上海市华育中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题
一、选择题（共6题，24分）
1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ）
A B. C. D.
2. 二次函数的图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（ ）海里．
A. B. C. D.
4. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项调整成时，由于比例改变，画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域 （ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在△中，于点，于点，为边的中点，连接、、，则下列结论：①；②；③；④若°，则△为等边三角形；⑤若°，则．正确的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（共12题，48分）
7. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，即，若，那么的长为_____．
8. 如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是________．
9. 已知二次函数图象过点，则用“”把连接起来为：______________．
10. 如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是___________．
11. 已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为：______________．
12. 如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为4，则四边形的面积为___________．
13. 如图，，且．点是线段上一动点，过点作的垂线，交射线于点，则的长的最大值是__________．
14. 如图，已知△，延长到，使．取的中点，连接交于点．，，则的长是__________．
15. 如图，在中，， 中，，已知，交于点，为上一点，且．当时，则线段的长度是___________．
16. 如图，已知△中，°，，是上一动点，，交于，将四边形沿向上翻折，得四边形，与、分别交于点、．则梯形的面积的最大值是__________．
17. 如图，垂直外角角平分线于D点，过D作的垂线，交延长线于点E，连接交于点F，，那么的长为________．
18. 在等腰△中，，，是平面内任意一点，连接，当时，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，取的中点，连接．当三点共线时，的长度为___________．
三、解答题（，共78分）
19. 计算：
20. 如图，已知在中，，点D在边上，，．
（1）求的长；
（2）连接，设，，试用表示．
21. 在△中，，边上的高，沿图中线段、将△剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形，如图1所示．请你解决如下问题：
已知：如图2，在△中，边上的高．请你设计两种不同的分割方法，将△沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形，并说明分割线的做法与拼接方法．
22. 海岱楼钟书阁位于山东省淄博市张店区齐盛湖公园，是钟书阁全国单体面积最大连锁店和唯一建于独栋建筑的文化综合体，似一颗璀璨的明珠，俯瞰淄博大地的日新月异．某校数学“综合与实践”小组在测量海岱楼钟书阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 海岱楼钟书阁
测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点处垂直上升至点，此时测得海岱楼钟书阁的顶端的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点，此时测得海岱楼钟书阁的端的俯角．
测量示意图
请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出海岱楼钟书阁的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
23. 如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
24. 已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点为坐标原点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是线段上一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 如图，在Rt△中，°，以为边在△外部作等边三角形和等边三角形，且连接．
（1）如图1，连接，求证：△≌△；
（2）如图2，延长交线段于点．
①点为线段中点时，求值；
②如图3，以为边在下方作等边三角形，当点在△的边上时，求的值．
上海市华育中学2024-2025学年九年级上学期12月月考
数学试题 简要答案
一、选择题（共6题，24分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
二、填空题（共12题，48分）
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】##米
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】4
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】8
【17题答案】
【答案】1
【18题答案】
【答案】
或．
三、解答题（，共78分）
【19题答案】
【答案】
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【21题答案】
【答案】略
【22题答案】
【答案】
【23题答案】
【答案】（1）略 （2）略
【24题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）或
【25题答案】
【答案】（1）略 （2）①；②或
