专项复习提升（三） 轴对称
考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质
1．（2024山西晋中·期末）文旅标识不仅仅是一个简单的图案或标志，更承载着文化、历史、民俗等深厚的内涵．以下是山西四个地市的文旅标识，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024山西忻州·期末）下列选项中的两张纸条（数据为纸条的宽度）叠放在一起后，重叠部分为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024山西临汾·期末）初一七年级数学下册阅读材料中，有这样一段话：（对称的），：，请根据材料回答下列问题：（ ）
A． B． C． D．
4．（2024山西阳泉·期末）已知点A的坐标为，则点A关于轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．平分 D．垂直平分
6．（2024山西太原十中·期末）区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，阅读交流，要使A，两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024山西晋中·期末）如图，中，，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024山西太原·期末）如图，在中，点D，E分别是边上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024山西晋中·期末）剪纸艺术是我国非物质文化遗产之一．某中学开设了剪纸兴趣班，用实际行动传承我国的文化遗产．兴趣班的小磊将剪纸作品置于如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，那么点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（ ）
A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直
11．（2024山西阳泉·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
(1)在图中画出关于直线成轴对称的；
(2)求的面积；
(3)在直线上找一点，使的长最短，请在图中标出点的位置．
12．（2024山西晋中·期末）为改善一线环卫工人的工作环境，某社区服务中心计划修建一个“爱心驿站”，请你帮忙确定“爱心驿站P”所在的位置，要求：
①“爱心驿站”到公路和的距离相等；
②“爱心驿站”到两个小区M，N的距离相等；
③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
13．（2024山西太原·期末）【问题背景】某校在科技节中举办“纸飞机”大赛，小林设计的“纸飞机”中包含特殊的几何图形，并且图形中的元素存在特殊关系，较好地应用所学数学知识，因此，获得一等奖．下面是他对自己设计理念中两个特点的描述，请仔细阅读并完成相应的任务．
特点一：如图是该“纸飞机”中平面图形的一部分，它是以所在直线为对称轴的轴对称图形．
【任务一】现已画出该轴对称图形的一半图稿，请你利用尺规根据作全等三角形的思路作，其中点B的对应点为点D．
（不写作法，保留作图痕迹）
特点二：在上图中延长交于点E，此时且．（在试卷中画出草图即可）
， 是的垂直平分线．， ．（依据：①）， ，， ．点E为的中点， ．， ．（依据：②
【任务二】根据上面的性质，小明发现与相等，并写出他的探究思路，请认真阅读并填写依据．
依据①_______________________________；
依据②___________________________．
考点二 等腰三角形
1．（2024山西晋中·期末）如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点D，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（ ）
A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一”
C．勾股定理 D．垂线段最短
2．（2024山西太原·期末）如图，在中，点D，E分别是边上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024山西太原十中·期末）如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024山西大同·期末）如图，等边的边长为12，点是上一点，于点于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024山西阳泉·期末）如图，已知是等边三角形，中线，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024山西大同·期末）用两个含的三角尺按照如图所示的方式放在水平桌面上（点在一条直线上），则和大小关系是（）
A．
B．
C．
D．无法确定
7．（2024山西晋中·期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度 ．
8．（2024山西太原·期末）如图，在中，，点D是上一点，将沿折叠得到，连接交于点F．若，的度数为，则的度数为 （用含的代数式表示）．
9．（2024山西临汾·期末）如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， ．
10．（2024山西晋中·期末）如图，在中，，，且，现将其沿折叠后，点恰好与点重合，若点是折痕上的一点，点是的中点，连接，．则周长的最小值是 ．
11．（2024山西晋中·期末）将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，，则 ．
12．（2024山西吕梁·期末）如图，在中，以点A为旋转中心，将逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ．
13．（2024山西阳泉·期末）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
14．（2024山西运城·期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．
15．（2024山西阳泉·期末）如图，在中、的垂直平分线分别交，于点．若是等边三角形，．则 ．
16．（2024山西晋中·期末）如图，点在同一条直线上，平分．求证：．
17．（2024山西忻州·期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形，证明：BD=CE．
18．（2024山西太原·期末）综合与探究
【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知，，连接，射线与线段交于点M，并思考点M是否是线段的中点．
【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段的中点，请你说明理由；
【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，的长为半径作弧交射线于点G，则，……，请你按照小明的思路说明点M是线段的中点；
【变式探究】（3）智慧小组继续改变的位置进行探究，且点E始终在直线的上方．若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．
参考答案
考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质
1．【答案】B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可．
【详解】解：A．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图案是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故此题答案为B．
2．【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念即可求解．在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．
【详解】解：A、重叠部分为三角形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、因为两张纸条对边平行，所以重叠部分为平行四边形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、重叠部分为梯形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、因为两张纸条对边平行，且宽度都是2，所以重叠部分为菱形，是轴对称图形，故本选项符合题意．
故此题答案为D．
3．【答案】C
【分析】理解的对称轴的位置即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：是轴对称，对称轴是一条水平的直线；
∴也是轴对称；
故此题答案为C
4．【答案】D
【分析】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律（关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案；根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．）是解题的关键．
根据坐标的变化规律解答即可．
【详解】解：点A的坐标为关于 x 轴的对称点坐标为．
故此题答案为：D．
5．【答案】D
【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴，
A． ∵与是一组对应边，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵与是一组对应角，
∴，故此选项不符合题意；
C．∵与是一组对应角，
∴平分，故此选项不符合题意；
D．∵直线是对称轴，
∴垂直平分，故此选项符合题意．
故此题答案为D．
6．【答案】C
【详解】解：依题意，作A关于街道所在直线的对称点，连接交街道所在直线于点，
故此题答案为C．
7．【答案】B
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到，再由三角形外角的性质得到，根据等边对等角即可得到结论．
【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D．
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
故此题答案为B．
8．【答案】A
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，则．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为A．
9．【答案】C
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
【详解】解：由题意得，点A和点B关于y轴对称，
∵点A的坐标是 ，
∴点 的坐标是 ，
故此题答案为C．
【知识归纳】若有点（a，b），则
（1）其关于x轴的对称点为（a，-b）；
（2）其关于y轴的对称点为（-a，b）；
（3）其关于原点的对称点为（-a，-b）.
10．【答案】D
【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格，
∴线段与线段的关系是平分且垂直，
故此题答案为D
11．【答案】(1)见解析
(2)的面积为
(3)见解析
【分析】此题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线．解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用割补法即可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所作的三角形；
（2）解：的面积为；
（3）解：如图，点即为所标出的点．
12．【答案】作图见解析
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等．
【详解】解：作的角平分线与线段的垂直平分线，交于点，
∵是的角平分线，点在上，
∴点到和的距离相等，
∵垂直平分，点在上，
∴点到点M，N的距离相等，
则点即为所作．
13．【答案】任务一：见解析；任务二：依据①：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；依据②：等边对等角；
【分析】任务一：如图所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求；
任务二：根据已给推理过程结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明即可．
【详解】解：任务一：如图所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求；
任务二：，
，
，
，
点E为的中点，
，
是的垂直平分线．
（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
．
．（等边对等角）
考点二 等腰三角形
1．【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质“三线合一”解答即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故此题答案为B．
2．【答案】A
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，则．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为A．
3．【答案】B
【分析】先根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵于F，交于点E，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为B．
4．【答案】B
【分析】此题考查等边三角形的性质，角平分线的判定，直角三角形的性质．
先证明是的平分线，再由等边三角形“三线合一”得，和，从而得，再根据含30度的直角三角形的性质求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴是的平分线，
∵等边的边长为12，
∴，，
∴
∴．
故此题答案为B．
5．【答案】B
【分析】首先利用等边三角形的性质可以求出、，然后利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：是等边三角形，
，
中线，交于点，
∴，
∴，故B正确．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．
6．【答案】B
【分析】该题主要考查了三角板中的角度计算问题，解题的关键是掌握三角板的基本性质；
根据三角板的特征确定，从而计算和即可；
【详解】根据三角板的特征可知，，
因为，
所以，，
故此题答案为：B．
7．【答案】40
【分析】根据题意，得，结合，得到，结合平角定义计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
∵，
∴，
∴
8．【答案】/
【分析】先由等边对等角推出，再由三角形外角的性质得到，根据折叠的性质得到，则．
【详解】解：∵在中，，的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴
9．【答案】
【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，
由对称性知：，，
，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
此时
10．【答案】
【分析】连接,，根据折叠的性质及垂直平分线的性质得，则，继而得到，推出周长的最小值是，根据等腰三角形的三线合一性质得，，进一步根据三角形的面积公式得出，即可得解
【详解】解：连接,，
∵将沿折叠后，点恰好与点重合，若点是折痕上的一点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
当点,,三点共线时，取“”，此时取得最小值，即周长的最小值是，
∵，，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值是．
11．【答案】
【详解】解：过等腰直角三角形的一个点作的平行线，如图所示：
，
∵该直角板为等腰直角三角板，
∴另外两个角度为，
∵，
∴，
即，
∴.
12．【答案】/39度
【分析】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质；掌握旋转的性质，是解题的关键．
根据旋转的性质，得到，，利用等边对等角，进行计算即可．
【详解】解：根据旋转的性质，可得：
，，
故此题答案为：．
13．【答案】144°．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故此题答案为：144°．
【关键点拨】此题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
14．【答案】/
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解．
【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，
∴大正方形面积，
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即
故此题答案为：．
【关键点拨】此题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
15．【答案】24
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到． 根据垂直平分线的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得，从而可得答案．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为：．
16．【答案】证明见解析
【分析】此题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，平行线的判定，角平分线的定义等等，先根据等边对等角和角平分线的定义得到，，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．【答案】见解析
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE．
【详解】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD=CE
【关键点拨】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答此题的关键．
18．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）或或
【分析】（1）利用三角形全等的性质得到，易证是等腰三角形，由，根据等腰三角形三线合一即可证明；
（2）由等腰三角形的性质可得，，进而证明，证明，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可．
【详解】证明：，
，
是等腰三角形，
，
，
点E是线段的中点，即点M是线段的中点；
（2）如图，
，
，
，
，
，
，
在与中，
点M是线段的中点；
（3）当时，如图，
，
，即点E点M重合，
，
，
，
，
；
当时，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，为等腰三角形时，的角度为或或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质
1．（2024山西晋中·期末）文旅标识不仅仅是一个简单的图案或标志，更承载着文化、历史、民俗等深厚的内涵．以下是山西四个地市的文旅标识，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可．
【详解】解：A．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图案是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故此题答案为B．
2．（2024山西忻州·期末）下列选项中的两张纸条（数据为纸条的宽度）叠放在一起后，重叠部分为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念即可求解．在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．
【详解】解：A、重叠部分为三角形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、因为两张纸条对边平行，所以重叠部分为平行四边形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、重叠部分为梯形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、因为两张纸条对边平行，且宽度都是2，所以重叠部分为菱形，是轴对称图形，故本选项符合题意．
故此题答案为D．
3．（2024山西临汾·期末）初一七年级数学下册阅读材料中，有这样一段话：（对称的），：，请根据材料回答下列问题：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】理解的对称轴的位置即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：是轴对称，对称轴是一条水平的直线；
∴也是轴对称；
故此题答案为C
4．（2024山西阳泉·期末）已知点A的坐标为，则点A关于轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律（关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案；根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．）是解题的关键．
根据坐标的变化规律解答即可．
【详解】解：点A的坐标为关于 x 轴的对称点坐标为．
故此题答案为：D．
5．（2024山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．平分 D．垂直平分
【答案】D
【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴，
A． ∵与是一组对应边，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵与是一组对应角，
∴，故此选项不符合题意；
C．∵与是一组对应角，
∴平分，故此选项不符合题意；
D．∵直线是对称轴，
∴垂直平分，故此选项符合题意．
故此题答案为D．
6．（2024山西太原十中·期末）区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，阅读交流，要使A，两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意，作A关于街道所在直线的对称点，连接交街道所在直线于点，
故此题答案为C．
7．（2024山西晋中·期末）如图，中，，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到，再由三角形外角的性质得到，根据等边对等角即可得到结论．
【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D．
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
故此题答案为B．
8．（2024山西太原·期末）如图，在中，点D，E分别是边上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，则．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为A．
9．（2024山西晋中·期末）剪纸艺术是我国非物质文化遗产之一．某中学开设了剪纸兴趣班，用实际行动传承我国的文化遗产．兴趣班的小磊将剪纸作品置于如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，那么点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
【详解】解：由题意得，点A和点B关于y轴对称，
∵点A的坐标是 ，
∴点 的坐标是 ，
故此题答案为C．
【知识归纳】若有点（a，b），则
（1）其关于x轴的对称点为（a，-b）；
（2）其关于y轴的对称点为（-a，b）；
（3）其关于原点的对称点为（-a，-b）.
10．（2024山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（ ）
A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直
【答案】D
【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格，
∴线段与线段的关系是平分且垂直，
故此题答案为D
二、解答题（本大题共3小题）
11．（2024山西阳泉·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
(1)在图中画出关于直线成轴对称的；
(2)求的面积；
(3)在直线上找一点，使的长最短，请在图中标出点的位置．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为
(3)见解析
【分析】此题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线．解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用割补法即可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所作的三角形；
（2）解：的面积为；
（3）解：如图，点即为所标出的点．
12．（2024山西晋中·期末）为改善一线环卫工人的工作环境，某社区服务中心计划修建一个“爱心驿站”，请你帮忙确定“爱心驿站P”所在的位置，要求：
①“爱心驿站”到公路和的距离相等；
②“爱心驿站”到两个小区M，N的距离相等；
③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
【答案】作图见解析
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等．
【详解】解：作的角平分线与线段的垂直平分线，交于点，
∵是的角平分线，点在上，
∴点到和的距离相等，
∵垂直平分，点在上，
∴点到点M，N的距离相等，
则点即为所作．
13．（2024山西太原·期末）【问题背景】某校在科技节中举办“纸飞机”大赛，小林设计的“纸飞机”中包含特殊的几何图形，并且图形中的元素存在特殊关系，较好地应用所学数学知识，因此，获得一等奖．下面是他对自己设计理念中两个特点的描述，请仔细阅读并完成相应的任务．
特点一：如图是该“纸飞机”中平面图形的一部分，它是以所在直线为对称轴的轴对称图形．
【任务一】现已画出该轴对称图形的一半图稿，请你利用尺规根据作全等三角形的思路作，其中点B的对应点为点D．
（不写作法，保留作图痕迹）
特点二：在上图中延长交于点E，此时且．（在试卷中画出草图即可）
， 是的垂直平分线．， ．（依据：①）， ，， ．点E为的中点， ．， ．（依据：②
【任务二】根据上面的性质，小明发现与相等，并写出他的探究思路，请认真阅读并填写依据．
依据①_______________________________________________________________________；
依据②_______________________________________________________________________．
【答案】任务一：见解析；任务二：依据①：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；依据②：等边对等角；
【分析】任务一：如图所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求；
任务二：根据已给推理过程结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明即可．
【详解】解：任务一：如图所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求；
任务二：，
，
，
，
点E为的中点，
，
是的垂直平分线．
（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
．
．（等边对等角）
考点二 等腰三角形
1．（2024山西晋中·期末）如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点D，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（ ）
A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一”
C．勾股定理 D．垂线段最短
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质“三线合一”解答即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故此题答案为B．
2．（2024山西太原·期末）如图，在中，点D，E分别是边上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，则．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为A．
3．（2024山西太原十中·期末）如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵于F，交于点E，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为B．
4．（2024山西大同·期末）如图，等边的边长为12，点是上一点，于点于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题考查等边三角形的性质，角平分线的判定，直角三角形的性质．
先证明是的平分线，再由等边三角形“三线合一”得，和，从而得，再根据含30度的直角三角形的性质求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴是的平分线，
∵等边的边长为12，
∴，，
∴
∴．
故此题答案为B．
5．（2024山西阳泉·期末）如图，已知是等边三角形，中线，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用等边三角形的性质可以求出、，然后利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：是等边三角形，
，
中线，交于点，
∴，
∴，故B正确．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．
6．（2024山西大同·期末）用两个含的三角尺按照如图所示的方式放在水平桌面上（点在一条直线上），则和大小关系是（）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【分析】该题主要考查了三角板中的角度计算问题，解题的关键是掌握三角板的基本性质；
根据三角板的特征确定，从而计算和即可；
【详解】根据三角板的特征可知，，
因为，
所以，，
故此题答案为：B．
二、填空题（本大题共9小题）
7．（2024山西晋中·期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度 ．
【答案】40
【分析】根据题意，得，结合，得到，结合平角定义计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
∵，
∴，
∴
8．（2024山西太原·期末）如图，在中，，点D是上一点，将沿折叠得到，连接交于点F．若，的度数为，则的度数为 （用含的代数式表示）．
【答案】/
【分析】先由等边对等角推出，再由三角形外角的性质得到，根据折叠的性质得到，则．
【详解】解：∵在中，，的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴
9．（2024山西临汾·期末）如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， ．
【答案】
【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，
由对称性知：，，
，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
此时
10．（2024山西晋中·期末）如图，在中，，，且，现将其沿折叠后，点恰好与点重合，若点是折痕上的一点，点是的中点，连接，．则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接,，根据折叠的性质及垂直平分线的性质得，则，继而得到，推出周长的最小值是，根据等腰三角形的三线合一性质得，，进一步根据三角形的面积公式得出，即可得解
【详解】解：连接,，
∵将沿折叠后，点恰好与点重合，若点是折痕上的一点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
当点,,三点共线时，取“”，此时取得最小值，即周长的最小值是，
∵，，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值是．
11．（2024山西晋中·期末）将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，，则 ．
【答案】
【详解】解：过等腰直角三角形的一个点作的平行线，如图所示：
，
∵该直角板为等腰直角三角板，
∴另外两个角度为，
∵，
∴，
即，
∴.
12．（2024山西吕梁·期末）如图，在中，以点A为旋转中心，将逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ．
【答案】/39度
【分析】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质；掌握旋转的性质，是解题的关键．
根据旋转的性质，得到，，利用等边对等角，进行计算即可．
【详解】解：根据旋转的性质，可得：
，，
故此题答案为：．
13．（2024山西阳泉·期末）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
【答案】144°．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故此题答案为：144°．
【关键点拨】此题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
14．（2024山西运城·期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．
【答案】/
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解．
【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，
∴大正方形面积，
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即
故此题答案为：．
【关键点拨】此题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
15．（2024山西阳泉·期末）如图，在中、的垂直平分线分别交，于点．若是等边三角形，．则 ．
【答案】24
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到． 根据垂直平分线的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得，从而可得答案．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为：．
三、解答题（本大题共3小题）
16．（2024山西晋中·期末）如图，点在同一条直线上，平分．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】此题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，平行线的判定，角平分线的定义等等，先根据等边对等角和角平分线的定义得到，，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．（2024山西忻州·期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形，证明：BD=CE．
【答案】见解析
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE．
【详解】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD=CE
【关键点拨】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答此题的关键．
18．（2024山西太原·期末）综合与探究
【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知，，连接，射线与线段交于点M，并思考点M是否是线段的中点．
【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段的中点，请你说明理由；
【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，的长为半径作弧交射线于点G，则，……，请你按照小明的思路说明点M是线段的中点；
【变式探究】（3）智慧小组继续改变的位置进行探究，且点E始终在直线的上方．若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）或或
【分析】（1）利用三角形全等的性质得到，易证是等腰三角形，由，根据等腰三角形三线合一即可证明；
（2）由等腰三角形的性质可得，，进而证明，证明，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可．
【详解】证明：，
，
是等腰三角形，
，
，
点E是线段的中点，即点M是线段的中点；
（2）如图，
，
，
，
，
，
，
在与中，
点M是线段的中点；
（3）当时，如图，
，
，即点E点M重合，
，
，
，
，
；
当时，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，为等腰三角形时，的角度为或或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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