,令解析式中的y=0算出对应的自变量的值,可得点A、B的坐标,再令解析式中的x=0、x=1、x=2,算出对应的函数值即可判断得出 “G区域”内整点的坐标;
(3)令解析式中的x=0算出对应的函数值可得抛物线与y轴交点的坐标,分a<0及a>0两种情况考虑,依照题意画出图形,结合图形找出关于a的不等式组,解之即可得出结论.
20.(9分)如图,在 中, , , 于E, , .
(1)求证: ;
(2)求AE的长度;
(3)设AD与CE交于F,求 的面积.
【答案】(1)证明:∵在 中, , ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ;
(2)解:∵ ,
∴ ,即 ,解得 ,
∴ ;
(3)解:在 中,
∵ , ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,即 ,解得 ,
∴ .
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC,结合CE⊥AB得出∠ADB=∠CEB=90°,由∠B=∠B即证△ABD∽△CBE;
(2)由△ABD∽△CBE可得,据此求出AB的长,利用AE=AB-BE即可求出结论;
(3) 先利用勾股定理求出CE,再根据两角相等证明,可得,据此求出DF的长,利用进行计算即可.
21.(9分)2020年6月26日是第33个国际禁毒日,为了解同学们对禁毒知识的掌握情况,从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查,调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类,并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图.请根据统计图回答下列问题:
(1)本次抽取调查的学生共有   人,估计该校800名学生中“比较了解”的学生有   人.
(2)请补全条形统计图.
(3)“不了解”的4人中有3名男生A1,A2,A3,1名女生B,为了提高学生对禁毒知识的了解,对这4人进行了培训,然后随机抽取2人叹才禁毒知识的掌握情况进行检测,请用画树状图或列表的方法,求恰好抽到2名男生的概率.
【答案】(1)40;320
(2)解:补全条形统计图如下:
(3)解:树状图如下所示
由树状图可知:共有12种等可能的结果,其中恰好抽到2名男生的可能有6种
∴恰好抽到2名男生的概率为6÷12= .
【解析】【解答】解:(1)本次抽取调查的学生共有4÷10%=40(人)
“比较了解”的人数有40-14-6-4=16
估计该校800名学生中“比较了解”的学生有 ×800=320(人)
故答案为:40;320;
【分析】(1)先求出本次抽取调查的学生共有40人,再计算求解即可;
(2)根据(1)所求补全条形统计图即可;
(3)先画树状图,再求出 共有12种等可能的结果,其中恰好抽到2名男生的可能有6种 ,最后求概率即可。
22.(9分)已知抛物线的对称轴为直线.
(1)求抛物线的顶点坐标;(用含a的代数式表示)
(2)若点,在抛物线上,试比较与的大小;
(3)若,与其对应的函数的最大值为,求b的值.
【答案】(1)解:∵抛物线的对称轴为,即


∴抛物线的顶点坐标为(2,)
(2)解:①当时.抛物线开口向上,抛物线上距其对称轴越远的点,纵坐标越大.
∵抛物线的对称轴为直线.
由,知:
②当时.抛物线开口向下,抛物线上距其对称轴越远的点,纵坐标越小.
∵抛物线的对称轴为直线.
由,知:
(3)解:①当时.在抛物线对称轴的左侧,随增大而减小.
∵在对称轴的左侧
∴当时,有最大值为:
∵,∴

解得:
∴,不符合要求,舍去
②当时.在抛物线对称轴的左侧,随增大而增大.
∵在对称轴的左侧
∴当时,有最大值为:
解得:.
综上,.
【解析】【分析】(1)利用抛物线对称轴公式可得求出,再将其代入求出顶点坐标即可;
(2)分类讨论:①当时,②当时,再分别利用二次函数的性质分析求解即可;
(3)分类讨论:①当时,②当时,再利用二次函数的性质分析求解即可.
23.(12分)如图,抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
【答案】(1)解:∵抛物线y=﹣ x2+mx+n经过A(﹣1,0),C(0,2).
解得: ,
∴抛物线的解析式为:y=﹣ x2+ x+2
(2)解:∵y=﹣ x2+ x+2,
∴y=﹣ (x﹣ )2+ ,
∴抛物线的对称轴是x= .
∴OD= .
∵C(0,2),
∴OC=2.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得
CD= .
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形,
∴CP1=CP2=CP3=CD.
作CH⊥x轴于H,
∴HP1=HD=2,
∴DP1=4.
∴P1( ,4),P2( , ),P3( ,﹣ )
(3)解:当y=0时,0=﹣ x2+ x+2
∴x1=﹣1,x2=4,
∴B(4,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象,得

解得: ,
∴直线BC的解析式为:y=﹣ x+2.
如图2,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,﹣ a+2),F(a,﹣ a2+ a+2),
∴EF=﹣ a2+ a+2﹣(﹣ a+2)=﹣ a2+2a(0≤x≤4).
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BD OC+ EF CM+ EF BN,
= + a(﹣ a2+2a)+ (4﹣a)(﹣ a2+2a),
=﹣a2+4a+ (0≤x≤4).
=﹣(a﹣2)2+
∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大= ,
∴E(2,1).
【解析】【分析】(1)将A(﹣1,0),C(0,2)分别代入解析式中,可得关于m、n的方程组,求出m、n的值即得.
(2)先利用勾股定理求出CD的长,分两种情况讨论,①当CD=DP时,②当CD=DP时,分别求出P点坐标即可.
(3)先求出B(4,0),然后利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣ x+2,如图2,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,﹣ a+2),可得F(a,﹣ a2+ a+2), 从而求出EF=﹣ a2+2a,由S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF,利用三角形的面积公式代入计算即得S四边形CDBF=﹣a2+4a+ (0≤x≤4),利用二次函数的性质求出四边形CDBF的面积最大值及此时点E的坐标即可.
精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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