专题 圆的证明与计算
1．如图，是的直径，点、在上，平分，是弧的中点，连接交于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2．如图，为的直径，弦于E，连接，过A作，交于点F，连接，过B作，交的延长线于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
3．如图，在中，以为直径的交于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若点E是的中点，求的值．
4．如图，在Rt△ABC中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的长．
5．已知在Rt△ABC中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行经，交于点E，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求．
6．如图，Rt△ABC中，，点D为斜边的中点，以为直径作，分别与边交于点E、F，过点E作，垂足为G．
(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径为6，若，求BE的长．
7．如图，已知为的直径，分别与相切于点点D是延长线上一点，连接，且．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，，求y关于x的函数解析式．
8．如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．
9．如图，A，B，C，D是上的点，于点H．
(1)求证：；
(2)若H为OA的中点，且，求AD的长．
10．AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BCOP交⊙O于C，PO交⊙O于D，
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．
11.如图，是的直径，点是的内心，的延长线交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的值．
12．如图，是半圆的直径，是半圆的切线（即圆的切线）．连接，交半圆于点，连接．过点作直线，且．
(1)求证：直线是半圆的切线；
(2)求证：点是线段的中点；
(3)若，，求线段的长．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)6
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵平分，
∴，
∴，
∵是弧的中点，
∴，
∴，
∵与所对均为，
∴ =，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，如图所示：
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，是弧的中点，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
由（1）得
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得：（负根舍去），
∴
2．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上，，
∴，
∵，，
∴，∴四边形中，，
∴半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵直径于E，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴E为的中点，
∴，，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴
．
3．(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：连接CD，连接OD，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴．
∵为半径，
∴是的切线．
（2）解：由（1）知，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即：点为的中点，
∴，则，
∴为等边三角形，
∴，则，
设的半径为，
则：，
∴，，，
由勾股定理可得：，，
∴，
∴，
∴，
即：．
4．(1)直线与相切，理由见详解
(2)
【详解】（1）相切，理由如下，
如图，连接，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）设的半径为，
∵在中，有，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
在中，有，，
∴，
∴，，
在中，．
5．(1)见详解．
(2)
【详解】（1）证明：连接，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D在⊙O上，
∴是⊙O的切线；
（2）连接，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴．
6．(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵中，D为边中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴EG是的切线．
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴．
7．(1)证明见详解
(2)y
【详解】（1）证明：连接，
∵与相切于点E，
∴，
∵是半径
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示：过点C作于点F，则．
∵，
∴．
由切线长定理可得：，
∴
，
在中，
∵
∴．
整理得：y，
则y关于x的函数关系式为：y．
8．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图，
由（1）得，
∵，
∴，
∴的长．
9．(1)见详解
(2)2
【详解】（1）证明：∵于点H，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵H为OA的中点，
∴，
∵于点H，
∴，即：，
∴，
∴，
连接，则，,
把绕点A顺时针旋转120°得到，延长，使，连接，
则，，
∵，
∴，即C、D、F三点共线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．（1）见详解；（2）10．
【详解】证明：（1）连OC，如图，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，
而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，
∴∠AOP=∠POC，
又∵OA=OC，OP公共，
∴△POA≌△POC，
∴∠PAO=∠PCO，而PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC为⊙O的切线；
（2）连AD，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，而DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ABD，
由（1）得∠AOP=∠COP，
∴∠ABD=∠DAF，
∴∠DAG=∠ADF，
∴AF=DF=FG=5，
∴AC=5+5+6=16．
∴AH=AC=8，
又∵OA=OD，
∴Rt△AOH≌Rt△DOE，
∴DE=AH=8．
∴EF=DEDF=85=3，
在Rt△AEF中，AE=，
设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，有
r2=82+（r4）2
∴r=10．
所以⊙O的半径为10．
11.(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：点是的内心，
，．
，，，
，
；
（2）解：连接．
是的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
12.(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线是半圆的切线；
（2）证明：∵为半圆的切线，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点是线段的中点；
（3）解：设长为，则，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
在中，
根据勾股定理，可得：，
解得：，（舍去），
∴．
