广东省深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试数学试卷
1．（2024高三上·深圳开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·深圳开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·深圳开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·深圳开学考）设非零向量，则“”是“或”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
5．（2024高三上·深圳开学考）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
6．（2024高三上·深圳开学考）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·深圳开学考）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·深圳开学考）设函数，，若存在，，使得，则的最小值为
A． B．1 C．2 D．e
9．（2024高三上·深圳开学考）已知函数，则函数（ ）
A．单调减区间为
B．在区间上的最小值为
C．图象关于点中心对称
D．极大值与极小值的和为
10．（2024高三上·深圳开学考）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
11．（2024高三上·深圳开学考）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线是的一条渐近线
C．若，则的离心率为
D．若，则的渐近线方程为
12．（2024高三上·深圳开学考）在数列中，，，则数列的通项公式为 ．
13．（2024高三上·深圳开学考）已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，若在上的最小值为-1，则的最大值是 .
14．（2024高三上·深圳开学考）已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ．
15．（2024高三上·深圳开学考）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
16．（2024高三上·深圳开学考）如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（2024高三上·深圳开学考）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大
18．（2024高三上·深圳开学考）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
19．（2024高三上·深圳开学考）牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的1次近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，就称为的次近似值，称数列为牛顿数列．
（1）若的零点为，，请用牛顿切线法求的2次近似值；
（2）已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列，数列满足，且．
（ⅰ）设，求的解析式；
（ⅱ）证明：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】，A、B错误；
，C正确；
不正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】
先求出交集及并集，再根据子集定义分别判断各个选项即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由，
所以，
故答案为：B.
【分析】
根据复数的四则运算可得，进而可得.
3．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】令，则，
所以，
故答案为：A.
【分析】
利用换元法结合诱导公式、二倍角公式即可求解.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为不能推出或，
但若“或”，则一定有，
所以“”是“或”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的运算法则，从而结合不能推出或，但若“或”，则一定有，再根据充分条件、必要条件的判断方法，则找出正确的选项.
5．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵，且为等比数列，
∴，
∴.
故答案为：B
【分析】根据对数运算对问题化简，进一步由等比数列的性质得，从而计算出结果.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的方程为，所以，
设，其中如图所示：
则，所以，则，
所以，
所以，
则直线的倾斜角，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，消去得，
，
设，
则，
所以.
故选：A.
【分析】先根据抛物线的性质和焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理（若一元二次方程有两个根，则）求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解.
7．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，
即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，
所以，，故或，
即或，解得符合题意，
所以，球的表面积为．
故答案为：A．
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距、圆面半径和球的半径之间的关系，即可得出球的半径，再由球的表面积公式，从而得出该球的表面积．
8．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得，即，所以，
又，所以在上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故答案为：B
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果.
9．【答案】B,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A，，
故，
所以在和上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减， 故A错误；
对于D，由A知，函数的极大值为，
极小值，
则，故D正确；
对于B，，
结合函数在的单调性可知：，故B正确；
对于C，，
所以，
故函数图象关于点中心对称，故C正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】
先求导，然后利用导数研究函数的单调区间和极值，即可判断选项A错误，B，D正确；利用即可判断选项C正确.
10．【答案】B,C,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】所有可能的方法有种，A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】
利用分步乘法计数原理判断A错误、C选项正确，利用分类加法计数原理以及组合数计算，判断B选项正确，利用排列数计算判断D选项正确.
11．【答案】A,B,D
【知识点】直线的斜率；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A，根据题意，，设直线，
又因为直线与圆相切于点，
所以，A正确；
对于B，根据题意可知，可得，
所以直线是的一条渐近线，B正确；
对于C，若，根据题意，联立，解得，
同理联立，解得，
由于，故，即，
化简得，则的离心率为，C错误；
对于D，设，依题意知，则，
故，得，
故，代入，得，
所以，则，
得，则的渐近线方程为，D正确；
故答案为：A、B、D
【分析】
根据直线与圆相切于点，计算斜率判断A正确；由计算直线斜率判断B正确；求出点的坐标，根据离心率、渐近线的定义计算，判断C错误，D正确.
12．【答案】（为正整数）
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】因为，所以，又，
（为正整数）．
故答案为：（为正整数）．
【分析】
将，转化为，利用累乘法 求通项即可求解.
13．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，
因为图象关于轴对称，所以，，
可得，，又，所以，即，
要使在上的最小值为，则在上的最小值为，
当时，，又，
所以，解得，即的最大值是.
故答案为：.
【分析】
利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的性质列式，求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的图象；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由函数，令，可得，
即，因为，所以，所以，
可得或，
即或，
令，，可得，，
当时，可得，在单调递增，且；
当时，且；
当时，可得，在单调递减；
当时，可得，在单调递增，且，
又当时，，，
当时，且；
作出函数的图象，如图所示，
要使得有两个实数根，即有两个不同的零点，
结合图象，可得或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】
根据题意，转化为有两个根据，即或有两个解，分别令，，利用导数求得函数和的单调性与最值，作出函数和的图象，结合图象，即可求解.
15．【答案】（1）解：因为，即
，
而，代入得
，
解得：
（2）解：由（1）可求出，而，
所以，
又，
所以
（3）解：因为，
所以，
故，
又，
所以
，，
而，
所以，
故．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据余弦定理以及，解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，先根据同角三角函数关系求得，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式，代入即可求解．
（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
16．【答案】（1）证明：取中点，连接、，如图所示：
，点是的中点，
，
又是的中点，
，
又在直三棱柱中，有，平面
，
平面，
平面，且面，平面平面，
，
平面，且平面，
，
又，且、平面，
平面，
又，
平面，
平面，
面平面.
（2）解：由（1）知平面，则，
设，则，，，
，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，
此时，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则有，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，解得，
设直线与平面所成的角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接、，由三角形的中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明；
（2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解.
（1）取中点，连接、，如图所示：
，点是的中点，
，
又是的中点，
，
又在直三棱柱中，有，平面
，
平面，
平面，且面，平面平面，
，
平面，且平面，
，
又，且、平面，
平面，
又，
平面，
平面，
面平面.
（2）由（1）知平面，则，
设，则，，，
，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，
此时，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则有，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，解得，
设直线与平面所成的角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：记“ 一次数据能被软件准确分析 ”为事件，，
则一次数据能被软件准确分析的概率0.75；
（2）解：由（1）可知：，
① 由题意可知随机变量服从二项分布，，则的方差；
②由题意可知：，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大．
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用全概率公式求解即可；
（2）由题意可知随机变量服从二项分布，，
①直接由二项分别的方差公式求解即可；
②，结合数列单调性求解即可.
（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则，
所以．
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75．
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以的方差；
②可知，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大．
18．【答案】解：（1）由题意知、，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求出的值，利用离心率求出的值，根据a、b、c关系可求得，进而可得出椭圆的标准方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
19．【答案】（1）解：因为，
又因为，
所以直线，
当，
所以直线，
当，
则用牛顿切线法得出的2次近似值为.
（2）解：（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根，
所以，不妨设，
则，
因为所以
所以，函数在横坐标处的切线方程为
令则
即，所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以，因为
所以所以，
令则，
又因为所以，
所以数列是公比为2的等比数列，
则
令，则，
当时，，所以在单调递减，
所以，即
因为所以即，
所以
，即证.
【知识点】导数的几何意义；数列与函数的综合
【解析】【分析】(1) 对函数求导，结合导数的几何意义得出切线的斜率，由代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出切线的方程，再由函数的零点求解方法和已知条件结合牛顿切线法求出的2次近似值.
(2) （ⅰ）由二次函数有两个不等实根，不妨设，
则，再利用导数的方法得出函数在横坐标为的点处的切线方程，再利用得出即可得到，从而得出函数的解析式.（ⅰⅰ）利用（ⅰ）中结论可得，再证明数列为等比数列，再结合所给结论，从而利用放缩法和等比数列求和公式，进而证出不等式成立.
（1），所以
当，所以
当，
所以的2次近似值为.
（2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根，
所以不妨设，
则，
因为所以
所以在横坐标为的点处的切线方程为
令则
即，
所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以.
因为所以所以.
令则，又
所以，
数列是公比为2的等比数列.
.
令，则
当时，，所以在单调递减，
所以，即
因为所以即.
.
广东省深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试数学试卷
1．（2024高三上·深圳开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】，A、B错误；
，C正确；
不正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】
先求出交集及并集，再根据子集定义分别判断各个选项即可.
2．（2024高三上·深圳开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由，
所以，
故答案为：B.
【分析】
根据复数的四则运算可得，进而可得.
3．（2024高三上·深圳开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】令，则，
所以，
故答案为：A.
【分析】
利用换元法结合诱导公式、二倍角公式即可求解.
4．（2024高三上·深圳开学考）设非零向量，则“”是“或”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为不能推出或，
但若“或”，则一定有，
所以“”是“或”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的运算法则，从而结合不能推出或，但若“或”，则一定有，再根据充分条件、必要条件的判断方法，则找出正确的选项.
5．（2024高三上·深圳开学考）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵，且为等比数列，
∴，
∴.
故答案为：B
【分析】根据对数运算对问题化简，进一步由等比数列的性质得，从而计算出结果.
6．（2024高三上·深圳开学考）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的方程为，所以，
设，其中如图所示：
则，所以，则，
所以，
所以，
则直线的倾斜角，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，消去得，
，
设，
则，
所以.
故选：A.
【分析】先根据抛物线的性质和焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理（若一元二次方程有两个根，则）求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解.
7．（2024高三上·深圳开学考）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，
即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，
所以，，故或，
即或，解得符合题意，
所以，球的表面积为．
故答案为：A．
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距、圆面半径和球的半径之间的关系，即可得出球的半径，再由球的表面积公式，从而得出该球的表面积．
8．（2024高三上·深圳开学考）设函数，，若存在，，使得，则的最小值为
A． B．1 C．2 D．e
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得，即，所以，
又，所以在上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故答案为：B
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果.
9．（2024高三上·深圳开学考）已知函数，则函数（ ）
A．单调减区间为
B．在区间上的最小值为
C．图象关于点中心对称
D．极大值与极小值的和为
【答案】B,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A，，
故，
所以在和上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减， 故A错误；
对于D，由A知，函数的极大值为，
极小值，
则，故D正确；
对于B，，
结合函数在的单调性可知：，故B正确；
对于C，，
所以，
故函数图象关于点中心对称，故C正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】
先求导，然后利用导数研究函数的单调区间和极值，即可判断选项A错误，B，D正确；利用即可判断选项C正确.
10．（2024高三上·深圳开学考）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
【答案】B,C,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】所有可能的方法有种，A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】
利用分步乘法计数原理判断A错误、C选项正确，利用分类加法计数原理以及组合数计算，判断B选项正确，利用排列数计算判断D选项正确.
11．（2024高三上·深圳开学考）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线是的一条渐近线
C．若，则的离心率为
D．若，则的渐近线方程为
【答案】A,B,D
【知识点】直线的斜率；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A，根据题意，，设直线，
又因为直线与圆相切于点，
所以，A正确；
对于B，根据题意可知，可得，
所以直线是的一条渐近线，B正确；
对于C，若，根据题意，联立，解得，
同理联立，解得，
由于，故，即，
化简得，则的离心率为，C错误；
对于D，设，依题意知，则，
故，得，
故，代入，得，
所以，则，
得，则的渐近线方程为，D正确；
故答案为：A、B、D
【分析】
根据直线与圆相切于点，计算斜率判断A正确；由计算直线斜率判断B正确；求出点的坐标，根据离心率、渐近线的定义计算，判断C错误，D正确.
12．（2024高三上·深圳开学考）在数列中，，，则数列的通项公式为 ．
【答案】（为正整数）
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】因为，所以，又，
（为正整数）．
故答案为：（为正整数）．
【分析】
将，转化为，利用累乘法 求通项即可求解.
13．（2024高三上·深圳开学考）已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，若在上的最小值为-1，则的最大值是 .
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，
因为图象关于轴对称，所以，，
可得，，又，所以，即，
要使在上的最小值为，则在上的最小值为，
当时，，又，
所以，解得，即的最大值是.
故答案为：.
【分析】
利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的性质列式，求解即可.
14．（2024高三上·深圳开学考）已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由函数，令，可得，
即，因为，所以，所以，
可得或，
即或，
令，，可得，，
当时，可得，在单调递增，且；
当时，且；
当时，可得，在单调递减；
当时，可得，在单调递增，且，
又当时，，，
当时，且；
作出函数的图象，如图所示，
要使得有两个实数根，即有两个不同的零点，
结合图象，可得或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】
根据题意，转化为有两个根据，即或有两个解，分别令，，利用导数求得函数和的单调性与最值，作出函数和的图象，结合图象，即可求解.
15．（2024高三上·深圳开学考）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）解：因为，即
，
而，代入得
，
解得：
（2）解：由（1）可求出，而，
所以，
又，
所以
（3）解：因为，
所以，
故，
又，
所以
，，
而，
所以，
故．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据余弦定理以及，解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，先根据同角三角函数关系求得，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式，代入即可求解．
（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
16．（2024高三上·深圳开学考）如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取中点，连接、，如图所示：
，点是的中点，
，
又是的中点，
，
又在直三棱柱中，有，平面
，
平面，
平面，且面，平面平面，
，
平面，且平面，
，
又，且、平面，
平面，
又，
平面，
平面，
面平面.
（2）解：由（1）知平面，则，
设，则，，，
，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，
此时，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则有，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，解得，
设直线与平面所成的角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接、，由三角形的中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明；
（2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解.
（1）取中点，连接、，如图所示：
，点是的中点，
，
又是的中点，
，
又在直三棱柱中，有，平面
，
平面，
平面，且面，平面平面，
，
平面，且平面，
，
又，且、平面，
平面，
又，
平面，
平面，
面平面.
（2）由（1）知平面，则，
设，则，，，
，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，
此时，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则有，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，解得，
设直线与平面所成的角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．（2024高三上·深圳开学考）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大
【答案】（1）解：记“ 一次数据能被软件准确分析 ”为事件，，
则一次数据能被软件准确分析的概率0.75；
（2）解：由（1）可知：，
① 由题意可知随机变量服从二项分布，，则的方差；
②由题意可知：，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大．
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用全概率公式求解即可；
（2）由题意可知随机变量服从二项分布，，
①直接由二项分别的方差公式求解即可；
②，结合数列单调性求解即可.
（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则，
所以．
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75．
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以的方差；
②可知，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大．
18．（2024高三上·深圳开学考）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【答案】解：（1）由题意知、，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求出的值，利用离心率求出的值，根据a、b、c关系可求得，进而可得出椭圆的标准方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
19．（2024高三上·深圳开学考）牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的1次近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，就称为的次近似值，称数列为牛顿数列．
（1）若的零点为，，请用牛顿切线法求的2次近似值；
（2）已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列，数列满足，且．
（ⅰ）设，求的解析式；
（ⅱ）证明：
【答案】（1）解：因为，
又因为，
所以直线，
当，
所以直线，
当，
则用牛顿切线法得出的2次近似值为.
（2）解：（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根，
所以，不妨设，
则，
因为所以
所以，函数在横坐标处的切线方程为
令则
即，所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以，因为
所以所以，
令则，
又因为所以，
所以数列是公比为2的等比数列，
则
令，则，
当时，，所以在单调递减，
所以，即
因为所以即，
所以
，即证.
【知识点】导数的几何意义；数列与函数的综合
【解析】【分析】(1) 对函数求导，结合导数的几何意义得出切线的斜率，由代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出切线的方程，再由函数的零点求解方法和已知条件结合牛顿切线法求出的2次近似值.
(2) （ⅰ）由二次函数有两个不等实根，不妨设，
则，再利用导数的方法得出函数在横坐标为的点处的切线方程，再利用得出即可得到，从而得出函数的解析式.（ⅰⅰ）利用（ⅰ）中结论可得，再证明数列为等比数列，再结合所给结论，从而利用放缩法和等比数列求和公式，进而证出不等式成立.
（1），所以
当，所以
当，
所以的2次近似值为.
（2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根，
所以不妨设，
则，
因为所以
所以在横坐标为的点处的切线方程为
令则
即，
所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以.
因为所以所以.
令则，又
所以，
数列是公比为2的等比数列.
.
令，则
当时，，所以在单调递减，
所以，即
因为所以即.
.
