湖南省永州市零陵区2024-2025学年八年级上学期12月月考
数学测试卷
考时量：120 分钟 满分：120 分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上。
生2．请将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
姓 3．考试结束后，只需将答题卡交回；本试卷自己保管好，老师将进行讲解。
4．测试范围：第 1章分式~第 2章三角形。
名
答 第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题
1．下面各式中， x+ y， ， ，﹣4xy， ，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
不
班 2.下列命题是真命题的是（ ）
级
A．内错角相等
得B．若两个角互补，则这两个角的和为 180°
C．相等的角是对顶角
超D．两个锐角的和是锐角
5
学 3.要使分式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）
3
校
过A.x=3 B.x＞3 C.x＜3 D.x≠3
4.已知一粒大米的质量约为 0.000021 千克，这个数用科学记数法表示为（ ）
﹣4 ﹣4 ﹣5 ﹣6
A．0.21×10 B．2.1×10 C．2.1×10 D．21×10
此5.下列运算正确的是（ ）
A．(π 3.14)0=0 B．2a2·a3 = 2a6
座
位密C．( ) = D．
号
6.如图所示，各图中，正确画出△ABC 中 BC边上的高的是（ ）
封
A． B．
线
C． D．
1
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7.若某三角形的两边长分别为 3 和 4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
8.如图，已知 ， ， ，那么 等于（ ）
A． B．
C． D．
9. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人
对树木的深深敬仰．2024 年 4 月 3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先
队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在
“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植
4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植 80 棵树，乙班共植 60 棵树．设
乙班每小时植 x棵树，依题意可列方程为（ ）
80
A． = 60 80 = 60 80 60 80 60B． C． = D． =
+4 4 4 +4 4
10. 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与 A，E 重合），在 AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△
ECD，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ，则有以下五个结
论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中正确的有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤
C．①②③⑤ D．①②③④⑤
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分。
1 = 10 400 511. 下列关于 x 的方程：① ；② = ；③ + 1 = 1；④ = ，其中是
2 5 600 30 4 2 2
分式方程的有 。（填序号）
1 3
12. 对分式 2 和 进行通分时的最简公分母为__________．2x 4xy
1 2
13. 分式方程 = 的解为 。
+2
14. 写出“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题： ．
15. 如图，已知 AD是△ABC 的边 BC上的中线，CE是△ADC 的边 AD上的中线，若△ABD
的面积为16cm2，则△CDE 的面积为 。
2
{#{QQABYQCAogAgABBAARhCQwUSCEKQkhGCCYgOBEAEIAABiQNABAA=}#}
16. 如图，在△ABC 中， B=60 ， C 30 ，分别以点A和点C为圆
1
心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N，作直线MN，
2
交 BC于点D，连接 AD，则 BAD的度数为 ．
17. 如图，已知 = ，添加一个条件，能判定△ ≌△ ，这个条件
可以是 .（写出一个即可）
2 , 5 ,10 , 17 , 2618. 观察下列分式： ,按此规律第 100 个分式是 ．
x x2 x3 x4 x5
三、解答题：本题共 8小题，共 66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）计算：
2 ﹣4 0
(1) ﹣ （2）（﹣1） +（ ） ﹣5÷（2005﹣π）
20．（6分）解分式方程：
（1） ； （2） ．
( x 1 x 2 2x
2 x
21．（8分） 先化简，再求值： ) ÷ ，其中 x 满足 x=﹣3．
x x+1 x2+2x+1
22．（8 分）如图，在△ABC 中，AB AC，D是 BC边上的中点，连接 AD，BE平分 ABC
交 AC于点 E．
(1)过点 E作 EF∥BC交 AB于点 F ，求证： FB FE．
(2)若 C 36 ，求 BAD的度数．
1
23．（9分）若关于 的分式方程 = 2.
1 1
（1）若 k=1，求分式方程的解； （2）若分式方程无解，求 的值。
3
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24．（9 分）如图，△ABC 中， 的垂直平分线分别交 ，BC 于点 D，E，AC 的垂直平分线
分别交 AC，BC 于点 F，G，连接 AE，AG．
(1)若△AEG 的周长为 10，求线段 BC 的长；
(2)若∠BAC=104°，求∠EAG 的度数．
25．（10 分）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙
型机器人每小时多搬运 10kg，甲型机器人搬运 800kg所用时间与乙型机器人搬运 600kg所
用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少 kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运 kg产品，则甲型机器人每小时搬运_____kg产品，根
据“甲型机器人搬运 800kg所用时间与乙型机器人搬运 600kg所用时间相等”，可列方程为
_______．
(2)小惠同学设甲型机器人搬运 800kg所用时间为 小时，则甲型机器人每小时搬______kg
产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运 10kg”，可列方程为________．
(3)请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
26．（10 分）如图（1），AB 4cm，AC AB，BD AB，AC=3cm．点 P在线段 AB上以1cm/s
的速度由点A向点 B运动，同时，点Q在线段 BD上由点 B向点D运动．它们运动的时间为
t(s)．
(1)如图（1）若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当 t 1时，
①△ACP与△BPQ 是否全等，请说明理由；
②判断线段 PC和线段 PQ的位置关系和数量关系？
(2)如图（2），将图（1）中的“ AC AB，BD AB”为改“ CAB DBA 60 ”，其他
条件不变，设点Q的运动速度为 xcm / s，是否存在实数 x，使得以点 A,C,P 为顶点的三角形
和以点 B,P,Q 为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的 x、 t的值；若不存在，请说明理
由．
4
{#{QQABYQCAogAgABBAARhCQwUSCEKQkhGCCYgOBEAEIAABiQNABAA=}#}湖南省永州市零陵区2024-2025学年八年级上学期12月月考
数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D C C A B D A C
二、填空题
11.②④ 12． 4x2 y 13. = 2
14.同旁内角互补，两直线平行 15. 8cm2 16. 60°
17. = 或∠ = ∠ 或∠ = ∠ =90 10001°（直角三角形，未学） 18.
100
三、解答题
19.解：（1）原式= …………………………1分
6 2
= …………………………2分
( +3)( 3)
=﹣ …………………………3分
（2）原式 =1+16﹣5 …………………………1分
=12 …………………………3分
20.解：（1）方程两边同乘以 x（x+1）得，2（x+1）=3x， …………………………1 分
解得 x=2， …………………………2 分
经检验 x=2 是原方程的解，
所以原方程的解为 x=2； …………………………3 分
（2）解：方程两边同乘最简公分母（x+2）（x﹣2）得 x+2=4， ………………1 分
解得：x=2， …………………………2分
检验：把 x=2 代入最简公分母中，（x+2）（x﹣2）=（2+2）（2﹣2）=0，
则 x=2 是原方程的增根，原方程且无解． …………………………3 分
21.解：原式= …………………………2 分
= …………………………4 分
= ， …………………………6 分
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当 x=﹣3 时，原式= =﹣ ． …………………………8分
22.（1）证明： BE平分 ABC，
ABE CBE，即 FBE CBE， …………………………1 分
EF∥BC，
FEB CBE， …………………………2分
EBF FEB，
FB FE． …………………………4 分
（2）解： AB AC，D是 BC边上的中点，
AD BC， ABD C 36 ， …………………………6分
ADB 90 ，
BAD 90 ABD 90 36 54 ，
BAD的度数是54 ． …………………………8 分
23. 1解：（1）当 k=1 时，原方程可化为 = 2, …………………………1分
1 1
去分母，得 x+1=2(x-1),
解得 x=3. …………………………3 分
经检验：x=3 是原分式方程的解。 …………………………4 分
（2 ） 1 = 2，
1 1
去分母得 + 1 = 2 1 ，即 2 = 3， …………………………5 分
当 2 = 0，即 = 2 时， 2 = 3无解； …………………………7分
当 2 ≠ 0 ≠ 2 = 3，即 时， ，
2
∵ 1关于 的分式方程 = 2 无解，
1 1
∴ 3 = 1，解得 = 1；
2
综上所述，当关于 的分式方程 1 = 2 无解， 的值为 1或 2 …………9分
1 1
24.解：（1）∵ 垂直平分 ，GF垂直平分 AC，
∴ EA EB，GA GC， …………………………2 分
∵ AEG的周长为 10，
∴ AE EG AG 10，
∴ BC BE EG GC AE EG GC 10； …………………………4 分
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（2）∵ BAC 104 ，
∴ B C 180 104 76 ， …………………………5分
∵ EA EB，GA GC，
∴ EAB B， GAC C， …………………………7分
∴ EAB GAC B C 76 ，
∴ EAG BAC EAB GAC 104 76 28 ． …………………9 分
25.(1) + 10 800 = 600， …………………3 分(第 1空 1分，第 2空 2分）
+10
(2)800 800 = 600， + 10 …………………6 分(第 1空 1分，第 2 空 2 分）
（3）解：设乙型机器人每小时搬运 kg 产品，则甲型机器人每小时搬运 + 10 kg产品，
根据题意得：
800 = 600；
+10
解得： = 30， …………………………8分
经检验得： = 30是原方程的解，且符合题意， …………………………9分
答：乙型机器人每小时搬运 30kg产品． …………………………10 分
26.（1）①全等，理由如下： …………………………1分
当 t 1时， AP BQ 1， BP AC 3，
又 A B 90 ，
AP BQ
在△ACP
和△BPQ 中， A B
AC BP
ACP≌ BPQ(SAS)． …………………………3 分
②由①得 ACP BPQ
ACP BPQ，CP PQ …………………………4分
APC BPQ APC ACP 90
CPQ 90 ， …………………………5分
线段 PC与线段 PQ垂直，
因此、 PC与 PQ的关系是垂直且相等； …………………………6 分
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（2）由题意可得： AP t， BQ xt， PB 4 t， AC 3，
①若△ACP≌△BPQ，则 AC BP， AP BQ ，
3 4 t
∴ ，
t xt
t 1
解得 ； …………………………8分
x 1
②△ACP≌△BQP，
则 AC BQ， AP BP，
3 xt
∴
t
，
4 t
t 2
解得 ，
x
3
2
t 1
t 2
综上所述，存在 或 3使得以点 A,C,P 为顶点的三角形和以点 B,P,Q 为顶点的三角
x 1 x 2
形全等． …………………………10 分
{#{QQABYQCAogAgABBAARhCQwUSCEKQkhGCCYgOBEAEIAABiQNABAA=}#}
