北师大版数学
九年级上册期末全书复习（A）
考试时间:120分钟 满分150分
一、单选题（本大题共10小题，总分40分）
1．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示几何体的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直且相等，那么这个四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
4．方程（x+2）2＝1的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝3，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
5．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．将△ABC沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④
6．考查函数的图象，当y＞﹣1时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜0 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2或x＞0
7．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，则a2+2023a﹣b的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2026 D．2028
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AE、AF，BD交AF于点G，若BE＝3，∠EAF＝∠ABD，则DG的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②mn＝0；③S△AOP＝S△BOQ；④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
11．关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
12．如图，AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝15，则DE＝ ．
13．如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 ．
14．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AB＝3OD，则k的值为 ．
15．如图，正方形ABCD和正方形DEFG中，A，D，E在同一条直线上，AD＝2DE，P为BC的中点，延长FG交AB于点Q，连接PQ，CQ，连接PF分别交CQ，CD于点M、N，下列说法：①△FNG≌△PNC；②∠BCQ＝∠PFQ；③S△CFN：S四边形BPMQ＝3：7；④FN＝2PM；⑤FP平分∠CFQ．其中正确的结论有 ．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．按要求解下列方程：
（1）用配方法解方程：x2﹣8x﹣1＝0；
（2）用公式法解方程：2x2﹣9x+10＝0．
17．已知，求代数式的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值．
19．校德育处为了解初三学生对“杨中春晚”的喜爱程度，随机抽取了男、女各50名学生进行问卷调查，问卷共30道选择题，每题一分．现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：x≤15，B组：15＜x≤20，C组：20＜x≤25，D组：25＜x≤30，x表示问卷测试的分数，大于20分为“超喜欢”），其中男生得分处于C组的得分情况分别为：25，25，25，24，24，24，23，23，22，22，22，22，22，21．
男生，女生得分的平均数，中位数，众数，“超喜欢”人数百分比如表所示：
组别 平均数 中位数 众数 “超喜欢”人数所占百分比
男 20 m 22 72%
女 20 23 20 n
（1）填空：m＝ ，n＝ ，并补全条形统计图；
（2）已知该校初三年级共有男生350人，女生420人，请估计该校初三年级参加问卷调查分数处于C组的总人数；
（3）已知初三某班刚好有2名男生2名女生参与这次随机问卷测试，德育处决定从这4人中抽取2人为幸运观众，参加“杨中春晚”现场的抽奖活动，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．
20．如图，在△ABC中，D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连结CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB＝15，求EF的长．
21．小明周末到公园里散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一座景观塔BD（如图），假设小明行走到M处时正好透过树顶C看到景观塔的第5层顶端E处，此时他的视角为30°，已知树高AC＝10米，景观塔BD共6层（塔顶高度和小明的身高忽略不计），每层5米．请问，小明再向前走多少米刚好看不到景观塔BD？（结果保留根号）
22．解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
23．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若，MD＝5，求AB的长．
24．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD AB，理由如下：
∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°． ∴∠A+∠ACD＝90°． ∴∠B＝①． ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD． ∴②． ∴AC2＝AD AB．
请完成填空：① ；② ；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
25．如图1，已知双曲线y（x＞0），直线l1：yk（x）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）．
（1）若k＝﹣1，求△OAB的面积；
（2）若AB，求k的值；
（3）如图2，若N（0，），点P在双曲线上，点M在直线l2：y＝﹣x上，且PM∥x轴，求PM+PN的最小值，并求出此时点P的坐标．
答案
一、单选题（本大题共10小题，总分40.0分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D D D D D C C
二、填空题（本大题共5小题，总分20.0分）
11．．
12．6．
13．6．
14．24．
15．①②④．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．解：（1）x2﹣8x﹣1＝0，
x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝17，
（x﹣4）2＝17，
，
x﹣4或x﹣4，
∴；
（2）2x2﹣9x+10＝0，
∵a＝2，b＝﹣9，c＝10，
Δ＝（﹣9）2﹣4×2×10＝81﹣80＝1＞0，
∴，
∴．
17．解：设k，
∴x＝3k，y＝4k，z＝5k，
∴2．
18．解：（1）由题意有Δ＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，
整理得8m+8≥0，
解得m≥﹣1，
∴实数m的取值范围是m≥﹣1；
（2）由两根关系，得x1+x2＝﹣2（m+1），x1 x2＝m2﹣1，
（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2
（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16＝0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16＝0，
∴m2+8m﹣9＝0，
解得m＝﹣9或m＝1
∵m≥﹣1
∴m＝1．
19．（1）解：男生C组的百分比为，
∴，
女生C组的人数为50﹣2﹣13﹣20＝15（人），
补全的条形统计图如图：
∴，
故答案为：24.5，70%；
（2），
答：估计该校参加问卷测试成绩处于C组的人数约为224人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的一男一女的结果有8个，
所以恰好抽到的一男一女的概率．
20．解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴AEAB15＝10，
∵DF∥CE，
∴，
∴，
∴EFAE．
21．解：连接DC并延长交BM于点N，
由题意得，BE＝5×5＝25（米），BD＝5×6＝30（米），
在Rt△ACM中，
∵∠M＝30°，AC＝10，
∴AM＝10，
在Rt△BEM中，
∵∠M＝30°，BE＝25，
∴BM＝25，
∴AB＝BM﹣AM＝251015，
∵AC∥BD，
∴△ACN∽△BDN，
∴，
设NA＝x，则NB＝x+15，
∴，
解得，x，
∴MN＝MA﹣NA＝10（米），
答：小明再向前走米刚好看不到景观塔BD．
22．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，OB＝OD＝2，
设AM长为x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2，在Rt△ABD中，BD2＝AD2+AB2，
即BM2﹣AM2＝BD2﹣AD2，
可得：，
解得：x＝3，
∴，
答：AB长为4．
24．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°．
∴∠A+∠ACD＝90°．
∴∠B＝∠ACD．
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD．
∴．
∴AC2＝AD AB．
故答案为：∠ACD；；
（2）△AEB是直角三角形，理由：
∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AF AE，
由（1）得AC2＝AD AB，
∴AF AE＝AD AB，
∴，
∵∠FAD＝∠BAE，
∴△AFD∽△ABE，
∴∠ADF＝∠AEB＝90°，
∴△AEB是直角三角形．
25．解：（1）当k＝﹣1时，l1：y＝﹣x+2，
联立得，
化简得x2﹣2x+1＝0，
解得：x11，x21，
设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）．
∴S△OAB＝S△AOC﹣S△BOC 2 （x2﹣x1）＝2；
（2）根据题意得：，
整理得：kx2（1﹣k）x﹣1＝0（k＜0），
∵Δ＝[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）＝2（1+k2）＞0，
∴x1、x2是方程kx2（1﹣k）x﹣1＝0的两根，
∴x1+x，x1x2，
∴AB2＝（x1﹣x2）2+（）2
＝（x1﹣x2）2+（）2
＝（x1﹣x2）2[1+（）2]
，
∴AB，
即，
整理得，2k2﹣5k+2＝0，
即（2k+1）（k+2）＝0，
解得k＝﹣2或k．
（3）∵直线l1：yk（x）（k＜0）过定点F，
∴F（，），
如图，连接FN，
设P（x，），则M（，），
则PM＝x，
∵PF，
∴PM＝PF．
∴PM+PN＝PF+PN≥NF＝2，
当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y＝﹣x+2，
由（1）知PP（1，1），
∴当PP（1，1）时，PM+PN最小值是2．
。
