维扬中学2024-2025学年七年级上学期12月月考数学试卷
（时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．每小题所给出的四个选项中，有且只有一个符合题意，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. 2 D.
2. 如下四个有理数：，，，其中负数有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3. 下面立体图形的平面展开图与名称不相符的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法正确个数是（ ）
①线段与线段是同一条线段； ②等角补角相等；
③若两个角相等，则两个角是对顶角； ④若，则点是的中点．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是：“每车坐人，空出来车；每车坐人，人没车坐，问人数与车数各为多少？”设车为辆，根据题意，可列出方程（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，从教学楼到图书馆有三条道路，从上到下依次记为①，②，③，小明认为走第②条道路最近，其理由是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 经过一点可以画无数条直线
C. 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
D. 两点之间线段最短
7. 如图，点，，在同一直线上，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8. 如图，将一张正方形纸片折叠(提示；)，、为折痕，点B、D折叠后对应点分别为点、，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填在答题卡相应的位上．）
9. 比较大小：______．（请在横线上填入“”、“”或“”）．
10. 四棱柱的棱数与______棱锥的棱数相等．
11. 如果一个角是，那么这个角的余角是______．
12. 若，则的补角为______．
13. 若数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是______．
14. 我校要整理一批图书，如果由一个人单独做需花20小时完成．现先由一部分人整理了1小时，随后又增加7人和他们一起又做了小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少______人．
15. 北京时间2022年11月29日23时15分，神舟十五号载人飞船成功发射，标志着空间站验证和建造阶段规划的十二次发射任务全部圆满完成．当时钟显示时间为时，此时时针与分针的夹角的度数是______．
16. 如图，直线、相交于点，平分，若，则______．
17. 如图，把展开图沿虚线折叠成正方体后，相对面上的两数之和都相等，则_____．
18. 寒假，小亮和小明相约爬山（如下图，山脚处的点、在同一水平线上）．他们从南坡山脚处出发上行，在南坡的中点处休息片刻后，继续登山到达坡顶处观光游玩，之后沿北坡下山，至北坡山脚处．已知南北两坡长度不相等，可以分别看作线段，，点为的中点，且，点平分南北两坡总长，且，则北坡的长度是______．
三、解答题（本题有10个小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步）
19. 计算：
（1）；
（2）
20. 解方程：
（1）；
（2）
21 已知代数式，．
（1）求；
（2）当，时，求的值；
22. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题
（1）过点C画的垂线，并标出垂线所经过的格点E；
（2）连接，，则的面积为______．
23. 某零售店用元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的倍多件．已知甲商品进价为元/件，标价为元/件；乙商品进价为元/件，标价为元/件．
（1）求甲乙两种商品各购进多少件？
（2）若甲种商品按标价的折出售，乙种商品按标价的折出售，且在运输过程中甲商品有不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该零售店共获利多少元？
24. 如图，C为线段上一点，点B为的中点，且．
（1）图中共有 条线段？
（2）求的长．
（3）若点E在直线上，且，求的长．
25. 尺规作图（只保留作图痕迹，不要写作法）．
如图：
（1）画射线，连接并延长线段至E，使得；
（2）用直尺和圆规作，使得；
（3）在直线上找一点，使线段与线段之和最小，请在直线上标注出点M．
26. 一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头到A码头逆流而上．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的速度为67千米/小时，游船在静水中的速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时．
（1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？
（2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好第二次相遇？
27. 如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为，对于数轴上任意一点P（不与点A点O重合），线段与线段的长度之比记作，即，我们称为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为，，所以．
（1）当点P为的中点时，则______．
（2）若，求点P表示数；
（3）如果点A从处向右出发，速度是每秒3个单位长度，点P从原点O处向右出发，速度是每秒1个单位长度，试求出时的时间．
28. 如图1，，射线在平面内．
（1）如图，垂直，平分，则的度数为______；
（2）若与互补，求的大小；
（3）若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______．
