杭州市外国语学校2024-2025学年上学期12月月考九年级
数学试题
考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本试卷分试题卷和答题卷两部分．其中试题卷6页，答题卷2页．
3．请在答题卷对应区域内写明姓名、班级、座位号、考场号．
4．本次考试不得使用计算器．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
1. 实数3的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 等腰三角形两条腰上的高相等
C. 两个负数的和为负数 D. 正方形的两条对角线互相垂直
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A. B. C. D.
6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限
B 图象与坐标轴有公共点
C 图象经过点，则
D. 图象所在的每一个象限内，随的增大而增大
7. 某校即将举行联欢会，“艺术达人”小王从“唱歌”“跳舞”“钢琴”“主持”四个项目中，随机选择两项，则他选择“唱歌”与“跳舞”两个项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，计算的值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
9. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A. 最小值为
B. 的最小值为
C. 周长的最小值为18
D. 的面积随着点的变化而变化
10. 已知，平面直角坐标系内两点，，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，绕点顺时针旋转，边扫过区域面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
11. 写出一个小于5的正无理数是______．
12. 元旦假期首日，中国全国铁路共发送旅客555.3万人次，开行旅客列车6368列．将数据555.3万用科学记数法表示为的形式，则的值是______．
13. 在一次女子测试中，小静和小茜同时起跑，同时到达终点；所跑的路程与所用的时间之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第______s．
14. 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为______．（取，取）
15. 抛物线（，，是常数，）经过，，三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是______．（填写序号）．
16. 已知正方形，边所在的直线上有一动点，则的最小值为______．
三、解答题（本题有8小题，共66分．下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．）
17. 解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得______．
（2）解不等式②，得______．
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是______．
18. 如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若平分，直接写出的形状．
19. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
．16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175
．16名学生身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75
（1）写出表中，的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______．（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
20. 如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
21. 已知双曲线与直线交于点，
（1）当，时，求的值；
（2）用，表示；
（3）若，求的值．
22. 某课外科技活动小组研制了一种火箭发射装置．通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以及飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 8 16 24 32 …
飞行高度 0 20 32 36 32 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．请你直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为，求火箭落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域，，．若火箭落到内（不包括端点，），求发射平台相对于水平安全线的高度的变化范围．
23. 在矩形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处．
（1）如图1，若点落在对角线上，，则的度数为______；
（2）如图2，若点是的中点，的延长线交于点，，，求的长；
（3）如图3，若点落在对角线上，点，，三点共线，，求的长．
24. 抛物线交轴于，两点（在左边），交轴于点．
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）如图1，作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接．若与相似，求的值；
（3）如图2，过的中点作动直线（异于直线）交抛物线于，两点，若直线与直线交于点．证明：点在一条定直线上运动．
杭州市外国语学校2024-2025学年上学期12月月考九年级
数学试题 答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】B
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
【11题答案】
【答案】（答案不唯一）
【12题答案】
【答案】6
【13题答案】
【答案】120
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】②④##④②
【16题答案】
【答案】##
三、解答题（本题有8小题，共66分．下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）略 （4）
【18题答案】
【答案】（1）略 （2）等边三角形
【19题答案】
【答案】（1）166，165
（2）甲组 （3）
【20题答案】
【答案】（1）略 （2）
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）0
【22题答案】
【答案】探究发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于
【23题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【24题答案】
【答案】（1），，
（2）或
（3）略
