上海市松江区第二中学 2024-2025 学年高一第一学期 12 月月考数学试
卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果 < 0 < ，那么下列不等式中正确的是( )
A. √ < √ B. 2 < 2 C. 3 < 3 D. > 2
2.已知 是锐角，那么2 是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180°的正角 D. 第一或第二象限角
, ≥ 0,
3.设 ∈ ，函数 ( ) = { 若 ( )恰有一个零点，则 的取值范围是( ) 2 2 , < 0.
A. (0,1) B. {0} ∪ [1,+∞)
1 1
C. ( 0 , ) D. { 0 } ∪ [ , + ∞)
2 2
( ) ( )
4.已知 ( )是定义在 上的偶函数，若 1、 2 ∈ [0,+∞)且 1 ≠ 2时，
1 2 > 2( 1 + 2)恒成立，且 1 2
(2) = 8，则满足 ( 2 + ) ≤ 2( 2 + )2的实数 的取值范围为( )
A. [ 2,1] B. [0,1] C. [0,2] D. [ 2,2]
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.角2023°是第象限角______．
6.函数 ( ) = √ 1 + lg(3 + 1)的定义域是______．
1
7.已知 为锐角，已知 = ，则 = ______．
5
8.不等式| + 3| ≥ 3的解集为______．
9.已知log35 = ，log37 = ，则用 ， 表示log359 = ______．
10.若关于 的不等式( + 1) + 2 3 < 0的解集为(1,+∞)，则实数 的值为______．
11.已知函数 ( ) = 3 + + 3，且 ( 2019) = 2019，那么 (2019)的值为______．
2 2 +4
12.已知 > 1，则 的最小值为 ．
1
13.关于 的方程 2 + = 0有两个不相等的实数根 1， 2，且满足1 < 1 < 2 < 2 < 3，则实数 的取
值范围是______．
1
+ 1, <
14.已知函数 ( ) = { ，若 ( )的值域为[1,5]，则实数 的取值范围是______．
2 2 + 2, ≤ ≤ 3
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15.已知函数 ( ) = log 4 | |2( + 3)， ( ) = 2 ，对于任意的 1 ∈ [ 1,1]都能找到 2 ∈ [ 1,1]，使得
( 1) = ( 2)，则实数 的取值范围是______．
16.已知函数 = ( )( ∈ ).对函数 = ( )( ∈ )，定义 ( )关于 ( )的“对称函数”为 = ( )( ∈ )，
= ( )满足：对任意 ∈ ，两个点( , ( ))，( , ( ))关于点( , ( ))对称，若 ( )是 ( ) = √ 4 关于
( ) = 3 + 的“对称函数”且 ( ) < ( )恒成立，则实数 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
1+
已知函数 ( ) = ln 的定义域为集合 ，集合 = ( , + 1)，且 ．
1
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证：函数 ( )是奇函数但不是偶函数．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = (log )23 2 3 2．
1
(1)当 = 时，求不等式 ( ) ≤ 0的解集；
2
(2)当 ∈ (1,27)时， ( ) ≥ 3，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计
)的日销售价格 ( )(单位：元)与时间 (单位：天)的函数关系近似满足 ( ) = 1 + ( 为正常数)，该商品的
日销售量 ( )(单位：个)与时间 部分数据如表所示：
(天) 5 10 15 20 25 30
( )(个) 55 60 65 70 65 60
已知第10天该商品的日销售收入为72元．
(1)求 的值；
(2)给出以下二种函数模型：
① ( ) = + ，
② ( ) = | 20| + ，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 ( )与时间 的关系，
并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入 ( )(1 ≤ ≤ 30, ∈ )(单位：元)的最小值．
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20.(本小题12分)
4 2
已知函数 ( ) = 2 + 5， ( ) =
2 + ．
(1)当 = 1时，若 ∈ [1,2]，求 ( )的最大值；
(2)若 ∈ [1,2]，求 ( )的最小值；
(3)若 ∈ [1,2]，使得 ( ) ≥ ( )成立，求 的取值范围．
21.(本小题12分)
设 = ( )是定义在[ , ]( < )上的函数，若存在 0 ∈ ( , )，使得 = ( )在区[ , 0]上是增函数，且
在区间[ 0, ]上是减函数，则称 = ( )为“含峰函数”， 0称为峰点，[ , ]称为含峰区间．
(1)试判断 = 2 + 6 是否为[0,6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；
(2)若 = 2 + + ( ≠ 0, 、 、 ∈ )是定义在[ , 3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0,4]，求
的取值范围；
(3)若 = 3 + ( ∈ )是[1,3]上的“含峰函数”，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】三
1
6.【答案】( , 1]
3
7.【答案】2√ 6
8.【答案】{ | ≤ 6或 ≥ 0}
2
9.【答案】
+
10.【答案】 2
11.【答案】 2025
12.【答案】2√ 3
9
13.【答案】( , 4)
2
1
14.【答案】[ 1, ]
4
15.【答案】[10,17]
16.【答案】( ∞, 12)
1+
17.【答案】解：(1)令 > 0，解得 1 < < 1，所以 = ( 1,1)，
1
≥ 1
因为 ，所以{ ，
+ 1 ≤ 1
解得 1 ≤ ≤ 0，
即实数 的取值范围是[ 1,0]；
(2)证明：函数 ( )的定义域 = ( 1,1)，定义域关于原点对称，
1 1+ 1+
( ) = ln = ln( ) 1 = ln = ( )，
1+ 1 1
1 1 1 1 1
而 ( ) = 3， ( ) = ln ，所以 ( ) ≠ ( )，
2 2 3 2 2
所以函数 ( )是奇函数但不是偶函数．
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1
18.【答案】解：(1)当 = 时，
2
1
( ) = (log 23 ) log3 2 ≤ 0，即(log3 + 2)(log3 1) ≤ 0， 2 ≤ log3 ≤ 1，解得 ≤ ≤ 3， 9
1
故所求不等式的解集为[ , 3]；
9
(2)令 = log3 ， ∈ (0,3)，
( ) ≥ 3，
则 2
1
2 2 ≥ 0，即2 ≤ + ，
1 1
+ ≥ 2√ = 2，当且仅当 = 1时，等号成立，
故2 ≤ 2，解得 ≤ 1，
故实数 的取值范围为( ∞, 1]．
19.【答案】解：(1)依题意可得，该商品的日销售收入 ( ) = ( ) · ( )，
因第10天该商品的日销售收入为72元，
则 (10) = (10) · (10)，
即(1 + ) × 60 = 72，解得 = 2，
10
故 的值为2．
(2)由表中的数据可知，当 变化时，日销售量并不单调，
则选择模型 ( ) = | 20| + ，
从表中取两组数，(10,60)，(20,70)代入 ( )中，
(10) = 10 + = 60 = 1
可得{ ，解得{ ，
(20) = = 70 = 70
即 ( ) = | 20| + 70，显然表中其它各组值均满足这个函数，
故函数的解析式 ( ) = | 20| + 70(1 ≤ ≤ 30, ∈ ).
2
(3)由(1)知， ( ) = 1 + ，1 ≤ ≤ 30， ∈ ，
+ 50,1 ≤ ≤ 20, ∈
由(2)知， ( ) = | 20| + 70 = { ，
+ 90,20 < ≤ 30, ∈
100
+ + 52,1 ≤ ≤ 20, ∈
( ) = ( ) · ( ) = ,
180
{ + + 88,20 < ≤ 30, ∈
100
当1 ≤ ≤ 20， ∈ ， ( ) = + + 52 在[1,10]上单调递减，在[10,20]上单调递增，
当 = 10时， ( )取得最小值 (10) = 72(元)，
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180
当20 < ≤ 30， ∈ ， ( ) = + + 88 在(20,30]上单调递减，
当 = 30时， ( )取得最小值 (30) = 64(元)，
显然72 > 64，则当1 ≤ ≤ 30， ∈ ， ( ) = (30) = 64 (元)，
故商品的日销售收入的最小值为64元．
4 2 2 1 19
20.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 2 + 5 = ( )
2 ．
2 4
2
由 ∈ [1,2]，得 ∈ [1,2]，
2
∴当 = 1时， ( )取得最大值为 5；
(2) ( ) = 2 + ，其对称轴方程为 = ，
2
当 ≤ 1，即 ≤ 2时，此时 = ( )在[1,2]上单调递增， ( ) = (1) = 1， 2
当1 < < 2，即2 < < 4时，此时 = ( )在[1, )上单调递减，在[ , 2]上单调递增，
2 2 2
2
( ) = ( ) = ， 2 4
当 ≥ 2，即 ≥ 4时，此时 = ( )在[1,2]上单调递减， ( ) = (2) = 4 ． 2
1, ≤ 2
2
综上， ( ) = { , 2 < < 4；
4
4 , ≥ 4
(3) ∈ [1,2]，使得 ( ) ≥ ( )成立，
4 2
故 22 + 5 ≥ + 在 ∈ [1,2]上恒成立，
2 4 2 2即 + 2 + + 5 ≤ 0，令 = + ，则 ∈ [2√ 2, 3]，
则 2 = 2
4
+ 2 + 4，即
2 4 + + 5 ≤ 0对任意 ∈ [2√ 2, 3]恒成立，
2+1
可得 ≥ 对任意 ∈ [2√ 2, 3]恒成立，
1
2
2+1 ( 1) +2( 1)+2 2
令 ( ) = = = 1 + + 2， ∈ [2√ 2, 3]，
1 1 1
当 = 3时， ( ) = (3) = 5．
∴ ≥ 5，即 的取值范围是[5,+∞)．
21.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 + 6 的图象开口向下，对称轴为 = 3的抛物线，
则 = 2 + 60在区间[0,3]上是严格增函数，在区间[3,6]上是严格减函数，
∴ = 2 + 6 是区间[0,6]上的“含峰函数”，峰点为3；
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(2)记函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)， ∈ [ , 3]， < 2，
则 ( )在区间[ , 2]上是严格增函数，在区间[2,3]上是严格减函数， < 0，
则{ = 2
= 4
2 ，解得{ ，
4 + 2 + = 4 = 4 + 4
∴ ( ) = 2 4 + 4 + 4 ( < 0)， ∈ [ , 3]，
则 ( )在[ , 2]上严格递增，在[2,3]上是严格减函数， (2) = 4， (3) = 0，
2 2
由 ( ) = 2 4 + 4 + 4 = 0，则 = 2 或 = 2 + (舍去)，
√ √
2
此时 ( ) = 2 4 + 4 + 4 ( < 0)， ∈ [2 , 3]，
√
2 2
则 ( )在[2 , 2]上严格递增，在[2,3]上严格递减， (2) = 4， (2 ) = 0．
√ √
综上，当 ∈【1，2)时， 的取值为 4；
2
当 = 2 时， 的取值范围是[ 4,0)．
√
(3)记 ( ) = 3 + ( ∈ )，设任意 1， 2 ∈ [1,2]，且 1 < 2，
则 ( 1) ( ) =
3
2 1 + 1 +
3
2 = ( )(
2 2
2 2 1 1 + 1 2 + 2 )，
当 ≤ 3时，由 1， 3 ∈ [1,2]，且 1 < 2，
可知 2 1 > 0，
2 2
1 + 1 2 + 1 < 4 + 4 + 4 ≤ 0，
∴ ( 2 1)(
2
1 +
2
1 2 + 2 ) < 0，∴ ( 1) < ( 2)，
则 ( )为[1,2]上严格增函数，不符合题目要求，
当3 < < 12时，设任意 1， 2 ∈ [1,√ ]，且 <
2
1 2，此时 1 +
2
3 1
2 + 2 < + + = 0， 3 3 3
2 > 0，则( )(
2
1 2 1 1 + 1 2 +
2
2 ) < 0，即 ( 1) < ( 2)， ( )为[1,√ ]上严格增函数， 3
设任意 1， 2 ∈ [√ , 2]，且 1 < 2，此时
2 2
1 + 1 2 + 2 > + + = 0， 3 3 3 3
2 1 > 0，则( 2 1)(
2
1 + 1 2 +
2
2 ) > 0，/∴ ( 1) > ( 2)， ( )为[1,√ ]上严格减函数， 3
∴ ( )是[1,2]上峰点为√ 的“含峰函数”，
3
综上， 的取值范围是(3,12)．
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