第4章综合素质评价
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个奥运会体育比赛项目图标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若一个多边形的内角和为 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．清晨，小刚沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，他每跑完一圈，身体转过的角度之和是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是跷跷板的示意图,小华注意到跷跷板静止状态时,可以与地面构成一个,跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（，分别为，的中点）,若,则点到地面的高度为（ ）
（第4题）
A． B． C． D．
5．如图，在 中，平分，交 于点，若，，则 的长为（ ）
（第5题）
A．1 B．2 C．3 D．5
6．如图，在 中，对角线，交于点，若，，，则 的周长等于（ ）
（第6题）
A．13 B．16 C．18 D．21
7．如图，在四边形 中，对角线,相交于点，下列条件不能判定四边形 为平行四边形的是（ ）
（第7题）
A．, B．,
C．, D．,
8．如图，在 中，点 是对角线,的交点，过点 的直线分别交,于点，，若 的面积为2，的面积为4，则 的面积为（ ）
（第8题）
A．12 B．16 C．24 D．32
9．如图，在四边形 中，已知，若，，则 的最小值是 （ ）
（第9题）
A．3 B．6 C． D．
10．如图，在 中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结,,,交 于点.下列结论：；；平分；.其中正确的个数是（ ）
（第10题）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分）
11．[2024·杭州余杭区月考]用反证法证明：“是无理数”时，第一步应假设________________.
12．若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则__.
13．如图，在四边形中， ，若沿图中虚线剪去，则__________.
（第13题）
14．如图，在 中，，，，则 ________.
（第14题）
15．如图，在 中，.作 边的三等分点，使得，过点 作 的平行线交 于点，过点 作 的平行线交 于点，作 边的三等分点，使得，过点 作 的平行线交 于点，过点 作 的平行线交 于点, ,如此进行下去，则线段 的长度为________________.
（第15题）
16．[2024·杭州江南实验学校期中]如图，是的边上的点，是的中点，连结并延长交于点，连结与相交于点，若，，则阴影部分的面积__.
（第16题）
三、解答题（本题有8小题,共66分）
17．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上.
（1） 作，使与关于原点成中心对称；
（2） 已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标.
18．[2024·浙江]（6分）尺规作图问题：
如图①，点是边上一点（不包含,），连结.用尺规作，是边上一点.
小明：如图②，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则.
小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦，我明白了！
（1） 证明；
（2） 指出小丽作法中存在的问题.
19．[2024·杭州上城区期中]（8分）已知：如图，是的中位线，是边上的中线，和交于点.求证：与互相平分.
20．[2024·杭州拱墅区一模]（8分）在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答：
（1） 若四边形的一个内角的度数是 .
① 求与它相邻的外角的度数（用含 的代数式表示）；
② 求其他三个内角的和（用含 的代数式表示）.
（2） 若一个边形，除了一个内角，其余内角的和为 ，求的值.
（3） 探究边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系.
21．（8分）如图，在中，，， ，点为直线上一动点，求的最小值.（注：在直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半）
22．[2024·宁波鄞州区期中]（8分）如图，在中，,分别是边,的中点，过点作交的延长线于点，连结.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 当时，若，，求：
① 的长；
② 四边形的面积.
23．[2024·温州期中]（10分）如图，已知在中，对角线,交于点,,分别是线段,的中点，连结,.
（1） 求证：；
（2） 若， ，，求的长.
24．（12分）如图，在梯形中，， ,,，,动点从点出发，沿射线的方向以的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以的速度向点运动，点,分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为.
（1） 当为何值时，四边形是平行四边形.
（2） 当为何值时，以,,,为顶点的梯形的面积等于.
（3） 是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
【参考答案】
第4章综合素质评价
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．D
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．C
8．C
9．D
【点拨】如图，过点作，使，连结，,
易知 ，四边形是平行四边形.
.
由勾股定理得，.
,
的最小值是.
故选.
10．B
【点拨】连结 四边形是平行四边形，
,.
,,分别是,,的中点，
，，.
， 四边形是平行四边形.
，故①正确；
四边形是平行四边形，，
，.
.
又是的中点，.
四边形是平行四边形，.
，故②正确；
,.
又, 易知.
不能平分.
故③错误；
, 易知 .
与不垂直，故④错误.
二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分）
11．是有理数
12．13
13．
14．
15．
16．17
【点拨】连结.
四边形为平行四边形，，.
.
是的中点，.
在和中，
.
, 四边形为平行四边形.
易知.
,,，
即.
又， 四边形为平行四边形.
易知.
阴影部分的面积.
三、解答题（本题有8小题,共66分）
17．（1） 【解】如图,即为所求.
（2） 如图，连结，，交点即为点.
与关于点成中心对称，且，，
点的坐标为，
即.
18．（1） 【证明】 四边形是平行四边形，
.
又根据小明的作图方法可知，，
四边形是平行四边形.
.
（2） 【解】以点为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定点的位置，
故小丽的作法存在问题.
19．【证明】是的中位线，
，.
是边上的中线，.
.
四边形和四边形都是平行四边形.
，.
四边形是平行四边形.
与互相平分.
20．（1） ① 【解】若四边形的一个内角的度数是 ，则与它相邻的外角的度数是 .
② 四边形的内角和是 ，其中一个内角为 ，
其他三个内角的和为 .
（2） 设除去的那个内角的度数为 ，由题意，得 .
是大于3的正整数， ，.
（3） 设边形的一个外角为，与它不相邻的个内角的和为，
则有 ，整理，得
.
21．【解】如图，作点关于直线的对称点，交于点，连结交直线于点，连结，则，，， 当点与点重合时，的值最小，最小值为的长.
， ，
.
.
,,
.
在中，,
即的最小值是.
22．（1） 【证明】，分别是边，的中点，
，即.
又，
四边形是平行四边形.
（2） ① 【解】，为的中点，
,.
由题知，，
在中，.
.
② ，
,.
又，.
.
.
23．（1） 【证明】在中，，，，
.
，分别为，的中点，
，.
在和中，
.
.
（2） 【解】，，
.
又 ， 易知 .
.
设，则.
在中，，
即，
解得（负值已舍去）.
易得.
.
24．（1） 【解】 四边形是平行四边形，.
当点从点向点运动时，
，
，
，解得；
当点从点向点运动时，
，，
，解得.
综上，当或时，四边形是平行四边形.
（2） 当点从点向点运动时，
根据题意，得，解得；
当点从点向点运动时，
根据题意，得，解得.
综上，当或15时，以,,,为顶点的梯形的面积等于.
（3） 存在点，使是等腰三角形.
过点作于点，易知,.
当点从点向点运动时，
①当时，，
.
由,得，解得；
②当时，，
，
，解得;
③当时，，
，
，
整理，得.
， 方程无实根.
当点从点向点运动时，观察图形可知，只有.
由题意，得，
整理，得，
解得.
综上所述，存在点，使是等腰三角形.满足要求的的值为或或.
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