2024-2025学年北师大数学九下 第1章 直角三角形的边角关系
一、选择题
的值等于
A． B． C． D．
在 中，， 都是锐角，且 ，，则 的形状是
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
如图，在 中，，，，则 的长是
A． B． C． D．
如图，矩形 的四个顶点分别在直线 ，，， 上．若直线 且间距相等，，，则 的值为
A． B． C． D．
如图，在网格中，小正方形的边长为 ，点 ，， 都在格点上，则 的正切值是
A． B． C． D．
如图，某地修建高速公路，要从 地向 地修一条隧道（点 ， 在同一水平面上）．为了测量 ， 两地之间的距离，一架直升飞机从 地出发，垂直上升 米到达 处，在 处观察 地的俯角为 ，则 ， 两地之间的距离为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
如图，在 中，，点 在 上，．若 ，，则 的长度为
A． B． C． D．
如图，港口 在观测站 的正东方向，，某船从港口 出发，沿北偏东 方向航行一段距离后到达 处，此时从观测站 处测得该船位于北偏东 的方向，则该船航行的距离（即 的长）为 ．
A． B． C． D．
如图，，， 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 ，则 的值为
A． B． C． D．
如图，一块矩形木板 斜靠在墙边（，点 ，，，， 在同一平面内）．已知 ，，，则点 到 的距离等于
A． B．
C． D．
二、填空题
已知 为锐角，且 ，则 ．
已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 ，如果它把物体送到离地面 米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．（结果保留根号）
如图，已知 ，点 在边 上，，点 ， 在边 上，，如果 ，那么 ．
某风景区改造中，需测量湖两岸游船码头 ， 间的距离，设计人员由码头 沿与 垂直的方向前进了 米到达 处（如图），测得 ，则这两个码头间的距离 米．
某旅游风景管理区为了方便游客，计划修一条缆车道，缆车行驶路线（从 ）及相关数据如图所示，则缆车行驶路线长为 ．
在 中，，点 为直线 上一点，且 ，直线 与直线 所夹锐角的正切值为 ，并且 ，则 的长为 ．
三、解答题
求下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
如图，在 中，，点 在 上，，垂足为 ，，．
(1) 求 的值；
(2) 当 时，求 的长．
已知：如图，在 中，，，，，垂足为点 ， 是 的中点，连接 并延长，交边 于点 ．
(1) 求 的余切值；
(2) 求 的值．
如图，一段河坝的横断面为梯形 ，试根据图中数据求坡角 和坝底宽 ．（单位：米，结果保留根号）
已知：如图，在 中，，，延长 至点 ，使 ．
(1) 求 和 ；
(2) 求 和 ；
(3) 请用类似的方法求 ．
如图，在东西方向的海岸线 上有一长为 千米的码头 ，在码头西端 的正西方向 千米处有一观察站 ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 的北偏西 方向，且与 相距 千米的 处；经过 分钟，又测得该轮船位于 的正北方向，且与 相距 千米的 处．（参考数据：，）
(1) 求该轮船航行的速度；
(2) 如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 靠岸？请说明理由．
如图，游客从旅游景区山脚下的地面 处出发，沿坡角 的斜坡 步行 至山坡 处，乘直立电梯上升 至 处，再乘缆车沿长为 的索道 至山顶 处，此时观测 处的俯角为 ，索道 看作在一条直线上．求山顶 的高度（结果精确到 ，参考数据：，，）．
答案
一、选择题
1. D
2. B
3. D
4. A
5. B
6. D
7. C
8. C
9. B
10. D
二、填空题
11.
12.
13.
14.
15.
16. 或
三、解答题
17.
(1) ；
(2) ．
18.
(1) ．
(2) ．
19.
(1) ，
，
在 中，，，
，
，
是 的中点，
，
在 中，，即 的余切值是 ．
(2) 过点 作 ，交边 于点 ，
，，
，
，
，
是 的中点，，
，
．
20. 由图可知：，
在 中，
，，
，
，
解得 ．
，即 ，
解得 ．
．
21.
(1) ，．
(2) ，．
(3) ．
22.
(1) 过点 作 延长线 于点 ．
由题意，得
千米， 千米，．
（千米）．
在 中，
（千米）．
（千米）．
在 中，
（千米）．
轮船航行的速度为：（千米 / 时）．
(2) 如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头 靠岸．
理由：延长 交 于点 ．
（千米），．
，
．
在 中，
（千米）．
，
该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头 靠岸．
23. 过点 ， 分别作 ，，垂足分别为 ，，延长 交 于点 ，
则四边形 ， 是矩形．
由题意可知，，，．
在 中，，，
．
在 中，，，
（）．
（）．
答：山顶 的高度约为 ．
