选择题：CBBBACCCBD
10、如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE,得出QD=OE，根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值．
【解答】解：设Q是AB的中点，连接DQ，
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC=4，O为AC中点,
∴AQ=AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE(SAS),∴QD=OE，
∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°,
∵QD⊥BC,∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD=∵QB==2，∴QD=∴线段OE的最小值是为．故选：D．
填空：
11、3； 12、-2
18、若直线：y＝ax＋b(a≠0）与直线：y＝mx＋n(m≠0）的交点坐标为(－2，1)，则直线：y＝a(x－3)＋b＋2(a≠0）与直线：y＝m(x－3)＋n＋2(m≠0）的交点坐标为 ．
【答案】(1，3)．
【分析】把(－2，1)分别代入y＝ax＋b(a≠0）与y＝mx＋n (m≠0），得到关于－2a＋b＝1，－2m＋n＝1，进而得出2(a－m)＝b－n，然后解y＝a(x－3)＋b＋2(a≠0）与y＝m(x－3)＋n＋2(m≠0）所组成的方程组求得x、y的值即可．
【解答】解：把(－2，1)分别代入y＝ax＋b、y＝mx＋n得－2a＋b＝1，－2m＋n＝1，
∴2(a－m)＝b－n，
解 ，
①－②得(a－m)(x－3)＋(b－n)＝0，
∴x－3＝－2，∴x＝1，
把x＝1代入y＝a(x－3)＋b＋2得y＝－2a＋b＋2＝1＋2＝3，
∴直线：y＝a(x－3)＋b＋2(a≠0）与直线：y＝m(x－3)＋n＋2(m≠0）的交点坐标为(1，3)，
故答案为：(1，3)．
19、（1）5； （2）x=2或-4
20、y=1.5x+2; (2)a=0; (3)(0,-1)
21、略；22、略；
23、如图，直线的解析表达式为y＝且与x轴交于点D，直线经过定点A(2，0)，B(－1，3)，直线与交于点C．
（1）求直线的函数关系式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请写出点P的坐标．
【分析】（1）设的函数关系式为：y＝kx＋b，再把A(2，0)，B(－1，3)代入可得关于k、b的方程组，再解方程组即可得到k、b的值，进而可得函数解析式；
（2）联立和的解析式，再解方程组可得C点坐标，再利用直线的解析式计算出D点坐标，进而可得△ADC的面积；
（3）根据△ADP与△ADC的面积相等可得△ADP的面积为8，再由AD＝4，计算出P点纵坐标，再利用的解析式确定横坐标，进而可得答案．
【解答】解：（1）设的函数关系式为：y＝kx＋b，
∵直线过A(2，0)，B(－1，3)，
∴ ，解得： ，
∴的函数关系式为：y＝－x＋2；
（2）∵的解析表达式为y＝
∴D点坐标是(－2，0)，
∵直线与交于点C．
∴ ，解得 ，∴C(6，－4)，
△ADC的面积为：＝＝8；
（3）∵△ADP与△ADC的面积相等，∴△ADP的面积为8，
∵AD长是4，∴P点纵坐标是4，
再根据P在上，则4＝－x＋2，解得：x＝－2，故P点坐标为：(－2，4)．
24、某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【答案】(1)10元、15元；
(2)W＝－5m＋15000，W的最小值是11250．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元；
（2）根据题意可以写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【解答】解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为a元、b元，
，解得 ，
答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；
（2）由题意可得，
W＝10m＋15(1000－m)＝－5m＋15000，
∴W随m的增大而减小，
∵购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍，
∴ 解得700≤m≤750，
∴当m＝750时，W取得最小值，此时W＝11250，
答：W（元）与m（瓶）之间的函数关系式是W＝－5m＋15000，W的最小值是11250．
25、一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm．当两车均到达各自终点时，运动停止．如图是y与x之间函数关系的部分图象．
（1）由图象知，慢车的速度为________km/h，快车的速度为________km/h；
（2）请在图中补全函数图象；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．
【分析】（1）根据AB段可以确定先出发的车的速度，然后根据BC段确定两车速度的和，则后出发的车的速度可以求得；
（2）根据路程是480km，则可以求得两辆车到达时的时间，然后求得各组到达的所需要的时间，再求得相距的距离即可确定；
（3）两车之间的距离是300km时有两个位置，分成相遇前和相遇后两种情况讨论即可列方程求解．
【解答】解：（1）先出发的车的速度是(480－440)÷0.5＝80km/h，
两车的速度的和是440÷(2.7－0.5)＝200km/h，则另一辆车的速度是120km/h．
则慢车的速度是80km/h，快车120km/h．
故答案为：80，120；
（2）如图，注意端点值．
（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km．
即(80＋120)×(x－0.5)＝440－300，解得x＝1.2(h)；(8分）
或(80＋120)×(x－2.7)＝300，解得x＝4.2(h)．（10分）故x＝1.2 h或4.2 h，两车之间的距离为300km．
26、模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．
（1）求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：①已知直线：y＝与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至如图2，求的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，－6)，A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝－2x＋6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图2所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为(x，2x－6)，利用三角形全等得到x＋6－(2x－6)＝8，得x＝4，易得D点坐标；如图3所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为(8，－m)，表示出D点坐标为(14－m，－m－8)，列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
【解答】(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°，
又∵∠EBC＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△EBC(AAS)；
（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO,CD=OB，
∵直线：y=
∴A(0，－4)，B(－3，0)，
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，
∴OD＝4＋3＝7，
∴C(－7，－3)
设的解析式为y＝kx＋b(k≠0），
∴ ∴ ，
∴的解析式：y＝
②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，易得D点坐标(4，－2)；
如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，
过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设点P的坐标为(8，－m)，
则D点坐标为(14－m，－m－8)，
由－m－8＝－2(14－m)＋6，得m＝
∴D点坐标
如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，
同理可求得D点坐标
综上可知满足条件的点D的坐标分别为(4，－2)或或查桥中学初二数学2024.12
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．的值为 （ ）
A． B． C．5 D．25
2．在－0.101001，，，－，0中，无理数的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列图形中，轴对称图形的个数为 ( )
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
4．点P( 2，－3 )关于x轴对称的点是 ( )
A． (－2， 3 ) B． (2，3) C．(－2， －3 ) D．(2，－3 )
5．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是 ( )
A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．25、24、7
6．若点在第二象限，且点到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为 ( )
A． B． C． D．
7．已知一次函数y＝(m＋3)x－2中，y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是 （ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞－3 D．m＜－3
8．如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB＝AD＝DC，∠B＝80 ，则∠C等于 （ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
(
第10题
) (
A
B
D
C
第8题
第9题
)
9．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝4，则DF的长为 ( )
A．2 B．4 C． D．
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°，AB＝AC＝4， O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是 （ ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11． 9的算术平方根是 ．
12．已知点A（a－1，2＋a）在第二象限，那么a的取值范围是 ．
13．全长10790米的太湖隧道已正式通车，把10790精确到千位，并用科学记数法表示为 ．
14．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，则它斜边上的中线的长为____ ___．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝ cm．
16．如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，2），则不等式2x －ax－4＜0的解集为___________．
(
A
C
F
E
B
D
第15题
) (
第17题
)
(
第16题
A
O
x
y
)
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B（－3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
18．若直线l1：y＝ax＋b(a≠0)与直线l2：y＝mx＋n (m≠0)的交点坐标为(－2，1)，则直线l3：y＝a(x－3)＋b＋2(a≠0)与直线l4：y＝m(x－3)＋n＋2(m≠0)的交点坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题共有2小题，每小题4分，共8分）
（1）计算：（1） （2） 已知：，求x的值．
20．（本题满分7分）已知：2y－3与3x＋1成正比例，且x＝2时，y＝5，
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a的值 ；
（3）若该函数图象沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后图象与y轴的交点坐标。
21．（本题满分8分）如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．
22．（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，A(2，4)，B(3，1)，C(－2，－1)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△AB C，
(2)△ABC的面积＝___________．
(3)y轴上存在点P(_______)，使AP＋BP最小。
．
23．（本题满分9分）如图，直线l1的解析表达式为y＝－x－1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（2，0），B（－1，3），直线l1与l2交于点C．
（1）求直线l2的函数关系式；．
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请写出点P的坐标．
(
y
x
A
B
O
C
l
1
l
2
D
3
2
－1
)
24．（本题满分9分）某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
25．（本题满分9分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km．当两车均到达各自终点时，运动停止．下图是y与x之间函数关系的部分图像．
（1）由图像知，慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h；
（2）请在图中补全函数图像．
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．
(
图1
图2
图3
)26．（本题满分10分）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．
（1）求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线l1：y＝－x－4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，－6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝－2x＋6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形请直接写出点D的坐标．
