2024-2025学年华东师大新版九年级上册数学期末复习试卷
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如果＝，则下列各式正确的是（ ）
A．＝ B．x＝2y C．＝0 D．y﹣x＝1
4．（4分）在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比，叫做这个锐角的（ ）
A．正切三角函数 B．余切三角函数
C．正弦三角函数 D．余弦三角函数
5．（4分）已知：点A（1，p），B（2，q），C（3，r）均在二次函数y＝x2+mx的图象上，且p＜q＜r，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣5
6．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝﹣3，则原方程可化为（ ）
A．（x+2）（x+3）＝0 B．（x+2）（x﹣3）＝0
C．（x﹣2）（x﹣3）＝0 D．（x﹣2）（x+3）＝0
7．（4分）将抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3向左移动2个单位长度，向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2+4 B．y＝﹣x2+4
C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣（x+2）2+1
8．（4分）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
9．（4分）如图，在 ABCD中，E是BC中点，F是BE中点，AE与DF交于点H，则S△EFH与S△ADH的比值是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，小正方形的边长均为1，则下列关于△ABC和△DEF的说法正确的是（ ）
A．△ABC和△DEF一定不相似
B．△ABC和△DEF是全等图形
C．△ABC和△DEF相似，且相似比是1：2
D．△ABC和△DEF相似，且相似比是1：4
11．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列说法正确的是（ ）
①ac＜0；
②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；
③a+b+c＞0；
④当x＞1时，y随x的增大而增大；
⑤2a+b＞0．
A．③④⑤ B．②③ C．①②④ D．①②③
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP；BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④＝；⑤DE2＝PF FC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）若方程4x2﹣8x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．（4分）在平面直角坐标系中，点A、B是抛物线y＝ax2（a＞0）上两点．若点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），则m n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝3，，点M、N在BD上运动，且，点E、F分别在BC、AD上，连接EM、NF，若∠MEC＝45°，ME∥NF，则ME+NF的值为 ．
16．（4分）某水库大坝的横截面是梯形，坝内坡面的坡度i＝1：，坝外坡面的坡度i＝1：1，则两个坡角的和为 ．
17．（4分）如图，人字梯保险杠两端点D，E分别是梯柱AB，AC的中点，梯子打开时DE＝38cm，此时梯脚的距离BC长为 cm．
18．（4分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝OD，OC＝OA+AB，∠ABD+∠ADB＝∠ACB．则的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（9分）计算：．
20．（9分）解方程：（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）；
（2）x2﹣5x﹣14＝0．
21．（9分）正方形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，过点P作PE⊥BP．
（1）如图1，如果PE与BC的延长线交于点E，则有△ ∽△BCP；
（2）如图2，如果PE与AD交于点E．
①求证：；
②探索：当点P运动到何处时，△BPE∽△BCP？并说明理由．
22．（9分）如果关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）＝0有两个相等的实数根，那么以a，b，c为三边的△ABC是什么三角形？请说明理由．
23．（10分）某校随机抽取了部分学生，对四种学生喜爱的球类运动：A．排球，B．足球，C．篮球，D．羽毛球，进行了随机抽样调查（每个学生都选择了其中一种自己喜爱的球类运动），并根据调查统计结果，绘制了如图①，②所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）共随机抽取了 名学生进行抽样调查．
（2）图②中表示A的扇形的圆心角是 度．
（3）图①中喜爱排球的4名学生中有3男1女，现打算从中随机选出2名学生参加校排球比赛，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率
24．（10分）我市某水产养殖中心，2014年鱼塘饲养鱼苗10千尾，平均每千尾鱼的产量为103千克，2015年计划继续向鱼塘投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾的产量将减少50千克．
（1）今年应投放鱼苗多少千尾，可以使总产量达到10450千克？
（2）该水产养殖中心今年应投放鱼苗多少千尾，可以达到最大总产量？最大总产量是多少千克？
25．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）．问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝mx2+x+2和C2：y＝nx2+x+2的开口都向下，C1C2与y轴相交于点A，过点A作x轴的平行线与C1相交于点B，与C2相交于点C，点C在线段AB上（点C不与点B重合）．
（1）点A的坐标是 ；
（2）如图，抛物线C1的顶点为P，AC的中点为Q，若m＝﹣，∠PQB＝45°，求n的值；
（3）直线x＝1与C1相交于点D，与C2相交于点E，当四边形CDBE是轴对称图形时，求n关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A A B D C B D C C
题号 12
答案 D
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．【解答】解：根据最简二次根式的定义可知：是最简二次根式．
故选：D．
2．【解答】解：由题意得3x﹣4＞0，
解得，
故选：B．
3．【解答】解：A、∵＝，由比例式的合比性质可得＝，故选项正确；
B、∵＝，∴2x＝y，故选项错误；
C、∵＝0，∴x﹣1＝0，∵＝，∴2x＝y，∴x﹣1＝﹣1，故选项错误；
D、，∵＝，∴2x＝y，∴y﹣x＝x，故选项错误．
故选：A．
4．【解答】解：在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比，叫做这个锐角的正切三角函数．
故选：A．
5．【解答】解：∵点A（1，p），B（2，q），C（3，r）均在二次函数y＝x2+mx的图象上，
∴p＝1+m，q＝4+2m，r＝9+3m；
又p＜q＜r，
∴1+m＜4+2m＜9+3m，
解得，m＞﹣3．
故选：B．
6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝﹣3，
∴2﹣3＝﹣p，2×（﹣3）＝q，
∴p＝﹣1，q＝﹣6，
∴原方程可化为（x﹣2）（x+3）＝0．
故选：D．
7．【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3向左移动2个单位长度，向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2+2）2﹣3+4，即y＝﹣x2+1．
故选：C．
8．【解答】解：①三角形的三边的长度为：，2，；
②三角形的三边的长度为：，，3；
③三角形的三边的长度为：2，2，2；
④三角形的三边的长度为：，3，；
∵＝＝，
∴相似三角形的是①和③，
故选：B．
9．【解答】解：由已知得，EF＝BC＝AD．
∵AD∥BC，
∴△EFH∽△ADH，
∴相似比是1：4，
∴S△EFH：S△ADH＝1：16．
故选：D．
10．【解答】解：AC＝1+1＝2，DF＝1+1+1+1＝4，
由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝，DE＝＝2，EF＝＝2，
所以＝＝＝，AC≠DF，
所以△ABC和△DEF一定相似（不全等），相似比是1：2，
故选：C．
11．【解答】解：①抛物线开口方向向上，∴a＞0，有抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴ac＜0，故正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为﹣1、3，∴方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3，故正确；
③∵x＝1时，y＝a+b+c，由图象知道，当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故错误；
④根据图象得抛物线对称轴为x＝1，而抛物线开口方向向上，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故正确；
⑤∵抛物线对称轴方程为x＝﹣＝1，∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，故错误；
故正确的有①②④．
故选：C．
12．【解答】解：∵△BPC为等边三角形，
∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，
∵FE∥BC，
∴△FEP∽△CPB，
又∵PB＝PC，
∴PE＝PF，
∴FC＝EB，
∵∠PBC＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴AE＝BE，
又∵BE＝FC，
∴AE＝FC，
故①正确；
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DPC＝∠PDC＝＝75°，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，
故②正确；
∵FD∥BC，
∴△FDH∽△CBH，
∴＝，
又∵△BHC与△DHC同高，
∴＝，
又∵＝，F不是AD中点，
∴＝≠，
∴≠，
故③错误；
过点D作DM⊥CP于M，过点P作PN⊥BC于N，
由题意可得∠DCM＝30°，∠CPN＝30，
∴DM＝CD，PN＝PC＝CD，
∴＝＝，
故④正确，
∵∠EPD＝180°﹣∠EPF﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣75°＝45°＝∠ADB，
∠PED＝∠PED，
∴△PED∽△DEB，
∴＝，
∴ED2＝PE BE，
又∵PE＝PF，BE＝FC，
∴DE2＝PF FC，
故⑤正确，
综上所述：正确的结论有4个，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣8）2﹣4×4×k＞0，
解得k＜4．
故答案为k＜4．
14．【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0）
∴抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，对称轴为y轴
∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），且3＜4，
∴m＜n
故答案为：＜．
15．【解答】解：过点M作MH⊥BC于点H，过点N作NK⊥AD于点K，如图所示：
设MH＝a，NK＝b，
在△BCD中，∠C＝90°，CD＝3，tan∠DBC＝，
∴tan∠DBC＝，
∴BC＝2CD＝6，
由勾股定理得：BD＝＝，
∵MN＝BD，
∴BM+DN＝BD＝＝，
∵∠MEC＝45°，MH⊥BC，
∴△MEH为等腰直角三角形，
∴EH＝MH＝a，∠HME＝∠HEM＝45°，
由勾股定理得：ME＝＝，
在Rt△BMH中，tan∠DBC＝，
∴BH＝2MH＝2a，
由勾股定理得：BM＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴tan∠ADB＝tan∠DBC＝，
在Rt△DNK中，tan∠ADB＝，
∴DK＝2NK＝2b，
由勾股定理得：DN＝＝，
∵MH⊥BC，NK⊥AD，AD∥BC，
∴MH∥NK，
又∵ME∥NF，
∴∠HME＝∠KNF＝45°，
∴△KNF为等腰直角三角形，
∴NK＝FK＝b，由勾股定理得：NF＝＝，
∴BM+DN＝＝，
∴a+b＝2，
∴ME+NF＝＝．
故答案为：．
16．【解答】解：设a、v分别表示内、外斜坡的坡角，
坝内斜坡的坡度i＝1：，说明tana＝，
则a＝30° 外斜坡的坡度i＝1：1，
说明tanv＝1，v＝45度，两角和为75°．
故答案为：75°．
17．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝38cm，
∴BC＝76cm，
故答案为：76．
18．【解答】解：如图，作DE∥AB交AC于E，
在△ABD中，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB＝180°，
又∵∠ABD+∠ADB＝∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB＝180°，
∵DE∥AB，
∴∠DEA＝∠BAE，∠OBA＝∠ODE，
在△AOB△和EOD中，
，
∴△OAB≌△OED（AAS），
∴AB＝DE，OA＝OE，
∵OC＝OA+AB＝OE+CE，
∴AB＝CE，
设AB＝DE＝CE＝x，OA＝OE＝y，AD＝m，BC＝n，
∵∠EDA+∠DAB＝180°，∠BAD+∠ACB＝180°，
∴∠EDA＝∠ACB，
∵∠DEA＝∠CAB，
∴△EAD∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴4y2+2xy﹣x2＝0，
∴（）2+﹣1＝0，
∴＝（负根舍去），
∴＝．
则的值为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．【解答】解：原式＝2﹣+1﹣（﹣3）+2×
＝2﹣+1+3+
＝6．
20．【解答】解：（1）移项得：3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
所以x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝；
（2）分解因式得：（x+2）（x﹣7）＝0，
所以x+2＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝7．
21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠PCD＝∠PCB＝90°，
又∵PE⊥BP，
∴∠BPE＝90°，
∴∠PBC＝∠CPE，
∴Rt△BCP∽Rt△BPE∽Rt△PCE，
故答案为△BPE∽△PCE；
（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C＝∠D＝90°，
又∵PE⊥BP，
∴∠BPE＝90°，
∴∠EPD＝∠PBC，
∴Rt△PED∽Rt△BPC，
∴＝；
②当点P运动到DC的中点时，△BPE∽△BCP．理由如下：
∵点P是DC的中点，
∴PD＝PC，
由（2）得PE：PB＝PD：BC，
∴PE：PB＝PC：BC，
∴PE：PC＝PB：BC，
∴Rt△BPE∽Rt△BCP．
22．【解答】解：△ABC是以a为斜边的直角三角形．
理由如下：
去括号，整理为一般形式为：（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0，
∵关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）＝0有两个相等的实数根．
∴Δ＝0，即Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝4（b2+c2﹣a2）＝0．
∴b2+c2﹣a2＝0，即b2+c2＝a2．
所以△ABC是以a为斜边的直角三角形．
23．【解答】解：（1）本次抽样的总人数为16÷40%＝40（名），
故答案为：40；
（2）图②中表示A的扇形的圆心角是360°×＝36°，
故答案为：36；
（3）画树状图如下：
共12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1男1女的结果为6种，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率＝＝．
24．【解答】解：（1）设今年多投放鱼苗x千尾，根据题意得
（1000﹣50x）（10+x）＝10450，
解这个方程得x1＝1，x2＝9，
10+x＝11或19．
答：今年投放鱼苗11千尾或19千尾，可以使总产量达到10450千克．
（2）设今年多投放鱼苗x千尾，总产量为y千克，根据题意得
y＝（1000﹣50x）（10+x）＝﹣50（x﹣5）2+11250，
当x＝5时，10+x＝15，y取最大值，最大值为y＝11250．
答：当该水产养殖中心今年投放15千尾鱼苗时，可以达到最大总产量，此时最大总产量为11250千克．
25．【解答】答：相似．
证明：延长FE和CD交于P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠EDP＝90°，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DPE中，，
∴△AFE≌△DPE（ASA），
∴PE＝EF，
∵EC⊥EF，
∴PC＝FC，
∴∠PCE＝∠FCE，
∵CE⊥EF，∠A＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠DEC，
即∠A＝∠EDC，∠AFE＝∠DEC，
∴△AFE∽△DEC，
∴∠AEF＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠FCE，
∴∠AEF＝∠ECF，
∵∠A＝∠FEC＝90°，
∴△AFE∽△EFC．
26．【解答】解：（1）在y＝mx2+x+2中，令x＝0时得y＝2，
∴A（0，2）；
故答案为：（0，2）；
（2）如图，作PH⊥AB，垂足为H，
∴∠PHQ＝90°，
∵∠PQH＝45°，
∴∠QPH＝45°，
∴PH＝QH．
当时，抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线C1的顶点P的坐标为，
∴点H的坐标为（1，2），
∴PH＝﹣2＝，
∵Q是AC的中点，
∴点Q在抛物线C2：y＝nx2+x+2的对称轴上，
∴点Q的坐标为（﹣，2），
∴HQ＝1﹣（﹣）＝1+，
∵PH＝QH，
∴1+＝，
解得：n＝﹣1；
（3）抛物线C1：y＝mx2+x+2的对称轴为直线x＝﹣，
∵AB∥x轴，点A（0，2），
∴点B的坐标为 （，2），
同理点C的坐标为 （﹣，2），
∵直线x＝1与C1相交于点D，与C2相交于点E，
∴点D（1，m+3），E（1，n+3），
∴AB与DE的交点F坐标为（1，2），
∴CF＝1﹣（﹣）＝1+，BF＝﹣﹣1，
∴DF＝m+3﹣2＝m+1，EF＝2﹣（n+3）＝﹣n﹣1，
四边形CDBE是轴对称图形，且CB⊥DE，
①当直线CB是对称轴时，如图，
∴DF＝EF，即m+1＝﹣n﹣1，
∴n＝﹣m﹣2（﹣1＜m＜0）；
②如图，当直线DE是对称轴时，
∴BF＝CF，即﹣＝1+，
∴n＝﹣（﹣1＜m＜﹣）；
③如图，当∠BFE的平分线所在的直线为对称轴时，
∴BF＝EF，CF＝DF，即﹣，1+＝m+1，
∴n＝（﹣1＜m＜0）；
综上所述，n＝﹣m﹣2（﹣1＜m＜0）或n＝﹣（﹣1＜m＜﹣）或n＝（﹣1＜m＜0）．
