2024年下学期期末模拟考试
七年级数学
满分：120分 时量：100分钟 姓名： 得分：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．小明买了2支钢笔，3支圆珠笔，已知每支钢笔a元，每支圆珠笔b元，则小明一共用了（ ）元
A． B． C． D．
4．下列运用等式性质变形一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．临近月考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”相对的是（ ）
A．总 B．发 C．努 D．力
6．已知整式的值为3，则的值为（ ）
A．11 B．12 C．15 D．18
7．中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？ 其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．一次式的系数是（ ）
A． B． C． D．3
9．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（ ）
A． B． C． D．
10．定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”．如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．比较大小： ．（填“”或“”）
12．写出代数式的一个同类项： ．
13．多项式与多项式的差为 ．
14．若一个角的补角比这个角大，则这个角是 ．
15．在方程中，用的代数式表示，得 ．
16．某校举行一次数学竞赛，赛后5名同学A，B，C，D，E知道了自己的成绩，但这5名学生想尽快得知比赛的名次，得到如下信息：
信息序号 文字信息
1 D的得分是E得分的四分之一
2 E的得分是B得分的3倍
3 A和D的得分之和等于B和C的总分
4 A与E的得分之差是B得分的四分之三
则这5位同学中获得第三名的是 ．
17．已知代数式的值与x的取值无关，则的值为 ．
18．电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ．
三、解答题：本题共8小题，解答需写出必要的解答步骤或证明过程．
19．（6分）计算：
(1) (2)
20．（6分）阅读下面解方程的过程回答问题．
解方程：．
解：移项，得．（A）
合并同类项，得．（B）
系数化为1，． （C）
(1)上述解方程的过程中，在哪一步骤有错误？请写出该步骤的代号：___________；
(2)错误的原因：___________；
(3)请写出正确的解题过程．
21．（8分）化简并求值：，其中，．
22．（8分）解方程组：
(1)； (2)．
23．（9分）列方程解应用题：甲乙两车分别从相距的、两地相向而行．
(1)两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的倍，若甲车比乙车提前出发，则甲车出发后两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少．
(2)若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距．
24．（9分）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话：
(1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？
(2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案．
25．（10分）阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中，所以3157是“亚运数”．
(1)填空：
①21______________是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
②最小的四位“亚运数”是______________．
(2)若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”．
(3)已知一个大于1的正整数可以分解成的形式（均为正整数），在的所有表示结果中，当取得最小时，称“”是的“最小分解”，此时规定：，
例：，因为，所以，求所有“冠军数”的的最大值．
26．（10分）探究与实践
将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧：
【问题发现】
（1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①__________；
②__________．
【问题探究】
（2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）．
【问题解决】
（3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小．
参考答案与解析
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C B A A C C D
填空题
11． 12．（答案不唯一） 13． 14．
15． 16．E 17．3 18．
解答题
19．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．【详解】（1）解：观察解题过程，步骤A移项时没有变号，步骤C得数错误，
故答案为：A，C．
（2）解：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了；
故答案为：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了．
（3）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
21．【详解】解：
，
当，时，
原式
．
22．【详解】（1）解：
，得，解得
将代入，得，解得
故原方程组的解为
（2）解：
可得，
将整体代入，
可得，
解得，
将代入可得，
解得，
所以原方程组的解为
23．【详解】（1）解：设乙车的速度是千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，
根据题意得：
解得：
(千米/小时)．
答：甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时；
（2）解：设经过小时两车相距千米，根据题意得：
或
解得：或，
答：经过小时或小时两车相距千米．
24．【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，
根据题意得，
解得，
答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元；
（2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型，
根据题意得，
，
，均为正整数，
当时，；
当时，，
有2种购买方案如下：
①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；
②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型．
25．【详解】（1）解：①，
故是“亚运数”，
故答案为：；
②由题意可知千位是1，百位是0，
十位，个位，
最小的四位依赖数是1022．
故答案为：1022
（2）解：设千位数字是，百位数字是，且，，
则十位数字是，个位数字是，
四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，
，为非负整数），
化简得，
，
，
，，为小于10正整数，为非负整数，为的正整数，，
符合条件的，只有两组，或，，
所有“冠军数”为2226或3066．
（3）解：所有“冠军数”为2226或3066，
2226的最小分解，，
3066的最小分解，，
，
故求所有“冠军数”的的最大值为．
26．【详解】解：（1）①
，
②
；
（2）设旋转时间为t秒，则，，
当与相遇时，，
解得：，
如图，，
∴；
（3）设绕点O逆时针旋转，
①时，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，平分，
∴
∴，
∴；
②时，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，平分，
∴，
∴．
综上，或．
