专题训练(十二) 反比例函数与几何图形的综合应用
类型一 反比例函数与三角形的综合应用
1. 如图12-ZT-1,△OAB 是等边三角形,且OA在x 轴上，B是反比例函数 的图象上的点，则△OAB 的周长为 ( )
C.9 D.8
2. 如图12-ZT-2,点A 在反比例函数 0)的图象上，点B 在反比例函数 的图象上，连接 AB，AB 与y 轴交于点C，且AB∥x轴,BC=2AC,D 是x 轴正半轴上一点,连接AD,BD,则△ABD·的面积为( )
A.3 B. C. D.
3. 如图12-ZT-3，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边 BC⊥x轴于点 B，直角顶点A在y轴上，双曲线 经过AC边的中点 D，若 则k= .
4. 如图12-ZT-4,平面直角坐标系中,△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形,且∠A=∠C=90°,点 B,D都在x轴上,点 A,C都在反比例函数 的图象上，则点C的横坐标为 .
5.如图12-ZT-5,已知直线y=x+b与反比例函数 的图象交于点A(2,3),与y轴交于点 B,过点 B作x轴的平行线交反比例函数 的图象于点 C.
(1)求直线 AB 和反比例函数的表达式；
(2)求△ABC的面积.
6. 如图 12-ZT-6,反比例函数 (k为常数,k≠0)与正比例函数y= mx(m为常数,m≠0)的图象交于 A(1,2),B两点.
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴上有一点C(0,n),△ABC的面积为4，则点 C的坐标为 .
类型二 反比例函数与四边形的综合应用
7. 如图12-ZT-7,已知正方形ABCD的面积为 9.它的两个顶点 B，D是反比例函数 的图象上两点,AB,CD与x 轴平行,若点 D 的坐标是(m,n),则m--n的值为
( )
A.3 B.—3 C.
8.如图12-ZT-8,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y= kx+2与x,y轴分别相交于点A，B，与反比例函数 的图象相交于点 C,已知OA=1,点 C 的横坐标为2.
(1)求k,m的值;
(2)平行于 y轴的动直线与l 和反比例函数的图象分别交于点 D,E,若以 B,D,E,O为顶点的四边形为平行四边形，求点 D 的坐标.
9. 如图 12-ZT-9,在矩形 ABCO 中,AB=2,BC=4,D是边AB 的中点,反比例函数. 的图象经过点 D，交 BC 于点E.
(1)求k 的值及直线DE 的表达式；
(2)在x轴上找一点 P,使△PDE 的周长最小，求此时点 P 的坐标；
(3)在(2)的条件下,求△PDE 的面积.
1. A
2. C [解析] 设点 A 的坐标是(m,n).
∵点 A 在反比例函数 的图象上，∴mn=3.
∵AB∥x轴,BC=2AC,点 B在反比例函数y= 的图象上，
∴点 B的坐标为(-2m,n).
∵D是x轴正半轴上一点，
∴△ABD的面积
故选C.
[解析] ∵△ABC 是等腰直角三角形，BC⊥x轴,∴∠ABO=90°--∠ABC=90°-
∴△AOB 是等腰直角三角形，
∵D为AC边中点,
将点 D的坐标代入反比例函数表达式，得k= 故答案为
[解析] 如图，过点A作AE⊥x轴于点E,过点 C作CF⊥x轴于点 F.
∵△OAB 是等腰直角三角形,∴OE=AE=BE.
设OE=m,则点 A(m,m),点 B(2m,0).
∵点 A 在反比例函数 (x>0)的图象上, 解得 (舍去),
∴点 B(2,0).
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF.
设 BF=n,则点 C(2+n,n).
∵点C在反比例函数 的图象上，
解得 (舍去),
故答案为
5. 解:(1)∵直线y=x+b与反比例函数 0)的图象交于点 A(2,3),
∴直线AB的表达式为y=x+1，反比例函数的表达式为
(2)令x=0,则y=x+1=1,∴B(0,1).
把y=1代入 解得x=6,
∴C(6,1),∴BC=6,
∴△ABC的面积
6. 解:(1)将点 A(1,2)代入 得k=2,∴反比例函数的表达式为
将点A(1,2)代入 y= mx,得m=2,
∴正比例函数的表达式为 y=2x.
(2)解方程组
∴点 B 的坐标为(--1,-2).
如图，过点 A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F.
∵A(1,2),B(--1,--2),C(0,n),
∴AE=BF=1,OC=|n|.
即|n|×1+|n|×1=8,
∴|n|=4,∴n=±4,
∴点C的坐标为(0,4)或(0,-4).
7. B [解析] ∵正方形 ABCD的面积为9,∴AB=AD=3.
∵点 D 的坐标是(m,n),
∴易得点 B的坐标是(m+3,n--3).
∵B，D是反比例函数 的图象上两点，
∴mn=(m+3)(n-3),∴m--n=-3.
故选 B.
8. 解:(1)∵OA=1,∴A(-1,0).
∵直线y= kx+2经过点A(--1,0),
∴0=-k+2,解得k=2,
∴直线l的表达式为y=2x+2.
∵点C的横坐标为2，
∴y=2×2+2=6,∴C(2,6).
∵反比例函数 的图象经过点 C，
∴m=2×6=12.
(2)由(1)得反比例函数的表达式为
令x=0,则y=2x+2=2×0+2=2,∴点 B(0,2).
设点 D(a,2a+2),则点E(a,
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴DE=OB=2,
整理得 或
由 得
整理得 解得
∴点
由 得
整理得
解得
∴点
综上，点D 的坐标为 或
9. 解:(1)∵AB=2,BC=4,
∴B(4,2).
又∵D是边AB 的中点，
∴D(4,1),∴k=4,
∴反比例函数的表达式为
∵E为BC 上一点,得yE=2,
∴E(2,2).
设直线 DE 的表达式为 将D(4,1),E(2,2)代入,得
解得
∴直线 DE的表达式为
(2)点 D(4,1)关于x轴的对称点为D'(4,--1),连接D'E 交x 轴于点 P,此时△PDE 周长最小，如图.
设直线 D'E的表达式为 将 D'(4,—1),E(2,2)代入,得 解得
∴直线 D'E 的表达式为
∴直线 D'E 与x轴的交点为
∴△PDE 的周长最小时,
(3)直线 DE的表达式为 设其与x轴的交点为Q，如图.当 可得x=6,∴Q(6,0).
又∵D(4,1),E(2,2),
