参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C D D B D B D
11．且 12．或24/24或 13． 14．①③⑥
15．或
16．（1）解：；
（2）解：．
17．解：根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，结果为奇数的有6种情况，为偶数有6种情况，
∴P（小明获胜）=；
P（小亮获胜）=；
∴P（小明获胜）P（小亮获胜），
∴这个游戏规则对双方公平．
18．（1）解：设百分率为x
，（舍）
答：4、5两月平均每月降价的百分率是．
（2）否，理由如下：
∵（元）＞8000元
∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破8000元
19．（1）解：设每件衬衫降价元，
根据题意得，
解得，
∵根据题意要为扩大销售量，
∴在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，即，
答：若商场平均每天要盈利元．则每件衬衫应降价元．
（2）解：设商场平均每天盈利，
根据题意可得：，
即：，
∴当时，取最大值，最大值为元．
∴降价元时，平均每天盈利最大．
20．（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，
∴无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根，
①∵当矩形 是正方形时，，即方程有两个相等的根，
∴，
解得，，
当时，一元二次方程为：，
∴，
解得，，
即，
故答案为：，；
②当矩形的对角线长为时，，
设方程的两个根据为，则，
∵，，
∴，整理得，，
解得，，
∴矩形的面积为．
21．（1）解：，之间的距离为：；
故答案为：5；
（2）作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，
，
，
，
设直线的一次函数表达式为，
把代入 解得 ，
当时，解得，即，
，
即为的最小值为．
（3）表示点到和的距离之和．
两点之间线段最短，则当点在以和为端点的线段上时，的值最小．
利用公式可得，点和之间的距离为．
即的最小值为．
22．解（1），
故答案为：；
（2）
，
（3），
又，∴，
上式，，
故方程为， 解得：．
23．（1）解：将，代入，
得：，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，解得，
直线的解析式为，
如图，作轴交于点H，
设，则，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）解：，，，
，，
；
设点N的坐标为，
当点N在x轴上方时，
，
，
整理得，
解得，
点N的坐标为或；
当点N在x轴下方时，
，
，
整理得，
解得，
点N的坐标为或；
综上可知，点N的坐标为或或或．
答案第1页，共2页2024-2025学年第一学期九年级数学联考试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．的平方根是
C．0.4的算术平方根是0.2 D．立方根等于本身的数是0和1
2．若，则（ ）
A． B．4 C．或4 D．或3
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月
B．买一张电影票，座位号是偶数号
C．晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来
D．在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化
4．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
5．中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺．
A．6 B．8 C．12 D．13
8．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC
的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．
过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映
S与x之间函数关系的图像是（ ）
B．
C．D．
10．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共15分）
11．在二次根式中的取值范围是 ．
12．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
13．若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是 ；
14．二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的
有 （填序号）．
已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，
则的值为 ．
三、解答题
16．计算（每题4分，共8分）
(1)
(2)
17．小明和小亮都想参加“象棋”社团活动，但受到名额限制，只能录取一人，他们用如图所示的两个转盘（每个转盘被平均分成面积相等的扇形）做游戏：同时转动两个转盘，若两次数字之差的绝对值为奇数，则小明胜；若两次数字之差的绝对值为偶数，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请你用列表法或树状图说明理由．（8分）
18．在国家的宏观调控下，长沙市的商品房成交价由今年3月分的12100元下降到5月分的10000元
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（精确到百分之一）（5分）
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破8000元？请说明理由．（4分））
19．某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售量，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件．
(1)若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ （5分）
(2)降价多少元时，平均每天盈利最大？（4分）
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根；（4分）
(2)矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根
①当 时，矩形 是正方形，此时正方形的边长是 ．（2分）
②当矩形的对角线长为时，求矩形的面积．（4分）
21．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，
∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式．
利用上面公式解决下列问题：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离；（3分）
(2)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，
求的最小值和此时点P的坐标；（4分）
应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．（3分）
22．贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题．
【问题解决】
（1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简；
【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式；（5分）
【问题迁移】（3）若，解方程．（5分）
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，．
(1)求抛物线的解析式；（4分）
(2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，
连接，求面积的最大值，及此时点的坐标；（5分）
(3)如图2，连接，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（2分）
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