2024-2025学年福建省福州市晋安区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.下列图案分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程，此方程可变形为( )
A. B. C. D.
4.将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是( )
A. B. C. D.
5.下列说法中，正确的是( )
A. 半圆是弧，弧也是半圆 B. 长度相等的弧是等弧
C. 弦是直径 D. 在一个圆中，直径是最长的弦
6.方程的根的情况是( )
A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根 D. 无法确定
7.保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子.该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子.若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x，则根据题意列出的符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
8.如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点C，B，共线，则的度数为( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x 0 1 3 4 5
y
根据表，下列判断正确的是( )
A. 该抛物线开口向上 B. 该抛物线的对称轴是直线
C. 该抛物线一定经过点 D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
10.若点，均在二次函数的图象上点A在点B的左侧，且当时，，则b的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.点关于原点对称的点的坐标是______.
12.方程的解为______.
13.已知方程有一个根是m，则代数的值为______.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为 .
15.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为若，则______.
16.二次函数的图象与x轴交于点A，将该函数图象向右平移个单位后与x轴交于点B，平移前后的函数图象相交于点C，若，则m的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解方程：
18.本小题8分
已知：关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根.
19.本小题8分
已知二次函数，
填空：抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标是______；
列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象.
x ______ ______ ______ ______ ______ ______ …
y ______ ______ ______ ______ ______ ______ …
20.本小题8分
紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图.如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点若，，求这个紫砂壶的壶口半径.
21.本小题8分
如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE，连接CD，
求证：≌；
连接DE，若，求的度数.
22.本小题10分
2024年是甲辰龙年，作为中华民族的重要精神象征和文化符号，龙的形象贯穿文学、艺术等各个领域，呈现了平安幸福的美好寓意.某商店进了一批与龙有关的吉祥物，在销售中发现平均每天可售出30件，每件盈利40元.为迎接“二月二——春龙节”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件吉祥物降价1元，那么平均每天就可多售出3件.要想平均每天销售这种吉祥物盈利1800元，那么平均每件吉祥物应降价多少元.
23.本小题10分
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线，两个不同的点，在抛物线上.
若，求t的值；
若，求t的取值范围.
24.本小题12分
请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中.到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明.我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法.
赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法.首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为
任务：
参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______从序号①②③中选择
请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解写出必要的思考过程
25.本小题14分
在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BP，
如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；
在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：
在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．
参考答案
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】，
13.【答案】2024
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】2
17.【答案】解：，
，
，
，
，
，
18.【答案】证明：
，
该方程总有两个实数根．
19.解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
故答案为：，；
在对称轴两侧分别取一些点，如、、、、、，
在坐标系中描点、连线如图所示：
故答案为：x取值：，，，0，1，2；y取值：0，3，4，3，0，
20.【答案】解：设这个紫砂壶的壶口半径为r，
，，
，
，
，
，
，
，
这个紫砂壶的壶口半径为10，
21.【答案】证明：是等边三角形，
，，
由旋转得，，
，
在和中，
，
≌
解：，，
是等边三角形，
，
≌，
，
，
的度数是
22.【答案】解：设每件吉祥物降价x元，则每件吉祥物的销售利润为元，平均每天可售出件，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，，
又要尽量减少库存，
答：平均每件吉祥物应降价20元．
23.【答案】解：解：由题意得：，
解得：；
由题意得：或，
解得：或
24.解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，
大正方形的面积又可表示为，
大正方形的边长为7，所以，
，
故正确构图②．
故答案为：②；
首先构造了如图2所示的图形，
图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，
所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得
25.【答案】解：补全图形如图1：
如图1，延长BP，QD交于点H，
四边形ABCD是正方形，
，，
将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
；
证明：连接BD，如图2，
线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，
，，
四边形ABCD是正方形，
，，
≌，
，，
在中，，
，
在中，，
又，，
