2024-2025学年沪科新版九年级上册数学期末复习试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）如图，若⊙O的半径为6，圆心到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
3．（4分）下列各式不正确的是（ ）
A．sin260°+cos260°＝1 B．sin30°+cos30°＝1
C．sin30°＝cos60° D．tan45°＞sin45°
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．平分弦的直径垂直于弦
D．直径是同一圆中最长的弦
5．（4分）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
6．（4分）如图，在数学兴趣小组探究活动中，小明要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，他和同学利用工具测得PC＝50米，∠PCA＝α，根据上述测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）
A． 米 B．50sinα米 C． 米 D．50tanα米
7．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，将△ABC绕AB的中点O倾时针旋转α°得到△DFE（0＜α＜45），DF交AC于点M，EF交AB于点N，给出下面三个结论：
①CM＝EN；
②点A，C，E，B四点共圆；
③连接AD，AE，则∠DAE＝45°﹣α°．
上述结论中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（4分）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
9．（4分）已知，且y≤|x|，则x的取值范围是（ ）
A．x≤9
B．x≥﹣6
C．或
D．2≤x≤9或﹣6≤x≤﹣3
10．（4分）如图，点A，C，N的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
11．（3分）已知，则＝ ．
12．（3分）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为2.4，高CD为0.6，则这个轮子的半径长为 ．
13．（3分）将抛物线y＝﹣x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是 ．
14．（3分）如图，矩形△ABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD＝30°，四边形OA'B'D与四边形OABD关于直线OD对称（点A'和A，B'和B分别对应）．若AB＝1，反比例函数的图象恰好经过点A'，B，则k的值为 ．
三．解答题（共9小题）
15．计算：
（1）cos245°+tan30° sin60°；
（2）cos30°tan30°+sin60°tan45°tan60°．
16．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在边长为单位1的小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应；
（2）绕点B顺时针旋转△ABC，使得A点在x轴正半轴上，旋转后的三角形为△A2BC2，画出旋转后的△A2BC2，其中A，C分别和A2，C2对应；
（3）填空：在（2）的条件下，点A所经过的路线长是 ．
17．下列说法正确吗？
如图1，小明说：“因为和A′B′所对的圆心角都是∠O，所以＝．”
如图2，小华说：“因为AB＝CD，所以AB所对的等于CD所对的．”
思考1：两条弧相等是指这两条弧能 ．
思考2：在圆中，一条弦（直径除外）所对的弧唯一吗？
思考3：如图1，大圆的弧和小圆的弧会相等吗？
18．如图，一楼房AB后有一假山，CD的坡度为i＝1：2，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离BC＝24米，与亭子距离CE＝8米，小丽从楼房房顶测得E的俯角为45°．
（1）求点E到水平地面的距离；
（2）求楼房AB的高．
19．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
21．我们把函数图象与x轴的交点称为“微点”，与y轴的交点称为“笑点”．
（1）判断A（m，m+2），是否可能是“微点”？
（2）若抛物线的顶点为直线y＝kx+k（k＞0）的“微点”，且经过直线y＝kx+k（k＞0）和双曲线y＝（k＞0）的一个交点，求抛物线的“笑点”．（用含k的式子表示）
（3）若实数a，b，c，满足a≥b≥c，4a+2b+c＝0且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c有两个“微点”A点和B点，求AB的最大值．
22．如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦 CD⊥AB，连接AC，AD．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若点F是的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．
23．如图，一次函数y＝x+m与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，已知点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）直接写出点B的坐标；
（3）根据图象直接写出当x+m＞时，自变量x的取值范围．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D B D A C D B
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【解答】解：A．此图形不是中心对称图形，不符合题意；
B．此图形是中心对称图形，符合题意；
C．此图形不是中心对称图形，不符合题意；
D．此图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是6，6＝6，
∴圆心O到直线l的距离＝⊙O的半径，
∴直线l与⊙O相切．
故选：A．
3．【解答】解：A、原式＝（）2+（）2＝+＝1，故本选项正确，不符合题意；
B、原式＝+＝≠1，故本选项错误，符合题意；
C、左边＝sin30°＝，右边＝cos60°＝，左边＝右边，故本选项正确，不符合题意；
D、tan45°＝1，sin45°＝，1＞，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
4．【解答】解：半圆是弧，弧不一定是半圆，故A不符合题意；
同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故B不符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C不符合题意；
直径是同一圆中最长的弦，故D符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴＝，
解得a＝或﹣（舍弃），
∴a＝，
故选：B．
6．【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵PC＝50米，∠PCA＝α，
∴tanα＝，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝50 tanα（米）．
故选：D．
7．【解答】解：①△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，将△ABC绕AB的中点O倾时针旋转α°得到△DFE（0＜α＜45），连接CO、EO，如图1：
∴△ABC和△DEF为等腰直角三角形，
由旋转的性质得：AB＝DF，∠DEF＝∠ACB＝90°，
∵O为AB、DF的中点，
∴，，，，CO⊥AB，EO⊥DF，
∴CO＝EO，∠OCM＝∠OEN，
∵CO⊥AB，EO⊥DF，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠DOE＝∠EOF＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝∠COE+∠EON＝90°，
∴∠COD＝∠EON，
在△COM和△EON中，
，
∴△COM≌△EON（ASA），
∴CM＝EN，故①正确；
②∵，，
∴AO＝CO＝EO＝BO，
∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以AO为圆心的圆上，
∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确；
③∵OA＝OD＝OE，
∴A、D、E在以OA为圆心的圆上，
∴，
∴∠DAE≠45°﹣α°，故③错误；
综上分析可知：正确的有①②．
故选：A．
8．【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故选：C．
9．【解答】解：当x≥0时，得y﹣x≤0，即（x2﹣11x+18）≤0，解得：2≤x≤9；
当x＜0时，得y+x≤0，即（x2+9x+18）≤0，解得：﹣6≤x≤﹣3，
综上可得：2≤x≤9或﹣6≤x≤﹣3，
故选：D．
10．【解答】解：如图1，连接CM，OM，
∵A（﹣2，0），C（2，0），
∴AC＝4，O是AC的中点，
∵M是QP的中点，
∴CM⊥QP，
∴∠AMC＝90°，
∴OM＝AC＝2，
∴点M在以O为圆心，以2为半径的⊙O上，
如图2，当O、M、N三点共线时，MN有最小值，
∵N（4，3），
∴ON＝＝5，
∵OM＝2，
∴MN＝ON﹣OM＝5﹣2＝3，
∴线段MN的最小值为3，
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
11．【解答】解：∵已知，
∴＝+2＝+2＝．
故答案为：．
12．【解答】解：连接OA，如图，设这个轮子的半径长为r，
∵CD为弓形高，
∴O点在CD的延长线上，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝1.2，
在Rt△OAD中，∵OD＝r﹣0.6，AD＝1.2，OA＝r，
∴（r﹣0.6）2+1.22＝r2，
解得r＝1.5，
即这个轮子的半径长为1.5．
故答案为：1.5．
13．【解答】解：∵点A抛物线y＝﹣x2上，
∴设A点的坐标为（m，﹣m2），
∵△AOB是等边三角形，
∴B（2m，0），m＝m2，
∴m＝或m＝0（舍去），
∴B（2，0），
故答案为：（2，0）．
14．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，AB＝1，
∴设B（m，1），
∴OA＝BC＝m，
∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，
∴OA′＝OA＝m，∠A′OD＝∠AOD＝30°，
∴∠A′OA＝60°，
过A′作A′E⊥OA于E，
∴OE＝m，A′E＝m，
∴A′（m， m），
∵反比例函数的图象恰好经过点A′，B，
∴m m＝m，
∴m＝，
∴k＝．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
15．【解答】解：（1）原式＝（）2+×
＝+
＝1；
（2）原式＝×+×1×
＝+
＝2．
16．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2BC2即为所求；
（3）根据弧长公式可知：
点A所经过的路线长是：＝π．
故答案为：．
17．【解答】解：小明的说法不正确，小华的说法不正确；
思考1：两条弧相等是指这两条弧能重合；
故答案为：重合；
思考2：在圆中，一条弦（直径除外）所对的弧不唯一，有两条，一条是劣弧，一条是优弧；
思考3：如图1，大圆的弧和小圆的弧不会相等．
18．【解答】解：（1）过点E作EF⊥BC的延长线于F，
在Rt△CEF中，
∵CD的坡度为i＝1：2，CE＝8米，
∴i＝＝，
∴CF＝2EF，
∵EF2+CF2＝CE2，
∴EF2+（2EF）2＝（8）2，
∴EF＝8（米），CF＝16（米），
答：点E到水平地面的距离为8米；
（2）过E作EH⊥AB于点H，
则BH＝EF＝8米，
由题意得：HE＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），
在Rt△AHE中，∠HAE＝45°，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴AH＝HE＝40（米），
∴AB＝AH+HB＝40+8＝48（米）．
答：楼房AB的高为48米．
19．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝∠BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6，OD＝BD＝DF＝2，
∴阴影部分的面积＝AD BD+＝+2π＝3+2π．
20．【解答】解：（1）对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6﹣t．
当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6﹣t＝2t，
解得：t＝2（s），
所以，当t＝2s时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当 QA：AB＝AP：BC时，△QAP∽△ABC，那么有：
（ 6﹣t）：12＝2t：6，解得t＝＝1.2（s），
即当t＝1.2s时，△QAP∽△ABC；
②当 QA：BC＝AP：AB时，△PAQ∽△ABC，那么有：
（ 6﹣t）：6＝2t：12，解得t＝3（s），
即当t＝3s时，△PAQ∽△ABC；
所以，当t＝1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
21．【解答】解：（1）A点可能是“微点”，B点不可能是“微点”；理由如下：
∵A（m，m+2），
∴当m+2＝0时，m＝﹣2，此时A（﹣2，0），
故A点可能是“微点”，
∵，
∴当n＝0时，不存在，
故B点不可能是“微点”．
（2）令y＝kx+k（k＞0）的y＝0，得x＝﹣1，
∴y＝kx+k的“微点”为（﹣1，0），
设抛物线解析式是：y＝a（x+1）2，
，
解得：x1＝2，x2＝﹣3，
∴交点为（2，3k）和（﹣3，﹣2k）；
①若抛物线经过（2，3k），
a（2+1）2＝3k，
得：，
∴抛物线为，“笑点”为；
②若抛物线经过（﹣3，﹣2k），
a（﹣3+1）2＝﹣2k，
得：，
∴抛物线为，“笑点”为，
综上，抛物线的“笑点”为或．
（3），
∵4a+2b+c＝0，
∴c＝﹣（4a+2b），
∴，
∵a≥b，
∴，
∴AB有最大值为5．
22．【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵OC＝OB，点E为OB的中点，
∴OE＝OB＝OC，
在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，
∴∠COE＝60°，
∴∠CAE＝∠COE＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE＝30°，
∴∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
（2）解：由（1）可知：△ACD是等边三角形，∠CAE＝30°，
∴∠D＝60°，
∵点F为弧AC的中点，
∴∠CAF＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OB＝2，
∵点E为OB的中点，
∴OE＝1，
∴AE＝OA+OE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，cos∠CAE＝，
∴AC＝＝＝，
在Rt△ACG中，AC＝，∠CAF＝30°，
∴CG＝AC＝．
23．【解答】解：（1）将A（2，1）分别代入一次函数y＝x+m与反比例函数y＝，
可得，1＝2+m，1＝，
解得：m＝﹣1，k＝2；
（2）将两函数联立得：，
解得：或，
∴B点坐标为：（﹣1，﹣2）；
（3）观察图象，当x+m＞时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜0和x＞2．
