安徽省江南十校 2024-2025 学年高二（上）联考数学试题（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = ( 1,2,1) + (1,2,3)， ∈ }， = { | = (1, 2, 1) + (1,2,3)， ∈ }，则 ∩
=( )
A. {( 2,0, 2)} B. {0,4,4} C. {(0,4,4)} D.
2.条件 : > 0， > 0，条件 :方程 2 + 2 = 1表示的曲线是椭圆，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若点 (3, 4)是直线 1 + 1 + 2 = 0和 2 + 2 + 2 = 0的公共点，则相异两点 ( 1, 1)和 ( 2, 2)所
确定的直线 方程是( )
A. 3 4 + 2 = 0 B. 4 3 + 2 = 0 C. 3 4 2 = 0 D. 4 3 2 = 0
4.六氟化硫，化学式为 6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电
器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两
个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体).如图所示，在正八面体 中， 是△ 的重心，
记 = ， = ， = ，，则 等于( )
1 1 2 1 1 2
A. + + B. +
3 3 3 3 3 3
1 1 2 1 1 2C. D. + +
3 3 3 3 3 3
5.已知 = (2,1,1)是直线 的方向向量，直线 经过点 ( 1,0,1)，则点 (2,4,6)到直线 的距离为( )
5 5√ 2 5√ 6 3√ 6
A. B. C. D.
2 2 2 2
2 + 5
6.已知圆 的方程为 2 + 2 2 1 = 0， ( , )为圆 上任意一点，则 的取值范围为( )
2
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A. [ 1,2] B. ( ∞, 1] ∪ [2,+∞)
C. [1,3] D. ( ∞, 1] ∪ [3,+∞)
7.焦点为 (1,0)的抛物线 2 = 2 ( > 0)上有一点 (不与原点重合)，它在准线 上的投影为 。设直线 与
抛物线交于 ， 两点(| | < | |)，若| | = 2| |，则△ 的面积为( )
16√ 3 8√ 3
A. 8√ 3 B. C. 4√ 3 D.
3 3
2 2
8.若圆 : 2 + 2 = 2为双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的“伴随圆”，过 的左焦点 与右支上一点 ，
作直线 交“伴随圆” 于 ， ，若| |: | |: | | = 1: 2: 1，则 的离心率为( )
3√ 7 √ 73 √ 97
A. 3√ 2 B. C. D.
5 5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中真命题为( )
A. 过点 (3,2)与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条
B. 已知点 ( 2, 1)， (1,3)，则满足到点 距离为2，到点 距离为3的直线有且仅有3条
C. 过点 (2,3)与抛物线 2 = 4 仅有1个公共点的直线有3条
2 2
D. 过双曲线 = 1的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条
4 5
10.已知正方体 1 1 1 1的棱长为2，动点 满足 = + + 1，( , , ∈ 且 ≥ 0，
≥ 0， ≥ 0)，下列说法正确的是( )
A. 当 = 0， = 0， ∈ [0,1]时，| 1 | + | |的最小值为2√ 5
1
B. 当 = ， = 1， = 1时，三棱锥 1 的体积为3 2
C. 当 = 1， = 1， ∈ [0,1]时，经过 1， ， 三点截正方体所得截面面积的取值范围是[2√ 3, 4√ 3]
2√ 6 √ 3
D. 当 + + = 1，且| | = 时，则 的轨迹总长度为
3 3
11.过抛物线 : 2 = 2 上一点 (2,1)作斜率分别为 1， 2的两条直线，与 分别交于 ， 两点(异于点 )，
则( )
A. 过点 与 相切的直线方程为 = 1
B. 若点 ， 关于 轴对称，则 1 + 2为定值
C. 若 1 2 = 1，则直线 经过定点( 3, 2)
D. 分别以 ， ， 为切点作抛物线 的三条切线 ， ， ，若 ， 两点的横坐标相等，则 //
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.抛物线3 2 + 5 = 0的焦点坐标是 ．
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13.蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为30°时，
则水面椭圆的离心率为 ．
14.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1和 1上的点，则 与 1 所成角的余弦值范
围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 的圆心在直线 = 2 上，且经过 (6,2)， (4,6)两点.过定点 (4,1)的动直线 与圆 交于 ， 两点，
为坐标原点．
(1)求圆 的标准方程;
(2)求| + |的最大值．
16.(本小题15分)
2 2 2√ 3
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率 = ，左、右焦点分别为 1， 2， 为双曲线 右支上一 3
√ 6
点， 1与 轴交于点 ，且| | = | 2 |，| | = ． 3
(1)求双曲线 的方程;
5
(2)过右焦点 2且倾斜角为 ( < < )的直线交双曲线 于 ， 两点，若 的中点为 ， 为坐标原点，6 6
3√ 2 | |
直线 交直线 = 于点 ，求 的最小值．
2 | 2|
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 ⊥底面 ，△ 是边长为6的正三角形，
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， 分别是线段 和 上的点， = 4．
(1)试确定点 的位置，使得 //平面 ，并证明;
3
(2)若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
2
18.(本小题17分)
2 2 2 2 3
如图，已知椭圆 1: 2 + 2 = 1( > > 0)与椭圆 2: + = 1有相同的离心率， (1, )在 1上，过点 的 16 12 2
两条不重合的直线 1， 2与椭圆 1相交于 ， 两点，与椭圆 2相交于 ， 和 ， 四点．
(1)求椭圆 1的标准方程;
(2)求证：| | = | |;
(3)设直线 1， 2的倾斜角互补，求证：| | · | | = | | · | |．
19.(本小题17分)
设 和 是空间中的两个不同点，则 ， ， 三点共线的充要条件是存在实数 ∈ ，使得 = ，并且
每个实数 唯一对应直线 上的点 .仿照上面定义，设 ， ， 是共线的三个不同点，定义点 关于点 ， 的
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分比为( , ; ) = ．
1
(1)设( , ; ) = ( ≠ 1)， 为空间中任意取定的一点，求证： = + ;
1+ 1+
(2)若 ， ， ， 是共线的四个不同点，满足( , ; ) = ( , ; )，求( , ; ) ( , ; )的值;
(3)如图，设 ， 和 分别是△ 的边 ， 和 上的点，若三条直线 ， 和 交于一点 ，求证：
( , ; ) ( , ; ) ( , ; ) = 1．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】(0, )
12
1
13.【答案】
2
1
14.【答案】[0, ]
3
6 2
15.【答案】解：(1)易求 ， 中点坐标为 (5,4)， = = 2， 4 6
1 1 3
故 AB 中垂线为 4 = ( 5)，即 = + ，
2 2 2
与 = 2 联立解得圆心 点坐标为(1,2)，
圆的半径 = √ (1 6)2 + (2 2)2 = 5，
故圆 : ( 1)2 + ( 2)2 = 25，
(2)设 ， 中点坐标为 ，
∵ ⊥ ，故 点在 为直径的圆上，
设 中点 ，以 为直径的圆 的方程：( 4)( 1) + ( 1)( 2) = 0，
5 3 5
即( )2 + ( )2 = ，
2 2 2
故| + | = 2| | ≤ √ 34 + √ 10，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，
故| + |max = √ 34 + √ 10．
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16.【答案】解：(1)由题意结合双曲线的对称性可知| 1| = | 2| = | |，得∠ 2 1 = 90
，即 2 ⊥ 轴，
把 =
2 2 2
代入方程 2 2 = 1，可得
| 2| = | | =
，
又| | = 2| |， √ 6
2
，即 2√ 6，又 2√ 32 | | = = = = 3 3 3
2 2
解得 2 = 24， 2 = 8，∴双曲线 的方程为： = 1.
24 8
(2)设直线 的方程为： = + 2√ 2，联立方程
= + 4√ 2
{ 2 2 ，
= 1
24 8
化简得( 2 3) 2 + 8√ 2 + 8 = 0
8
设 ( 1, 1)， (
8√ 2 24√ 2
2, 2)则 1 + 2 = ， = ，结合直线 的方程得 + = ， 3 2 1 2 2 3 1 2 3 2
即 中点 坐标为 12√ 2 4√ 2 ( , )，
3 2 3 2
2+1
于是| | = √ ( 2 21 2) + ( 1 2) = 4√ 6 ， | 2 3|
5
(∵倾斜角 < < ，∴ √ 3 < < √ 3)
6 6
当 √ 3 < < √ 3时， = ， 3
直线 方程为： = ，
3
3 √ 2
令 = √ 2得
3√ 2 √ 2
( , )，此时 √ 3 √ 2 √ 2 +25
2 2 2 | 2| = (4√ 2 √ 2)
2 + ( )2 = ，
2 2 2
| | 8√ 3( 2+1)
于是 = ， 令
| | 2 2 = √
2 + 25 ∈ [5,2 7)，
2 (3 )√
√
+25
| | 8√ 3( 2 24) 8√ 3 8√ 3
则 = = =| 2| (28 2) 4 4( 2 1)
，
24 24
24 4
因为 在 ∈ [5,2√ 7)上单调增，即 24 在 ∈ [5,2√ 7)上单调减，
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8√ 3
亦即 4 在 ∈ [5,2√ 7)上单调增， 24
| | 8√ 3
所以当 = 5即 = 0时， 取得最小值 ，
| 2| 15
| |
综上： 的最小值为8√ 3．
| 2| 15
17.【答案】解：(1)取 为 三等分点，且 = 3 ，
2
过 作 // ，则 = = ，
3
所以 为平行四边形，所以 // ，
又 面 ， 面 ，
所以 //平面 ，证毕;
(2)由题意平面 ⊥底面 ，平面 ∩底面 = ⊥ ，所以 ⊥面 ，
所以直线 与平面 所成角的平面角为∠ ，
3
在 △ 中，由tan∠ = = ，得 = 4．
2
设 中点为 ，设 中点为 ，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (3,0,0)， (3,6,0) ( 3,6,0)， ( 1,0,2√ 3)， = ( 4,0,2√ 3)， = (2, 6,2√ 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 4 + 2√ 3 = 0
由{ ,
= 2 6 + 2√ 3 = 0
取 = √ 3，可得 = (√ 3,√ 3, 2)，
易求平面 法向量 = (0,0,1)，
设平面 与平面 夹角为 ∈ (0, )，
2
2 √ 10
则cos = |cos < ， > | = = = ，
| | | | √ 3+3+4 5
故平面 与平面 夹角的余弦值为√ 10．
5
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2
1 4
18.【答案】解：(1)由题意知， = √ 1 2 = ∴
2 = 2，
2 3
3 1 9
又∵ (1, )在椭圆 1上，∴2 2 + 2 = 1， 4
∴ 2 = 3， 2 = 4，
2 2
故椭圆 1: + = 1 4 3
(2)若 斜率不存在或为0，由对称性知：| | = | |；
若 斜率存在且不为0，设 中点为 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2 2 2
则 1 + 1 = 1 ①， 2 + 2 = 1 ②
16 12 16 12
① ②得：
( 1 2)( 1+ 2) ( 1 2)( 1+ + 2
)
= 0，
16 12
1 2 0 3 3． = ，即 4 = ， 1 2 0 4
3
设 中点为 ′，同理可得： ′ = ， 4
3
又 = ，故 与 ′重合． 4
∵ | | = | |，| | = | |，∴ | | = | | | | = | | | | = | |，得证．
(3)由题意可知 1， 2不垂直于 轴．
由(2)知：| | = | |，同理| | = | |，∴ | | = | | + | | = | | + | | = | |，
同理| | = | |，即证：| ||| | = | || |．
3
设直线 : = ( 1)，
2
2 2 3 3
代入 + = 1，整理得：(3 + 4 2) 2 + 8 ( ) + 4( )2 48 = 0．
16 12 2 2
2 3 2
12 8 4( ) 48
设 ( 3, 3)， ( 4, 4)，则 3 + =
2
4 2 ， 3 4 = 2 = 0．
3+4 3+4
36
| | | | = √ 1 + 2|1 3| · √ 1 + 2|1 4| = (1 +
2)|1 ( 3 + 4) + 3 4| = (1 +
2) × 2，
3+4
因为直线 1， 2的倾斜角互补，则 2的斜率为 ，
36
同理可得| || | = (1 + ( )2) × 2 = | | | |，得证．
3+4( )
19.【答案】解：(1) ∵ = ，
∴ = ( )，
∴ (1 + ) = + ，
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1
∴ = + ;
1 + 1 +
(2)设( , ; ) = ，即 = ，
∵ ， ， 是共线的三个不同点，
故 ≠ 0．
所以 = ( )，
(1 + ) = = ，
1 1
= 1 ，即( , ; ) = 1 ．
1
同理( , ; ) = ，
所以( , ; ) ( , ; ) = 1．
(3)设( , ; ) = , ( , ; ) = , ( , ; ) = ，因为 ， 和 三点共线，( , ; ) = ，
1
由(1)可得： = + ①
1+ 1+
又因为 ， ， 三点共线，所以存在 ∈ ，使得 = ，代入①式可得：
1+
+ + = 0 ②
同理，利用( , ; ) = , ( , ; ) = ，
可以找到实数 和 ，使得 + + = 0 ③
+ + = 0 ④
联立②③消去 ，
联立②④消去 ，可得：(1 ) + ( ) = 0 ，
( ) + ( 1) = 0 ，
又因为 , 和 中任意两个向量不共线，故有1 = = = 1 = 0，
1 1 1
由此得出 = , = , = ， = 1，
即( , ; ) ( , ; ) ( , ; ) = 1．
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