28.（本题12分)
【特例感知】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连接PD,过点D作
DM⊥PD,交BC的延长线于点M.求证：△DAP≌△DCM.
【变式求异】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，过点D作D2⊥AB,
交AC于点2，点P在边AB的延长线上，连接P2,过点Q作9M⊥P2,交射线BC于
点M.已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求
OM
的值、
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC
上（不与点A,C重合），连接P2,以2为顶点作∠P2M=∠PBC,∠P2M的边2M
交射线BC于点M.若AC=mAB,CQ=nAC(m,n是常数)，求
2的值（用含
OM
m,n的代数式表示).
NMC
图1
图2
图3
九年级数学试卷第6页（共.6页）
2024-2025学年度第一学期九年级
数学试卷
(总分：150分，.时长：120分钟)
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.下列函数中，y一定是x的二次函数的是()
A.y=ax2+bx+c
B.y=x(x2+1)
C.y=x+1
①y=-3x2
2.某小组8名学生的中考体育分数如下：39,40,40,42,42,42,43,44，（单位：分），
则该组数据的众数、中位数分别为()
A.42,42
B.42,43
C.40,42
D.42,41
3.若A(-4,y1)、B（-3,y2)、C(1,y3)为二次函数y=(x+2)2+c的图象上的
三点，则y1、y2、y3的大小关系是(）
A.y1
数为()
A.110°
8.55
C.70°
D.65
G
第4题图
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是△ABC的重心，连接CG,若CG=2,则线
段AB长度为()
A.4
B.5
C.6
D.9
6.如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O,若EF=2,则BC的长为()
A.2V2
B.2V3
C.5
D,v6
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示.则a、b、c的值为（)
A-名2
B.子，4,2
C.-1、4、2
D.无法确定
8.如图，在等边三角形中ABC,BC=6,点D是边AB上一点，且BD=2,点P是边BC
上一动点(D、P两点均不与端点重合)，作∠DPE=60°，PE交边AC于点E。若CE=a,
当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（·)
A2
B.9
C.4
D.5
九年级数学试卷第1页（共6页）2024—2025 学年度第一学期九年级 1206
数学参考答案
一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B C D C A
二．填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 24 分．）
9． 10．5 5 11．2 12．﹣2022 13．
14．20 15．﹣2≤x≤8 16．﹣ ＜m＜0 17．12 18．
三．解答题（本大题共 10 小题，共 96 分．）
19．（本题 8 分）解
【解答】解：（1）x2﹣6x+4＝0，
x2﹣6x＝﹣4，
x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，
∴x﹣3 或 x﹣3 ，
∴x1＝3 ，x2＝3 ．……………………………………………………………………4 分
（2）（x﹣1）2＝3x﹣3，
（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0 或 x﹣4＝﹣0，
∴x1＝1，x2＝4．………………………………………………………………………………8 分
20．（本题 8 分）
【解答】证明：∵△PCD 为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2，………………………………………………4 分
∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∴ ．………………………………………………………………………………6 分
∴△ACP∽△PDB．………………………………………………………………………………8 分
21．（本题 8 分）
【解答】解：560；………………………………………………………………………………2 分
（2）54°；……………………………………………………………………………………4 分
（3）
………………………………………………………………6 分
第1页（共7页）
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（4） （人），
答：在课堂中能“独立思考”的学生约有 18000 人．………………………………………………8 分
22．（本题 8 分）
【解答】解：（1） ．……………………………………………………………………………………2 分
（2）列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，剪 （石头，
子） 布）
剪子 （剪子，石 （剪子，
头） 布）
布 （布，石 （布，剪
头） 子）
………………………………………………5 分
共有 6 种等可能的结果，………………………………………………………………………………6 分
其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共 3 种，
∴甲取胜的概率为 ．………………………………………………………………………………8 分
23．（本题 10 分）
【解答】解：（1）∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴抛物线 C 的开口向上，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为（1，1）．……………………3 分
（2）∵将抛物线 C 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到抛物线 C1，
∴C1：y＝2x2+3，
把 x＝2 代入得，y＝2×22+3＝11≠3，
∴抛物线 C1 不经过点 P（2，3）；……………………………………………………………6 分
（3）1≤y≤19．…………………………………………………………………………………10 分
24．（本题 10 分）
【解答】解：（1）设 y＝kx+b，
∵直线 y＝kx+b 经过点（40，300），（55，150），
∴ ，
解得： ，
故 y 与 x 之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700 …………………………………………………3 分
（2）由题意，得
﹣10x+700≥230，
解得 x≤47，
∴30＜x≤47，
设利润为 w＝（x﹣30） y＝（x﹣30）（﹣10x+700），
w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50 时，w 随 x 的增大而增大，
第2页（共7页）
{#{QQABRQSAoggoABJAARhCEwHiCECQkhCAAagOAFAEsAAByBNABAA=}#}
∴x＝47 时，w ＝﹣10（47﹣50）2最大 +4000＝3910，
答：当销售单价为 47 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3910 元；……………………………7 分
（3）40≤x≤60．……………………………………………10 分
25．（本题 10 分）
【解答】（1）证明：连接 OD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∴OD⊥DC，
∵OD 是半径，
∴CD 是⊙的切线；…………………………………………………………………………………4 分
（2）解：设 OD＝OB＝x，
∵∠ODC＝90°，
∴OD2+DC2＝OC2，
∴x2+42＝（x+2）2，
∴x＝3，
∴OD＝3，半径为 3…………………………………………………………………………………………7 分
∴AB＝6，
∵∠BDC＝∠A，∠DCB＝∠ACD，
∴△DCB∽△ACD，
∴ ，
∴ ，
设 DB＝a，则 AD＝2a，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴a2+（2a）2＝62，
∴a ，
AD ．…………………………………………………………………………………………10 分
26．（本题 10 分）
【解答】解：（1）如图，点 P 满足要求，
第3页（共7页）
{#{QQABRQSAoggoABJAARhCEwHiCECQkhCAAagOAFAEsAAByBNABAA=}#}
∵∠ACP＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC．………………………………………………………………………………………3 分
（2） ………………………………………………………………………………………………………6 分
（3）如图，点 M 即为所求，
点 M 满足要求．………………………………………………………………………………………10 分
27．（本题 12 分）
【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC，
∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠DCM，
∵DM⊥PD，
∴∠ADP+∠PDC＝∠CDM+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDM，
在△DAP 和△DCM 中，
，
∴△DAP≌△DCM（ASA）；……………………………………………………………………………4 分
（2）解：如图 2，作 QN⊥BC 于点 N，
∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，
∴四边形 DBNQ 是矩形，
∴∠DQN＝90°，QN＝DB，
第4页（共7页）
{#{QQABRQSAoggoABJAARhCEwHiCECQkhCAAagOAFAEsAAByBNABAA=}#}
∵QM⊥PQ，
∴∠DQP+∠PQN＝∠MQN+∠PQN＝90°，
∴∠DQP＝∠MQN，
∵∠QDP＝∠QNM＝90°，
∴△DQP∽△NQM，
∴ ，
∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°，
∴ ，
∵AD＝2DB，
∴DB＝2，
∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，
∴DQ∥BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴ ；…………………………………………………………………………………………8 分
（3）解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC，
∴CQ＝mnAB，
∴AQ＝AC﹣CQ＝（m﹣mn）AB，
∵∠BAC＝90°，
∴ ，
如图 3，作 QN⊥BC 于点 N，
∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN＝360°，∠BAC＝90°，
∴∠ABN+∠AQN＝180°，
∵∠ABN+∠PBN＝180°，
∴∠AQN＝∠PBN，
∵∠PQM＝∠PBC，
∴∠PQM＝∠AQN，
∴∠AQP＝∠NQM，
∵∠A＝∠QNM＝90°，
∴△QAP∽△QNM，
∴ ，
∵∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA，
第5页（共7页）
{#{QQABRQSAoggoABJAARhCEwHiCECQkhCAAagOAFAEsAAByBNABAA=}#}
∴△QCN∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴ ．…………………………………………………………………12 分
28．（本题 12 分）
【解答】解：（1）由题意 A（4，0），C（0，2），代入 得到
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 y x2 x+2．…………………………………………………………4 分
（2）
① …………………………………………………………………………………………8 分
②∵∠AOC＝∠PQC＝90°，∴有两种情形，
情形 1：若△PCQ∽△CAO，则∠PCQ＝∠CAO，如图 2 中，
∴PC∥x 轴，
把 y＝2 代入 y x2 x+2，得到 x2 x+2＝2，
解得 x＝3 或 0（舍弃），
∴点 P（3，2）．
情形 2：若△PCQ∽△ACO，则∠PCQ＝∠ACO，
如图 3 中，过点 P 作 PE∥y 轴，交 x 轴与 E，交 AC 于 F，作 CG⊥PE 于 G．
第6页（共7页）
{#{QQABRQSAoggoABJAARhCEwHiCECQkhCAAagOAFAEsAAByBNABAA=}#}
∴∠ACO＝∠PFC，
∴∠PCQ＝∠PFC，
∴PC＝PF，
∴PC2＝PF2，
∴m2+（ m2 m）2＝（ m2+2m）2，
解得 m 或 0（舍弃），
∴P（ ， ），
综上所述，点 P 的坐标为（3，2）或（ ， ）．…………………………………………………12 分
第7页（共7页）
{#{QQABRQSAoggoABJAARhCEwHiCECQkhCAAagOAFAEsAAByBNABAA=}#}
