首都师大附中2024-2025学年第一学期阶段性练习
初三数学
第I卷（共24分）
一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 甲城市有两个景点A，B，乙城市有三个景点C，D，E，从中随机选取一个景点游览，该景点恰好在甲城市的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，点A，B，C在上，的切线交的延长线于D，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 将一根长为的铁丝剪成两段，每段分别围成正方形，它们面积之和等于．设一个正方形的边长为，可列得的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随体积V（单位：立方米）的变化情况如下表所示．那么在这个温度下，当时，V的取值范围是（ ）
V … 64 48 38.4 32 24 …
p … 1.5 2 2.5 3 4 …
A. B. C. D. 且
6. 如图，已知是的直径，半径，D是的中点，若过点D的弦平行于，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 平面直角坐标系中，过点作平行于轴的直线，分别交抛物线和双曲线于点M，N，则满足的n的值有（ ）个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 如图，点E在正方形内，将绕点旋转得到，点F恰好落在的延长线上．连接并延长交于点G．下列结论一定成立的是（ ）
①；
②是等腰直角三角形；
③当为时，G为的中点．
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
第Ⅱ卷（共76分）
二、填空题（共18分，每空2分）
9. 已知点，B在反比例函数的图象上，请写出一个点B的坐标______．
10. 已知方程的一个根为2，则的值为______．
11. 如图，中，，，．点在上，将点B绕点O逆时针旋转与点C重合，点B经过的路径长为_____．
12. 如图，是的直径，D在弦的延长线上，．的延长线交于点E，若，则的度数为_____．
13. 不透明的袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球（没有粉色），实验小组向其中投入10个除颜色外无其他差别的粉色小球．摸出一个球，记录颜色，放回混合均匀，再摸出一个球，记录颜色，重复多次，发现摸到粉色小球的频率稳定在0.02附近，可以估计袋子中原来有______个小球．
14. 如图，二次函数图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是________．
15. 如图，已知，的半径为2，点C在上，连接．并将线段绕点A顺时针旋转得到线段．当点C在上运动时，点D到直线距离的最大值是________．
16. 在平面直角坐标系中，已知点和点，点A在反比例函数的图象G上．
（1）若点B在图象G的下方，a______b（填写“>”，“=”或“<”）；
（2）若点B也在图象G上，且图象G上点A，B之间的部分与线段，能够围成一个封闭区域M，M（不包括边界）中没有横纵坐标都是整数的点，则k的取值范围是_______．
三、解答题（共58分，第17-20题，每题5分；21-24题，每题6分；第25-26题，每题7分）
解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17 解方程：．
18. 已知a是方程的一个根，求代数式的值．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m取值范围．
20. 如图，中，，D是边上一点，把点D绕点A逆时针旋转得到点E，且点E在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）求证：．
21. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式，并在下面平面直角坐标系中画出函数图象；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于反比例函数且大于的值，直接写出a的取值范围．
22. 在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b．
（1）先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率：
（2）若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案．
23. 如图，四边形内接于，为直径，过点A作垂直交其延长线于点E，平分．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求的长．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，点，在抛物线上．
（1）当时，，直接写出取值范围；
（2）若，且，当时都有，求的取值范围．
25. 已知点O在直线上，线段的端点分别在直线的两侧，，将线段绕点A逆时针旋转，点B的对应点C落在射线上．
（1）如图1，，在上取一点G，使得，求证：；
（2）如图2，在外作，且使得，连接．
①补全图形；
②用等式表示与的数量关系，并证明．
26. 在平面直角坐标系中，对于点，和图形，若图形上存在点使得，则称图形与“关联”
（1）已知，，以下列各点为中心，作边长为正方形，若与“关联”，则这个中心可能是 ．
①；②；③．
（2）如图，已知直线：．
①已知，在直线上运动，且点在点左侧．设直线与轴，轴分别交于，两点，若线段与“关联”，其中，求点横坐标的取值范围；
②已知，．长度为的线段在上，以上任意一点为圆心作半径为的圆，对每一个圆总存在使之与既是“关联”又是“关联”但不是“关联”，直接写出的取值范围．
首都师大附中2024-2025学年第一学期阶段性练习
初三数学 简要答案
第I卷（共24分）
一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
第Ⅱ卷（共76分）
二、填空题（共18分，每空2分）
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】1
【11题答案】
【答案】##
【12题答案】
【答案】##度
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】 ①. ②.
三、解答题（共58分，第17-20题，每题5分；21-24题，每题6分；第25-26题，每题7分）
解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．
【17题答案】
【答案】，
【18题答案】
【答案】23
【19题答案】
【答案】（1）略 （2）
【20题答案】
【答案】（1）略 （2）略
【21题答案】
【答案】（1），函数图象略
（2）
【22题答案】
【答案】（1）
（2）不公平，理由略；将标有数字1的小球改成4，理由略
【23题答案】
【答案】（1）略 （2）
【24题答案】
【答案】（1）
（2）
【25题答案】
【答案】（1）略 （2），证明略
【26题答案】
【答案】（1）①③ （2）①；②
