重庆市巴蜀中学教育集团初2026届初二（上）半期考试
数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．
1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C D.
5. 如图，含的直角三角尺一条直角边的两个顶点分别放在两条互相平行的直线上，已知，则（ ）
A B. C. D.
6. 估算的值在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
7. 如图，D是上的一点，已知，平分，下列所给选项不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
8. 若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ）
A. 0 B. 3 C. 2 D.
9. 我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设共有x人，y辆车，则下面所列方程组中错误的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A. B. C. D.
12. 对于只含一个字母的代数式，我们把代数式本身作为字母的值代入代数式中称为一次“自代入”操作，例如：对分式进行一次“自代入”操作得，化简后得，对于分式，进行第一次“自代入”操作得：，化简后得的式子记作；对进行第二次“自代入”操作，化简后的式子记作，继续对进行第三次“自代入”操作，化简后的式子记作，以此类推重复“自代入”操作，以下结论正确的有（ ）个．
①；②若，则；③若整数使得的值也为整数，则的值有4个．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 若分式有意义，则x满足的条件是________．
14 分解因式：________．
15. 正n边形的一个内角与它相邻的外角的比是，则n的值为________．
16. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，且，则的度数为________．
17. 已知，则的值为________．
18. 如图，在等边中，D是上一点，于点E，交的延长线于点F，，，则的长为________．
19. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接、，过点作分别交、于点、，为边上的动点，连接、．以下结论：①；②；③当时，为的中点；④当时，若，，则的最小值可表示为，其中正确的是___________．（填序号）
20. 若一个三位数，各个数位上的数字均不为零，且满足各个数位的数字之和为4的倍数，称这样的数为“四方数”，如138，，所以138是“四方数”，如257，，14不是4的倍数，所以257不是“四方数”，若“四方数”，其中，交换M的百位与个位数字得到，记，若的值为整数，则满足条件的M的最大值为________．
三、解答题：（本大题7个小题，第22题8分，第27题12分，其余每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21. 解分式方程
（1）；
（2）．
22 先化简，再求值：，其中a、b满足．
23. 在如图所示的网格中，已知点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为________；
（2）作关于y轴对称的图形；
（3）若P为x轴上一点，且的面积为4，求点P的坐标．
24. 为了引导新生积极参与书香校园建设，进一步推动“阅读世界，洞见未来”的教育目标，巴蜀中学张家花园校区图书馆向初、高中2027届新生发起了“捐一缕书香，见一路花开”的图书捐赠倡议活动，本次活动得到了同学们的积极响应．为了了解同学们所捐图书的整体情况，图书馆工作人员对同学们所捐图书进行了随机抽样调查，按照：A政治、历史、哲学类；B文化、教育、语言类；C艺术、体育类；D自然科学类；E综合性图书5个大类进行统计，并将统计结果绘制成了如图1、图2所示的不完整的统计图．
（1）抽样调查的图书一共有________本，图2中D类图书所占的百分比为________；
（2）在图1中补全条形统计图（标上相应数据）；
（3）若此次图书馆收到的捐赠图书共有2100本，估计其中A类图书大约有多少本？
25. 如图，在外有一点D，满足且．
（1）过点B作直线的垂线，交于点F，并在射线上取，连接交于点G；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求的大小．
26. 为了支持全民健身运动，某社区计划采购一批体育健身器材，现有A、B两种型号的健身器材，其中A型健身器材比B型健身器材每台售价高1000元．
（1）社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样，求A、B两种型号健身器材每台的售价各是多少元？
（2）商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B型旧健身器材抵值500元．社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器材数量一共是120台．若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是B型旧健身器材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材，社区也还需要再拿出台B型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值．
27. 如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点．
（1）当点M在的延长线上时，连接；
①如图1，若，交于点N，，求的长；
②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数．
重庆市巴蜀中学教育集团初2026届初二（上）半期考试
数学试题 简要答案
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】B
【11题答案】
【答案】D
【12题答案】
【答案】B
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】12
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】11
【18题答案】
【答案】6
【19题答案】
【答案】①②③④
【20题答案】
【答案】862
三、解答题：（本大题7个小题，第22题8分，第27题12分，其余每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
【22题答案】
【答案】，
【23题答案】
【答案】（1）作图略，
（2）略 （3）或
【24题答案】
【答案】（1）150；
（2）略 （3）294本
【25题答案】
【答案】（1）略 （2）
【26题答案】
【答案】（1）型号健身器材每台的售价为6000元，型号健身器材每台的售价为5000元
（2）的最小值为10
【27题答案】
【答案】（1）①，②，理由略
（2）当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时，
