南京师范大学附属实验学校2025届九年级上学期9月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的半径为4,平面内有一点M.若,则点M与的位置关系是( ).
A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不能确定
2．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为( )
A.-2 B.2 C. D.
3．如图,是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点.连接,若,则的度数为( ).
A. B. C. D.
4．某商品经过连续两次降价,销售单价由原来200元降到160元.设平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
5．如图,四边形内接于,交的延长线于点,若平分,,,则的长为( ).
A.2 B.3 C. D.
二、填空题
6．方程的根为______.
7．用配方法解方程时,原方程应变形为______.
8．写一个一元二次方程,使得它的两个根为,3,该方程为______.
9．如图,等边内接于,是直径,则______°.
10．如图,C为的劣弧上一点,若,则______.
11．若、是一元二次方程的两个实数根,则的值为______.
12．如图,圆O的直径垂直于弦,垂足是E,,,的长为______.
13．若关于x的方程的解为,,则方程的解为______.
14．已知的半径,弦的长为,若在上找一点C,则______°.
15．如图,线段、的垂直平分线、相交于点O,若,则______°.
三、解答题
16．解下列方程
(1)；
(2).
17．已知关于x的方程.
(1)求证：不论k取何实数,该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为2,求它的另一个根.
18．如图,、是的弦,且,是直径,求证：四边形是矩形.
19．已知关于x的方程(p,q为常数)有两个实数根,.
(1)若,,则的值是______,方程的解是______；
(2)若,,求的值；
(3)用含,的代数式表示,下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
20．某商店经销的某种商品,每件成本为40元.调查表明,这种商品的售价为50元时,可售出200件；售价每增加5元,其销售量将减少50件.为了实现2000元的销售利润,这种商品的售价应定为多少元？
21．如图,已知点A、B是平面内两点,线段长度一定,在平面内作使得它过点A、B且半程长为a(尺规作图,保留作图痕迹,写出必要的作图说明).
22．如图,四边形是的内接四边形,,,垂足分别是E、F.
(1)直接写出与的数量关系__________,并证明你的结论；
(2)若,.求的长.
参考答案
1．答案：C
解析：∵的半径为4,
∴点M到圆心的距离大于圆的半径,
∴点M在圆外.
故选：C.
2．答案：A
解析：是关于x的一元二次方程的一个根，
，解得：.
故选A.
3．答案：B
解析：连接,
∵是半圆的直径,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选：B.
4．答案：A
解析：由题意可得,
,
故选：A.
5．答案：D
解析：连接,
∵四边形内接于,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴
∴
故选：D.
6．答案：,
解析：,
解得：,.
故答案为：,.
7．答案：
解析：移项得：,配方得：,即.
故答案为.
8．答案：(答案不唯一)
解析：∵一元二次方程的两个根为,3,
∴,,
令,则,
∴符合条件的一个一元二次方程为：,
故答案为：.
9．答案：30°
解析：∵是等边三角形,
∴,
根据圆周角定理得：,
∵AD为直径,
∴,
∴,
∴
∴.
故答案为：30°.
10．答案：
解析：如图作圆周角,使D在优弧上,
,
,
、D、B、C四点共圆,
,
,
故答案为：.
11．答案：0
解析：∵、是一元二次方程的两个实数根,
∴,.
∴,
故答案为：0.
12．答案：
解析：∵,
∴,
∵圆O的直径垂直于弦,
∴,则为等腰直角三角形,
∵
∴,
∴.
故答案为：.
13．答案：,
解析：∵关于x的方程的解为,,
∴方程的解为或3,
解得：,,
故答案为：,.
14．答案：或
解析：∵,,
∴,
∴,
如图,分别在优弧和劣弧取点和,连接,,,,
∴,
∵四边形是圆内接四边形,
∴,
∴,
故答案为：或.
15．答案：84
解析：连接,并延长到P,
∵线段、的垂直平分线、相交于点O,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,,
∵,,
∴；
故答案为：84.
16．答案：(1),
(2),
解析：(1),
,
,
,
,
,
,；
(2),
,
,
∴或,
∴,.
17．答案：(1)见解析
(2)它的另一个根为-1
解析：(1)∵,,,
∴,
∵不论k取何实数,,
∴即,
∴不论k取何实数,该方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵,,,
∴,
,
∴,
∴另一个根为-1.
18．答案：见详解
解析：证明：∵为的直径,
∴,
在中,,
在中,,
∴,
由∵,
∴,
∴四边形是平行四边形,
又∴,
∴四边形是矩形.
19．答案：(1)36,,
(2)25
(3)C
解析：(1)∵,,
∴,
∴方程为,
∴,
解得：,；
(2)∵关于x的方程(p,q为常数)有两个实数根,,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∴；
(3)∵关于x的方程(p,q为常数)有两个实数根,,
∴,
∴.
故选：C.
20．答案：这种商品的售价应定为50元或60元
解析：设这种商品的售价应定为x元,
根据题意列方程得：
整理得：
解得：,,
答：这种商品的售价应定为50元或60元.
21．答案：见详解
解析：如下图：即为所求：
22．答案：(1),证明见详解
(2)
解析：(1),
证明如下：连接并延长交于点G,连接,
∵,
∴,
∵,
∴是的中位线,
∴,
∵是的直径,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴；
(2)∵,
∴,
∵,
∴,
∵
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
即,
∴,
∴.
