2024-2025学年河北省衡水七中八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.分式化简得，则x应满足的条件是( )
A. B. C. 且 D.
2.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
3.口袋中有若干个形状大小完全相同的白球，为估计袋中白球的个数，现往口袋中放入10个形状大小与白球相同的红球．混匀后从口袋中随机摸出50个球，发现其中有6个红球．设袋中有白球x个，则可用于估计袋中白球个数的方程是( )
A. B. C. D.
4.计算的结果是( )
A. B. C. D.
5.下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.甲、乙两个工程队进行污水管道整修，已知乙比甲每天多修3km，甲整修6km的工作时间与乙整修8km的工作时间相等，求甲、乙两个工程队每天分别整修污水管道多少km？设甲每天整修xkm，则可列方程为( )
A. B. C. D.
7.利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
8.下列等式中，正确的有( )
①；
②；
③；
④；
⑤
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.已知下列命题：
①若，则；
②若，则；
③三角形是由三条线段组成的图形；
④全等三角形的对应边相等.
其中原命题与逆命题均为真命题的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.下列条件能判定≌的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
11.能作为证明依据的是( )
A. 已知条件 B. 定义及基本事实 C. 定理及推论 D. 以上三项都对
12.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，，则______.
14.如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则______.
15.已知≌，的三边长分别为4、m、n，的三边长分别为5、p、若的三边长均为整数，则的最大值为 ____________.
16.整体思想就是通过研究问题的整体形式从面对问题进行整体处理的解题方法．
如，此题设“，”，得方程，解得，
利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，则得到方程______，利用整体思想，解得______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题12分
计算：
；
；
；
18.本小题8分
解方程：
；
19.本小题10分
已知，都是正数
计算：；
若，说明的理由；
设，且M为正整数，试用等式表示a，b之间的关系．
20.本小题6分
某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元.
求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元.
该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器？
21.本小题6分
如图，已知AM是的中线，交AM的延长线于点E，于点
求证：
22.本小题9分
近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车
油箱容积：40升
油价：元/升
续航里程：m千米
每千米行驶费用：元 纯电动汽车
电池容量：80千瓦时
电价：元/千瓦时
续航里程：m千米
每千米行驶费用：______元
用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；
若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少元，
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元.小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？年费用=年行驶费用+年其它费用
23.本小题9分
某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程.
求证：≌
证明：延长AD到点E，使
在和中
≌______
由的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是______；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
如图2，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长.
24.本小题12分
阅读理解材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数.
例如：
类似的，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：，
材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格：
x … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 2 1 …
从表格可以看出，当x的取值大于0时，随着x的增大，的取值减小，当x的取值小于0时，随着x的减小，的取值增大.
请根据上述材料完成下列问题：
把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；______，______.
随着x值的变化，分式的值是如何变化的？
当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是______.
参考答案
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】D
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】25
16.【答案】
17.【答案】解：
；
；
；
18.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
是原方程的增根，
原方程无解；
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
原方程的解为
19.【答案】解：
，
，
，
，
，
，
是正整数，a，b都是正数，
或
或，
或
20.【答案】解：设乙种滑动变阻器的单价是x元，
根据题意得：
解得：
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
元，
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元；
设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个．
根据题意得：
解得：
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
21.【答案】证明：是的中线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
22.【答案】解：新能源车的每千米行驶费用为：元；
故答案为：
①，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
元，元，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
②设每年行驶里程为x km，
，
解得，
，
当每年行驶里程大于6000km时，买新能源汽车费用更低．
23.【答案】证明：延长AD到点E，使，
在和中，
，
≌；
解：由得：≌，且，，
，
在中，，
；
解：延长AD交EC的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又且，
≌，
，
，
即：AE的长是
24.【答案】解：，
，
故答案为：，；
根据表格可知，当或时，随着x的增大，的值逐渐减小，随着x的减小，的值逐渐增大，
，
当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大；
，
当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，
分式的值无限趋近于一个数，这个数是2，
故答案为：
