2024-2025学年河南省九师联盟高三（上）质检数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
4.记等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知正方体，为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若为纯虚数，，则
B. 若，，，则，
C. 若在复平面内对应的点的坐标为，则
D. 若是关于的方程的根，则
10.记为等差数列的前项和，则( )
A.
B. 若的公差不为，，则
C. ，，成等差数列
D. 是等差数列
11.如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点，则( )
A. 平面
B. 平面
C. 到平面的距离为
D. 到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计排停车位，靠近商场的第排设计个停车位，从第排开始，每排设计的停车位个数是上一排的倍加，则设计的停车位的总数是______．
13.已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为______．
14.已知，，，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列满足，其前项和为．
求的通项公式；
记，求．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，．
求；
求的面积．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，，二面角的余弦值为．
证明：四边形为菱形；
侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知函数．
若，求的最大值；
若，证明：；
若时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
对于给定的数列以及正整数，若，使得成立，则称为“阶可分拆数列”．
设，证明：为“阶可分拆数列”；
设的前项和为，若为“阶可分拆数列”，求实数的值；
设，是否存在，使得为“阶可分拆数列”？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：设等比数列中，，
由等比数列的通项公式可得，，解得，
所以；
由得，
所以．
16.解：根据，可得，
结合，可知，即，
因为，所以，可得，即；
由得，，即，
所以，整理得，即，
因为，所以或，可得、，或，．
当、时，，．
由，得，，
此时的面积；
当，时，同理可求得的面积．
综上所述，的面积．
17.证明：如图，取的中点，连接，，
由，得，而，，，平面，
则平面，又平面，，
是二面角的平面角，即，
在中，，，则，
在中，，，
则，
在中，由余弦定理得：，
即，
整理得，解得，
在 中，，四边形为菱形．
解：由得平面，而平面，平面平面，
平面平面，在平面内过作，平面，
于是直线，，两两垂直，以为原点，直线，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
在平面内，过作于，则平面，
由，，得，
，则，
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则，即，
取，则，，平面的法向量，
，设，
，
与平面所成角的正弦值为，
，
整理得，解得，即在处，
在侧棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，点在处．
18.解：当时，，，，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以．
证明：由，得，
即，
函数的定义域为，求导得，
则，
要证，只需证，
即证，即证，
令，，则证，
设函数，
则，
函数是上的增函数，于是，即成立，
所以．
当，时，，
令，依题意，当时，恒成立，
求导得，函数在上单调递减，
，则存在，使得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，由，解得，
函数在上单调递增，则，即，因此，
，
函数在上单调递增，因此，
则恒有，于是，解得，
所以的取值范围是．
19.证明：，，
，
若，使得成立，则成立，显然当时等式成立，
为“阶可分拆数列”．
解： ，
当时，，
当时，；
，
若为“阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立，
当时，，即，
，而，不存在正整数使得成立；
当时，若成立，则，得，
时，存在正整数使得成立，
综上，．
解：假设存在使得数列为“阶可分拆数列”，
即存在确定的正整数，存在正整数使得成立，
即，
即，
当时，，时，方程成立，
当时，，
当时，；
当时，；
当时，，不存在正整数使得成立；
当时，，当时，成立，
当时，，
不存在正整数使得成立．
综上所述，或．
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