2024－2025学年度第一学期
九年级数学质检练习（三）
（范围：第一章至第六章 时间：120分钟 满分：120分）
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”，“堑堵”的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（ ）
A.59° B.62° C.69° D.72°
3.下列命题为真命题的是（ ）
A.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
B.每条线段只有一个黄金分割点
C.两边对应成比例且一个角相等的两个三角形相似
D.位似图形一定是相似图形
4.对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A.图象经过点（2，－3） B.图象位于第一、三象限
C.y随x的增大而增大 D.当时，
5.某校运动会4×400的接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，这两名同学各自随机从四个赛道中抽取一个赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为（ ）
A. B． C． D．
6.如图，小明为了测量树AB的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线BE方向后退4米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，则树的高度AB为（ ）
A.4.8米 B.3.2米 C.8米 D.20米
7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝，则线段AB的长是（ ）
A. B．2 C. D．5
8.如图在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，一张底边长为20cm、底边上的高为30cm的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为4cm的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC，BD交于点O，且， ．连接AC与DE相交于F．则图中四边形OBEF面积为（ ）
A.18 B.20 C.24 D.15
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11.若函数是反比例函数，则m的值是 ．
12.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在60%，则口袋中白色球的个数可能是 ．
13.菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，则菱形ABCD的周长为 ．
14.如图，双曲线解析式为，则阴影的面积为 ．
15.在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的动点，连接EF， 将△ABF沿EF折叠，使点A落在点P处，连BP，若AB＝2，BC＝3，则BP的小值为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16.解下列方程：．
17.若，且，求的值是多少？
18.小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．
（1）求I关于R的函数解析式；
（2）当R＝1375Ω时，求I的值．
图1 图2
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19.如图，正方形ABCD中， M为BC上一点， F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝8，BM＝6，求AE的长．
20.巴黎奥运会的吉祥物“弗里热”玩偶共有两种尺寸，分别为大款和小款，小渝购置了一定数量的两款玩偶，各自花费2400元．已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的．
（1）请问大，小款单价各多少元？
（2）为了送给其他的朋友，小渝决定再买一定数量的吉样物，此时，在第一次购买的基础上，小款的单价减少了m元，购买数量增加了个，大款的单价不变，购买数量减少了个，总费用为4800元请求出m的值．
21.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若BD＝6，AF＝4，CD＝3，求BE的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22.已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
图1 图2
23.学完一元二次方程和相似三角形后，老师给同学们出了如下题目：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P由C点出发以2cm/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1cm/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
老师问了三个不同问题：
（1）方程应用：如图1，经过 秒，PQ的长为cm？
（2）相似探讨：如图1，经过几秒，△PCQ与△ACB相似？请写出你的计算过程．
（3）拓展延伸：如图2，如果点P仍在AC上由C点出发以2cm/s的速度向终点A匀速移动，但点Q在AB上由点A出发以2.5cm/s速度向终点B匀速移动，经过多少秒后，△APQ是等腰三角形？
图1 图2 备用图
2024—2025学年度第一学期
九年级数学质检练习（三）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1.C 2.A 3.D 4.D 5.A 6.B 7.D 8.D 9.C 10.A
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11.0 12.24 13.20 14.12 15.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16.解：，
或
17.解：设，则，
，
．
18.解：（1）设，由图象可知，当时，
（2）当时，＝；
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD//BC，∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，BM＝6，∴∠B＝90°，AD＝AB＝8，
∴，∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝5，
∵△ABM∽△EFA，∴，即．
20.解：（1）设大款玩偶的单价为x元，则小款玩偶的单价为（x－90）元，
由题意得：，
解得：x＝240，
经检验，x＝240是原方程的解，且符合题意，∴x－90＝150，
答：大款玩偶的单价为240元，小款玩偶的单价为150元；
（2）由（1）可知，大款玩偶的数量为2400÷240＝10（个），
小款玩偶的数量为2400÷150＝16（个），
由题意得：，整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：m的值为36.
21.（1）证明：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，AF＝DF，∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠EDA＝∠CAD，∴．
同理可得：，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形；
（2）解：∵是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF，
∵AF＝4，∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，
∵DE∥AC，，解得：BE＝8.
22.解：（1）将A（2，a）代入得a＝3×2＝6，
∴A（2.6），将A（2，6）代入得，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为；
（2）设点B（m，3m），那么点D（m＋3，3m），
由可得，所以，
解得（舍去），∴B（1，3）；
（3）如图2，过点B作轴，过点E作EH⊥FH于点H，
图2
过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，∴∠HEB＋∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转90°，∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH＋∠ABF＝90°∴∠BEH＝∠ABF，∴△EHB≌△BFA（AAS），
设点B（n，3n），EH＝BF＝6－3n， BH＝AF＝2－n，∴点E（6－2n，4n－2），
∵点E在反比例函数图象上， ，解得（舍去），：点E（3，4）．
23.解：（1）设经过x秒， PQ的长为cm，由题意得： PC＝2x cm， CQ＝（6－x）cm，
，
解得：或，故答案为：2或；
（2）设运动时间为t，△PCQ与△ACB相似．当△PCQ与△ACB相似时，
则有或，所以，或，解得，或．
因此经过秒或秒，△PCQ与△ACB相似；
（3）设经过y秒，△APQ是等腰三角形．分三种情况：
若AP＝AQ，则，解得；
若AP＝PQ，作PE⊥AQ于点E，（三线合一）
∵∠A＝∠A，∠AEP＝∠C＝90°，∴△AEP∽△ACB，
．
若AQ＝PQ，作QF⊥AP于点F，（三线合一）
同理可得，
综上所述，或或，△APQ是等腰三角形．
故答案为：或或．
