古林中学初一数学竞赛试卷
一、单选题 (每题 4 分, 共 32 分)
1.若 ,则代数式 的值为 ( )
A. 1 B. -1 C. 19 D. -19
2.若三个非零有理数 ,满足 ,且有 ,则这三个数的大小关系为 ( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
3.小明在某月的日历上圈出三个数 ,并求出它们的和是 42,则这三个数在日历中的位置不可能的是( )
B. C. D.
4.如图,已知数轴上点 所对应的数 都不为 0,且 是 的中点,如果 ,则原点 的大致位置在( )
A. 的左边 B. 与 之间 C. 与 之间 D. 的右边
5. 如果 ,那么 与 的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
6.一只小虫在数轴上从 点出发,第 1 次向正方向爬行 1 个单位后, 第 2 次向负方向爬行 2 个单位, 第 3 次又向正方向爬行 3 个单位……按上述规律, 它第 2023 次刚好爬到数轴上的原点处,小虫爬行过程中经过数轴上-50 这个数的次数是( )
A. 99 B. 100 C. 101 D. 102
7.若 为互不相等的正整数,且 ,则 的结果有( )
A. 5 种 B. 6 种 C. 7 种 D. 8 种
8.在长方形 中放入 3 个正方形如图所示,若 , ,则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和( )
A. B. C. D.
二、填空题 (每题 5 分, 共 20 分)
9.如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案,按此规律,第 ( 为正整数)个图案中白色正六边形比黑色正六边形多_____个.(用含 的代数式表示)
第 1 个图案 第 2 个图案 第 3 个图案
10.老师规定 表示大于 的最小整数,如: , ,则下列结论中正确的有_____(填序号).
① ② 的最小值是 0,
③ 的最大值是 1; ④存在有理数 ,使 成立.
11.若 为整数,且 ,则 _____.
12.已知关于 的绝对值方程 有三个解,则 _____.
三、解答题 (第 13 题 12 分, 第 14 题 10 分, 第 15 题 10 分, 第 16 题 10 分, 第 17 题 14 分, 第 18 题 12 分, 共六题)
13.(12 分) 计算题:
(1) ）
.
14.(10 分) 求若干个相同的有理数 (均不等于 0 ) 的除法运算叫做除方,如 等. 类比有理数的乘方,我们把 记作 ,读作“2 的圈 3 次方”, 记作 ,读作“一 3 的圈 4 次方”,一般地,把 记作 ,读作“ 的圈 次方”.
(1)直接写出计算结果: _____, _____；
(2)我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢
除方 乘方
仿照上图的算式, 将下列运算结果直接写成乘方的形式.
(3)由(2)中的算式归纳:有理数 的圈 次方写成幂的形式等于_____；
(4)计算 .
15.(10 分) 对于有理数 ,若 , 则称 和 关于 的 “友谊数” 为 ,例如, ,则 2 和 3 关于 1 的” 友谊数 “为 3.
(1)-1 和 5 关于 4 的“友谊数”为_____；
(2)若 和 1 关于 3 的 “友谊数” 为 4,求 的值；
(3)若 和 关于 1 的 “友谊数” 为 和 关于 2 的 “友谊数” 为 和 关于 3 的 “友谊数”为 和 关于 51 的“友谊数”为 1 ;
① 的最大值为_____；
② 的最小值为_____.
16.(10 分) 阅读理解:
对于数轴上任意一点 ,把与点 相距 个单位长度 ( 是正数) 的两点所表示的数分别记作 和 (其中 ),并把 这两个数叫做“点 关于 的对称数组”,记作 , . 例如: 原点 表示数 0,原点 关于 1 的对称数组是 .
(1)如果点 表示数 1,那么点 关于 2 的对称数组是_____；
(2)如果 ,那么点 表示的数是_____； 的值是_____；
(3)如果 表示数3, , ,则 的值是_____；
(4)如果 、 是数轴上两个动点, ,两点同时从原点出发反向运动,且点 的速度是点 速度的 2 倍,当 时,点 表示的数是_____；
17.(14 分)综合与实践
阅读下列材料: 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统, 约定逢十进一就是十进制, 逢二进一就是二进制. 也就是说, “逢几进一”就是几进制, 几进制的基数就是几. 为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数. 例如: 就是二进制数 1101 的简单写法,十进制数一般不标注基数, 表示这个 进制数从右起,第一位上的数字为 ,第二位上的数字为 ,第三位上的数字为 . 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式. 例如十进制数 (当 时, ). 同理,二进制数 转换为十进制数为: . 一个十进制数转换为 进制数时,把十进制数表示成 与基数 的幂的乘积之和的形式. 例如,将十进制数 46 转换为三进制数,因为 ,即 ,则 ,所以 46 转换为三进制数为 .
根据上述材料, 解答下列问题.
(1)①把二进制数(1011)2转换为十进制数；
②把十进制数 29 转换为二进制数.
(2)把十进制数 63 转换为五进制数；
(3)若一个三进制数转换为十进制数为 ,一个四进制数转换为十进制数为 ,当 时, 称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”.
①判断(1210)3 与(303)4是否互为“久久数”,并说明理由；
②若 与 互为“久久数”,求 的值.
18.(12 分) 在 棋盘中 ,每个方格染成黑白两种颜色之一, 使任意相邻 (有公共边) 的两个方格不同色. 每次操作允许改变任何一个含 4 个方格的 形 (如图) 内所有方格的颜色. 问能够经过有限次操作使所有方格都变成相反的颜色吗
2024.11 古林中学初一数学竞赛试卷全解全析
一、单选题 (每题 4 分, 共 32 分)
1. 解析：
由 得 ,故 .
选 B.
2. 解析：
当 时,由于 ,则 ,又 ,则 ,由题意 ,故 ; 当 时,由于 ,则 ,又 ,则 符号相同,当 时,有 ,当 时,由于 ,故 ,
故选 B.
解析：
设最小的数 ,
对于 A 选项: 此时 ,则 ,解得 ;
对于 B 选项,则 ,解得 ;
对于 选项,则 ,解得 ;
对于 选项,则 ,解得 .
故选 D.
4. 解析：
是 的中点,则 ,则 ,故 可化为 ,即 ,显然 ,故 异号,且 ,即 ,故 在 与 之间.
故选 B.
5. 解析：
设 ,那么 ,
故 .
故选 A.
解析：
第 1 次以后相邻两次两两配对 (如第 2 次和第 3 次) 记为一组, 合计向正方向爬行 1 个单位, 故第 2023 次后小虫共计向正方向爬行 1012 个单位,故 点代表的数为 -1012 . 而 -50 - (-1012) ,故小虫爬行了 次恰好到达-50,此后 101 次都会经过-50.
故选 C.
解析：
①若 均不为 1,则 ;
② 若 ,则显然无解;
③ 若 ,则 ;
④若 ,则 或 5 或 15,对应的 或 90 或 或 96 或 26 ;
综上 共 5 种结果.
故选 A.
解析：
设 . 由题 ,则 . 阴影部分周长可以分为两部分: ①ADJQOMI 这个不规则的图形可以通过平移线段得到其周长 ；②剩下两个小矩形的周长和 . 故 . 现在看选项 A: ; B: ,
故选 B.
二、填空题 (每题 5 分, 共 20 分)
9. 解析：
找规律可得,第 个图案中黑色正六边形有 个,白色正六边形有 个,
故多 个.
10. 解析：
①大于 0 的最小整数是 1 , 故错误;
②③由题 ,故 可以取到最大值 1 但不能取到最小值 0 ；
④ 取 即可
故正确的有: ③④.
11. 解析：
由于 为整数,且 ,则 或 ,
① ,此时 ,则 .
② ,此时 ,则 .
故 .
12. 解析：
(i) ,① ,② ,
(ii) ,① ,② ,
由于只有三个解,故有两个相等,① (舍),② , ③ (舍,代入发现此时只有两个解),④ (舍,代入发现此时只有两个解),其余两种情况显然不成立,则 .
13. 解析：
(1)设 ,
原式
.
( 2 )原式
.
14. 解析：
(1) ;
(2)由观察可得,第一个除法得到的结果为 1,因此乘方数等于 2 减除方数,
因此 ;
(3)由第二小题推论可得: ；
(4)原式
.
15. 解析：
(1) 6 ; (2) ,解得 或 ； (3)我们先来考虑如下绝对值方程: . 显然 , (I) 当 时, (II) 当 时, ; (III) 当 时, 同(II)得 ； (IV) 当 时, 同(I)得 ;
综上, . ① 的最大值为 3 ；
② 将 代入, 的最小值为 .
16. 解析：
;
(2) 为 的中点,故点 表示的数是 1, 的值是 4 ;
(3) ,解得 ；
(4)由题意得, ,
当 时,代入整理得 ,
由两点同时从原点出发反向运动,且点 的速度是点 速度的 2 倍,
故 ,代入 得 .
17. 解析：
(1)① ；
② ,
,
所以 29 转换为二进制数为 .
(2)同(1)的②,可得 ,
63 转换为五进制数为 (223)5；
(3)① 与 互为“久久数”,理由如下:
(1210) ;
;
,故 与(303) 4 互为“久久数”;
②由题意得,
,
,且 均为整数,
.
解析：
设每个格子上各有一个数, 初始值为 0 , 每次操作会使得当前格子上的数字 +1 , 目标显然为让格子上的所有格子都变为奇数,
做一次操作时,会让所有格子的数字总和 次操作后,数字总和为 ,
当 为奇数时,最终目标状态的所有格子上的数字的总和为奇数,但 必定为偶数,矛盾 当 为奇数时,不能.
当 为偶数时,分情况讨论
① ,
可以构造出一个 的铺法,如图所示,
基于该 的格子可以拼出任意 的棋盘,
当 时,能.
② ,
考虑最初的黑白染色,一个 形内会包含一个白色格子,三个黑色格子,定义为第一类 形; 或一个黑色格子,三个白色格子,定义为第二类 形.
而偶数的 会使得黑色格子与白色格子数量一致,因此第一类 形和第二类 形的数量必须相同,可以推出 形总数量为偶数,
但是 形数量 为奇数,矛盾.
当 时,不能.
综上所述,当且仅当 时,能够经过有限次操作使所有方格都变成相反的颜色.
