第五章 平行四边形
章末复习
类型一 平行四边形的性质
1.在平行四边形 ABCD中，有两个内角的度数比为5 ：1，则在平行四边形 ABCD 中较大内角的度数是 ( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
2.如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥ BD 于点 E,若∠C=70°,则∠BAE=____________°.
第2题图 第3题图
3.如图,如果△AOB 与△AOD 的周长之差为8,而 AB: AD=3:2,那么 ABCD的周长为__________.
4.如图,点 E,F 是平行四边形ABCD 对角线AC上两点,BE∥DF.
(1)求证:AF=CE;
(2)若AC=8,BC=6,∠ACB=30°,求平行四边形ABCD的面积.
类型二 平行四边形的判定
5.如图，在平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,DC 的中点，则图中共有平行四边形 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6.四边形的四条边依次是a,b,c,d,其中a,c为对边且满足 则这个四边形是 ( )
A.任意四边形 B.对角线相等的四边形
C.对角线垂直的四边形 D.平行四边形
7.下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 ④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.其中所有真命题的序号是____________.
8.如图,点 B,E 分别在 AC,DF 上,AF 分别交 BD,CE 于点 M,N,
(1)求证：四边形 BCED 是平行四边形；
(2)已知 连接 BN,若 BN 平分求CN的长.
9.如图,点 E,F,G,H分别是平行四边形ABCD 各边的中点，连接AF，CE相交于点M，连接AG，CH相交于点N.
(1)求证：四边形 AMCN 是平行四边形；
(2)若 的面积为4， 1:2,求 的面积.
类型三 平行四边形性质和判定的综合应用
10.如图，在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为5，则阴影部分的面积为 ( )
A. 8 B. 10 C. 15 D. 30
第10题图 第11题图
11.如图，已知平行四边形ABCD中A,C,D三点的坐标,则点 B的坐标为 ( )
A.(-3,-2) B.(-2,-2) C.(-3,-1) D.(-2,-1)
12.问题背景:如图,在等边△ABC中,D,E两点分别在边 BC,AC上,BD=CE,以AD为边作等边△ADF,连接BE,EF,CF.
问题探究：
(1)求证:△CEF 为等边三角形;
(2)求证：四边形 BDFE 为平行四边形；
(3)若 求四边形 BDFE 的面积.
13.如图,在 中，D 为 BC 边上一点( CD),过点 B,C 分别作射线AD 的垂线,垂足分别为点 E，F，点G 在 FC 的延长线上，且
(1)求证：四边形 BCGE 为平行四边形；
(2)若 的周长为24，求CG的长.
类型四 三角形的中位线
14.如图,在 中，于点 D,点 F在BC上，且 ,连接AF,E为AF 的中点,连接 DE,则 DE的长为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第14 题图 第15 题图
15.如图,在 中， BC=8,点 N 是BC 边上一点,点 M 为AB边上的动点，点 D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ( )
A. 2 C. 3
16.如图，在平面直角坐标系中,Rt△AOB 的一条直角边OB 在x 轴上,点A 的坐标为(-6,4),在 Rt△COD 中, ，连接BC,点 M 是 BC 中点,连接 AM. 将Rt△COD以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 AM 的最小值是 ( )
A. 3 D.2
17.如图,点 E 为 ABCD 的边 AD 上的一点,连接 EB 并延长,使 BF=BE,连接 EC并延长,使CG=CE,连接 FG. H 为 FG 的中点,连接DH,AF.
(1)若 求的度数；
(2)求证：四边形 AFHD为平行四边形；
(3)连接EH,交 BC于点O,若求证：
类型五 多边形的内角和与外角和
18.如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则
19.如图，小明从点 A 出发沿直线前进8 米，到达点 B 后向左旋转α角度，再沿直线前进8米，到达点 C 后，又向左旋转α角度……照这样走下去，第一次回到出发地点A时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为__________度；小明所走路线形成的多边形的内角和为___________.
易错点 忽略分类讨论而出错
20.在中，AE平分 交 BC 于点E,DF平分 交BC 于点 F,若 则AB 的长为____________.
参考答案
1. A 2. 50 3. 80
4.解:(1)证明:在平行四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=BC,∴∠ACB=∠CAD.
又∵BE∥DF,∴∠BEC=∠DFA,∴△BEC≌△DFA(AAS),∴CE=AF;
(2)过点 A作AG⊥BC,交CB的延长线于点 G,
在 Rt△AGC中,AC=8,∠ACB=30°,∴AG=4,
∴平行四边形 ABCD的面积=BC·AG=4×6=24.
5. D 6. D 7. ①③
8.解:(1)证明:∵∠A=∠F,∴DE∥BC,
∵∠1=∠2,且∠1=∠DMF,∴∠DMF=∠2,∴DB∥EC,
则四边形 BCED为平行四边形；
(2)∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠CBN,
∵EC∥DB,∴∠CNB=∠DBN,∴∠CNB=∠CBN,∴CN=BC=DE=2.
9.解:(1)∵点 E,F,G,H分别是平行四边形ABCD 各边的中点,∴AH∥CF,AH=CF,
∴四边形AFCH 是平行四边形，∴AM∥CN,
同理，得四边形AECG 是平行四边形，∴AN∥CM,
∴四边形 AMCN 是平行四边形；
(2)如图,连接AC,
∵HN: NC=1:2,∴CN=2HN,
又∵CH 是△ACD的中线,
又∵AC是 AMCN 和 ABCD的对角线,
又∵ AMCN的面积为4,∴ ABCD的面积为12.
10. C 11. D
12.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°,
∵△ADF是等边三角形，∴AD=AF,∠DAF=60°,∴∠BAC=∠DAF=∠ACB=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC,即∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,∴△BAD≌△CAF(SAS),∴∠ACF=∠ABD=60°,BD=CF,
∵BD=CE,∴CF=CE,∴△CEF 是等边三角形;
(2)证明:由(1),得△CEF 是等边三角形,∴∠CEF=60°,EF=CE,
∴∠BCA=∠CEF=60°,∴EF∥BD,
∵BD=CE,∴EF=BD,∴四边形 BDFE 是平行四边形；
(3)如图,过点 E作EG⊥BC于点G,则∠EGC=90°,
由(2),得CE=EF=4,
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°,∴∠CEG=90°-∠ACB=30°,
∵四边形 BDFE为平行四边形，∴BD=EF=4,
13.解:(1)证明:∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴BE∥CF,∴∠CBE=∠BCF.
∵∠G=∠CBE,∴∠BCF=∠G,∴BC∥EG,∴四边形 BCGE 为平行四边形；
(2)∵BE⊥AD,CF⊥AD,
在 Rt△ABE 和 Rt△CAF 中,
∴Rt△ABE≌Rt△CAF(HL),∴BE=AF,
∵四边形 BCGE为平行四边形，∴BE=CG,∴CG=AF.
设CG=x,则AF=x,∴EF=7-x,FG=7+x.
∵△EFG的周长为EF+FG+EG=24,∴EG=10,
在 Rt△EFG中,
解得 (不合题意，舍去)，∴CG=1.
14. B 15. B
16. A 解析:取OB中点 N,连接MN,AN.
在Rt△OCD中, ∴OC=4,
∵M,N分别是BC,OB的中点,
在△ABN中,AB=4,BN=3,∴AN=5,
在△AMN中,AM>AN-MN;
当点M 运动到AN上时,AM=AN-MN,∴AM≥AN-MN=5-2=3,
∴线段AM的最小值是3.
17.解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠BAE=∠BCD=70°,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,
∵∠BCE=∠BCD-∠DCE=70°-20°=50°,∴∠DEC=∠BCE=50°;
(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC,
∵BF=BE,CG=CE,∴BC是△EFG的中位线,
∥
∵H为FG 的中点,
∴BC∥FH,BC=FH,∴AD∥FH,AD=FH,
∴四边形AFHD是平行四边形；
(3)证明:如图,连接 BH,EH,CH,
∵CE=CG,FH=HG,∥
∴BE=CH,∴四边形EBHC 是平行四边形，∴OB=OC,OE=OH,
∵OC=OH,
18. 5 19. 40 1260°
20.6或4 解析:①如图1,角平分线 AE与 DF 相交于点G，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD.∴∠BAE=∠AEB.
∴△ABE 是等腰三角形,则AB=BE.
同理,得△CDF是等腰三角形,CD=CF,
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=10,AB=CD,则 BE=CF,
∵BE+CF-EF=BC=AD=10.∴2BE-EF=10,且EF=2. 即
②如图2，角平分线 AE与DF 不相交，
同理①，得 是等腰三角形，
即
综上所述，AB的长为6 或4.
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