湖北省随州市随县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（2024八上·随县期末）如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，故D正确．
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
2．（2024八上·随县期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，利用它们运算法则逐一计算即可判断．
3．（2024八上·随县期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知，且，
当添加，根据能判断，选项A不符合题意；
当添加，根据能判断，选项B不符合题意；
当添加，根据能判断，选项D不符合题意；
如果添加，不能根据判断，选项C符合题意；
故选：C．
【分析】根据SSS：三条边分别对应相等的两个三角形全等，SAS：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，HL：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，逐项分析即可求解.
4．（2024八上·随县期末）一个多边形的每个外角都等于，则此多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据多边形的外角和等于性质，得到
解得，
则此多边形为八边形，
故答案为：D．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的外角和等于性质，得到，求解即可.
5．（2024八上·随县期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A．，故A正确，符合题意；
B．无法分解因式，故B错误，不符合题意；
C．，故C错误，不符合题意；
D．，故D错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】
根据因式分解的概念，对选项逐个判断即可，因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式．
6．（2024八上·随县期末）已知，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方逆运算原式可化为，再根据同底数幂的乘法得到，从而得到，再整体代入计算可得答案．
7．（2024八上·随县期末）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过D作，交的延长线于F，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∴
∴的面积为，
故答案为：A．
【分析】过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可．
8．（2024八上·随县期末）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F， 交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；内错角的概念
【解析】【解答】解：延长交于点E，如下图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长交于点E，通过ASA证明，得出，根据平行线的性质得出，从而得出，再根据，推出，得出，得到，即可求解．
9．（2024八上·随县期末）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘以得：，
解得：，
根据题意可得，，即
从而得到
解得且，
故选：C．
【分析】将m当做已知数，解分式方程，得到含有的方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于的不等式，解之即可．
10．（2024八上·随县期末）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；多边形的面积
【解析】【解答】解：在中，，则，
、分别平分、，
，
，故①正确；
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，，，故②正确；
，
在和中，
，
，
，
又，
，故③正确；
连接，，如图所示：
，，
，，，
，
，
，
，
，故④正确，
综上正确的选项有4个，
故答案为：D．
【分析】在中，利用直角三角形性质得到，再、分别平分、，即可得到，从而，故①正确；又根据上述条件得到，结合，得到，从而根据三角形全等的判定定理得到，所以，，，故②正确；再根据上述条件及结论有，进而可以由图中线段关系确定，故③正确；连接，，结合前面，，得到，，，根据，确定，则由平行线的判定定理得到，从而有，根据，确定④正确，综上可知正确的结论有个．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八上·随县期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意可得，
解得：
故答案为：．
【分析】分式有意义的条件为分母不为零，可得，求解即可.
12．（2024八上·随县期末）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒，已知1纳秒0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为 ．
【答案】1.5×10-8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：所用时间=15×0.000 000 001=1.5×10-8．
故答案为：1.5×10-8．
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示形式求解即可．
13．（2024八上·随县期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，交于点G，连接，则的周长为 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据尺规作图可得，，是的垂直平分线，从而得到，然后的周长等于，即可求解．
【解答】解：根据尺规作图可得，，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
故答案为：8．
14．（2024八上·随县期末）若实数x，y满足，，则 ．
【答案】56
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： 对进行平方，
得到：，
从而得到：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式可得，再将，代入即可求解．
15．（2024八上·随县期末）在中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，，，，则 ．
【答案】20或14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由垂直平分线的性质，，，然后结合图形，当点在线段之间时和当点在线段之间时两种情况，进行分类讨论，即可求出答案．
【解答】解：根据题意，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
①当点在线段之间时，分别过点E、D作，如下图
∴；
②当点在线段之间时，分别过点E、D作，如下图
∴；
故答案为：20或14．
16．（2024八上·随县期末）在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长作，连接，
此时，
根据点到线的距离可得，当时，最小，即最小，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
【分析】延长作，连接，由点到直线的距离可知当时有最小值，根据30度角的直角三角形性质30度所对的直角边是斜边的一半，求解即可．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（2024八上·随县期末）（1）计算：；
（2）分解因式：．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
18．（2024八上·随县期末）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．
【答案】解：
，
∵且，
∴符合题意．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则对分式进行化简，根据分式有意义的条件和a的取值范围，确定a的值，代入计算即可．
19．（2024八上·随县期末） 如图所示，工人赵师傅用块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙、和、，点在上，已知，．
（1）求证：≌；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：，，
同角的余角相等．
在与中，
，
≌；
（2）解：由题意知，，．
由知，≌，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定定理即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质即可求出答案。
20．（2024八上·随县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）在图中画出关于x轴对称的图形；并写出的坐标；
（2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为______；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示：
根据图形可得，点的坐标为．
（2）y轴；
（3）解：．
答：的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：由与点关于一条直线成轴对称，可以得到这条对称轴是直线，即y轴，
则点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：y轴，；
【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可，根据点 的位置确定坐标即可；
（2）利用轴对称的性质先确定出对称轴，再根据关于y轴对称点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标变为相反数”解决问题即可；
（3）根据割补法，利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积，求解即可．
21．（2024八上·随县期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∴∠BDE＝45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF＝90°．
∴∠BFD＝45°＝∠BDE．
∴BF＝DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
即BF＝CD．
在△CBF和△ACD中，
，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF＝∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA＝90°，
∴∠CAD+∠GCA＝90°．
即AD⊥CF．
（2）解：△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵CF＝AD，
∴CF＝AF，
∴△ACF是等腰三角形．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等腰Rt△ABC可得∠CBA＝∠CAB＝45°，结合DE⊥AB，可求∠BDE＝45°，由平行线的性质可得∠BFD＝45°＝∠BDE，利用等角对等边得BF＝DB，结合D为BC的中点，得BF＝CD=DB，证明△CBF≌△ACD，可得∠BCF＝∠CAD，从而得出∠BCF+∠GCA=∠CAD+∠GCA＝90°，利用三角形内角和求出∠AGC=90°，即得结论；
（2）△ACF是等腰三角形，理由：由（1）知△CBF≌△ACD可得CF＝AD， 由等腰三角形的性质可得BE垂直平分DF， 利用线段垂直平分线的性质可得AF＝AD， 即得CF＝AF，根据等腰三角形的判定即证结论.
22．（2024八上·随县期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某社区为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该社区决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的七折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了．那么该社区此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
【答案】（1）解：设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元．根据题意，得：，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴
答：购买一个A品牌需要120元，购买一个B品牌的垃圾桶需160元．
（2）解：设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶．
根据题意，得，
解得：，
∵n取整数，
∴n的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元，根据题意，列出分式方程，求解后检验即可解答；
（2）设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据题意，列出不等式，求解后取最大值即可解答．
23．（2024八上·随县期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
（1）【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：．
（2）【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
（3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明．
【答案】（1）证明：∵，
∴（等量代换）
即，
在和中
∴．
（2）解：∵中，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
（3）解：；理由如下：
延长到点E，使，如下图，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到，然后根据SAS的方法证明即可；
（2）通过等腰三角形等边对等角的性质，得到，，再利用SAS证明，得到，由此得出；
（3）延长到点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出．
24．（2024八上·随县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴正半轴上，，．
（1）如图1，当时，连接交y轴于点D，写出点C的坐标；
（2）如图2，轴于B且，连接交y轴于一点E，在B点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由；
（3）如图3，N在延长线上，过作轴于Q，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：如图1，过点C作轴于H．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：在B点运动过程中，长保持不变，的长为3，理由如下：
如图2，过C作轴于M．
由（1）可知：，
∴，，
∵轴
∴
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．理由如下：
如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥y轴交y轴于H，通过AAS可证明得到，，，求得CH、OH的长度，即可得到C点的坐标；
（2）过点C作轴交y轴于M，通过AAS可证明，得到，则；
（3）延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．先证明，得到，，然后证明，得到，即可推出．
湖北省随州市随县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（2024八上·随县期末）如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·随县期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·随县期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·随县期末）一个多边形的每个外角都等于，则此多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
5．（2024八上·随县期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·随县期末）已知，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（2024八上·随县期末）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．12
8．（2024八上·随县期末）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F， 交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
9．（2024八上·随县期末）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
10．（2024八上·随县期末）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八上·随县期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2024八上·随县期末）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒，已知1纳秒0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为 ．
13．（2024八上·随县期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，交于点G，连接，则的周长为 ．
14．（2024八上·随县期末）若实数x，y满足，，则 ．
15．（2024八上·随县期末）在中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，，，，则 ．
16．（2024八上·随县期末）在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（2024八上·随县期末）（1）计算：；
（2）分解因式：．
18．（2024八上·随县期末）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．
19．（2024八上·随县期末） 如图所示，工人赵师傅用块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙、和、，点在上，已知，．
（1）求证：≌；
（2）求的长．
20．（2024八上·随县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）在图中画出关于x轴对称的图形；并写出的坐标；
（2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为______；
（3）求的面积．
21．（2024八上·随县期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
22．（2024八上·随县期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某社区为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该社区决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的七折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了．那么该社区此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
23．（2024八上·随县期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
（1）【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：．
（2）【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
（3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明．
24．（2024八上·随县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴正半轴上，，．
（1）如图1，当时，连接交y轴于点D，写出点C的坐标；
（2）如图2，轴于B且，连接交y轴于一点E，在B点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由；
（3）如图3，N在延长线上，过作轴于Q，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，故D正确．
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，利用它们运算法则逐一计算即可判断．
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知，且，
当添加，根据能判断，选项A不符合题意；
当添加，根据能判断，选项B不符合题意；
当添加，根据能判断，选项D不符合题意；
如果添加，不能根据判断，选项C符合题意；
故选：C．
【分析】根据SSS：三条边分别对应相等的两个三角形全等，SAS：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，HL：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，逐项分析即可求解.
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据多边形的外角和等于性质，得到
解得，
则此多边形为八边形，
故答案为：D．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的外角和等于性质，得到，求解即可.
5．【答案】A
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A．，故A正确，符合题意；
B．无法分解因式，故B错误，不符合题意；
C．，故C错误，不符合题意；
D．，故D错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】
根据因式分解的概念，对选项逐个判断即可，因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式．
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方逆运算原式可化为，再根据同底数幂的乘法得到，从而得到，再整体代入计算可得答案．
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过D作，交的延长线于F，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∴
∴的面积为，
故答案为：A．
【分析】过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可．
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；内错角的概念
【解析】【解答】解：延长交于点E，如下图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长交于点E，通过ASA证明，得出，根据平行线的性质得出，从而得出，再根据，推出，得出，得到，即可求解．
9．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘以得：，
解得：，
根据题意可得，，即
从而得到
解得且，
故选：C．
【分析】将m当做已知数，解分式方程，得到含有的方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于的不等式，解之即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；多边形的面积
【解析】【解答】解：在中，，则，
、分别平分、，
，
，故①正确；
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，，，故②正确；
，
在和中，
，
，
，
又，
，故③正确；
连接，，如图所示：
，，
，，，
，
，
，
，
，故④正确，
综上正确的选项有4个，
故答案为：D．
【分析】在中，利用直角三角形性质得到，再、分别平分、，即可得到，从而，故①正确；又根据上述条件得到，结合，得到，从而根据三角形全等的判定定理得到，所以，，，故②正确；再根据上述条件及结论有，进而可以由图中线段关系确定，故③正确；连接，，结合前面，，得到，，，根据，确定，则由平行线的判定定理得到，从而有，根据，确定④正确，综上可知正确的结论有个．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意可得，
解得：
故答案为：．
【分析】分式有意义的条件为分母不为零，可得，求解即可.
12．【答案】1.5×10-8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：所用时间=15×0.000 000 001=1.5×10-8．
故答案为：1.5×10-8．
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示形式求解即可．
13．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据尺规作图可得，，是的垂直平分线，从而得到，然后的周长等于，即可求解．
【解答】解：根据尺规作图可得，，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
故答案为：8．
14．【答案】56
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： 对进行平方，
得到：，
从而得到：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式可得，再将，代入即可求解．
15．【答案】20或14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由垂直平分线的性质，，，然后结合图形，当点在线段之间时和当点在线段之间时两种情况，进行分类讨论，即可求出答案．
【解答】解：根据题意，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
①当点在线段之间时，分别过点E、D作，如下图
∴；
②当点在线段之间时，分别过点E、D作，如下图
∴；
故答案为：20或14．
16．【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长作，连接，
此时，
根据点到线的距离可得，当时，最小，即最小，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
【分析】延长作，连接，由点到直线的距离可知当时有最小值，根据30度角的直角三角形性质30度所对的直角边是斜边的一半，求解即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
18．【答案】解：
，
∵且，
∴符合题意．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则对分式进行化简，根据分式有意义的条件和a的取值范围，确定a的值，代入计算即可．
19．【答案】（1）证明：，，
同角的余角相等．
在与中，
，
≌；
（2）解：由题意知，，．
由知，≌，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定定理即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质即可求出答案。
20．【答案】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示：
根据图形可得，点的坐标为．
（2）y轴；
（3）解：．
答：的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：由与点关于一条直线成轴对称，可以得到这条对称轴是直线，即y轴，
则点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：y轴，；
【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可，根据点 的位置确定坐标即可；
（2）利用轴对称的性质先确定出对称轴，再根据关于y轴对称点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标变为相反数”解决问题即可；
（3）根据割补法，利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积，求解即可．
21．【答案】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∴∠BDE＝45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF＝90°．
∴∠BFD＝45°＝∠BDE．
∴BF＝DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
即BF＝CD．
在△CBF和△ACD中，
，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF＝∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA＝90°，
∴∠CAD+∠GCA＝90°．
即AD⊥CF．
（2）解：△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵CF＝AD，
∴CF＝AF，
∴△ACF是等腰三角形．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等腰Rt△ABC可得∠CBA＝∠CAB＝45°，结合DE⊥AB，可求∠BDE＝45°，由平行线的性质可得∠BFD＝45°＝∠BDE，利用等角对等边得BF＝DB，结合D为BC的中点，得BF＝CD=DB，证明△CBF≌△ACD，可得∠BCF＝∠CAD，从而得出∠BCF+∠GCA=∠CAD+∠GCA＝90°，利用三角形内角和求出∠AGC=90°，即得结论；
（2）△ACF是等腰三角形，理由：由（1）知△CBF≌△ACD可得CF＝AD， 由等腰三角形的性质可得BE垂直平分DF， 利用线段垂直平分线的性质可得AF＝AD， 即得CF＝AF，根据等腰三角形的判定即证结论.
22．【答案】（1）解：设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元．根据题意，得：，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴
答：购买一个A品牌需要120元，购买一个B品牌的垃圾桶需160元．
（2）解：设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶．
根据题意，得，
解得：，
∵n取整数，
∴n的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元，根据题意，列出分式方程，求解后检验即可解答；
（2）设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据题意，列出不等式，求解后取最大值即可解答．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴（等量代换）
即，
在和中
∴．
（2）解：∵中，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
（3）解：；理由如下：
延长到点E，使，如下图，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到，然后根据SAS的方法证明即可；
（2）通过等腰三角形等边对等角的性质，得到，，再利用SAS证明，得到，由此得出；
（3）延长到点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出．
24．【答案】（1）解：如图1，过点C作轴于H．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：在B点运动过程中，长保持不变，的长为3，理由如下：
如图2，过C作轴于M．
由（1）可知：，
∴，，
∵轴
∴
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．理由如下：
如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥y轴交y轴于H，通过AAS可证明得到，，，求得CH、OH的长度，即可得到C点的坐标；
（2）过点C作轴交y轴于M，通过AAS可证明，得到，则；
（3）延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．先证明，得到，，然后证明，得到，即可推出．
