2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高一上学期12月月考数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
6.下列各组角中，终边相同的角是( )
A. 与 B.
C. 与 D. 与
7.已知，则实数，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成级科赫曲线“”，将级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到级科赫曲线，同理可得级科赫曲线在分形中，一个图形通常由个与它的上一级图形相似，且相似比为的部分组成．若，则称为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是( )
A. B. C. D.
10.年月日是全球首个国际圆周率日历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形各边均与圆相切的正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达方式是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知，且则 ．
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ．
13.若扇形所在圆半径为，圆心角为弧度，则该扇形面积 ，周长为 ．
14.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ．
15.已知函数为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论：
当时，在区间上单调递增；
当时，是偶函数；
当时，有个零点；
当时，对任意，都有．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知集合．
求；
记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
17.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是，空气温度是 ，则经过时间分钟后物体温度 可以由公式求得若把温度是的物体放在的空气中冷却到，大概需要多少分钟？精确到参考数据：
18.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，．
求的值；
求的解析式；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.已知函数请从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．
条件：
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答记分．
求实数的值；
设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；
设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由．
20.已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为．
对于数列：，，，，，，，，，，写出集合及，；
求证：不可能为；
求的最大值以及的最小值．
参考答案
1.
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15.
16.解：因为即，
所以，所以；
由，可得或，
所以或，进而可得，
所以或，．
解：因为，
所以，所以，
所以；
又或，
若，则，所以，
所以实数的取值范围是
17.由题知代入，
得，即，
，
解得，
即把温度是的物体放在的空气中冷却到，大概需要分钟．
18.因为函数是定义在的奇函数，所以．
因为当时，，
所以当时，，，
所以．
由题，函数是定义域为单调减函数，且为奇函数，
所以由，可得，
即，所以，
所以恒成立，
因为在时有最小值，最小值为，
所以，即，
所以实数的取值范围是．
19.解：令，解得，
所以函数的定义域为，
若选：因为，即为奇函数，
则，
整理得，
注意到对任意上式均成立，可得，解得；
若选：因为，即为偶函数，
则，
整理得，
注意到对任意上式均成立，可得，解得．
若选：则，可得，
可知函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，且，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上单调递减；
若选：则，可得，
可知函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，且，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上单调递减．
若选：则，则，
由可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，
可知在内单调递减，
又因为为奇函数，则在内单调递减，
且在内单调递减，可知在内单调递减，
结合，，
可知在内有且仅有一个零点；
若选：则，则，
由可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，
可知在内单调递减，
又因为为偶函数，则在内单调递增，
且在内单调递增，可知在内单调递增，
结合，，
可知在内有且仅有一个零点．
20.数列：，，，，，，，，，，
对任意的，若，则，且，
设集合，
集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为，
因为，
，
所以，，．
假设，
设，
则，
即，因为，所以，
同理，设，可以推出，
中有两个元素为，与题设矛盾，故假设不成立，
故，
所以不可能为．
的最大值为，的最小值为．
首先求，由知，而是可能的．
当时，
设
则即，
又
得，即．
同理可得：．
对于数列：，，，，，，，，，
此时，，，满足题意．
所以的最大值为；
现证明：的最小值为．
先证明为不可能的，假设．
设，
可得，即，元素最大值为，所以．
又，
同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以．
数列为：，，，，，，，，，时，
，，，中元素的最大值为．
所以的最小值为．
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