广东省信宜市信宜中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题
1．（2024高二上·信宜期中）已知，，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
2．（2024高二上·信宜期中）已知直线：，：，且，则（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．3
3．（2024高二上·信宜期中）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·信宜期中）已知A，，三点不共线，点不在平面内，（，），若A，，，四点共面，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024高二上·信宜期中）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·信宜期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·信宜期中）已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·信宜期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·信宜期中）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则 B．若A与B互斥，则
C．若P(AB)=0.1，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则
10．（2024高二上·信宜期中）已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二上·信宜期中）三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ）
A．5 B． C． D．6
12．（2024高二上·信宜期中）已知，，若B关于平面的对称点为C，则 ．
13．（2024高二上·信宜期中）已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为 .
14．（2024高二上·信宜期中）曲线围成的图形的周长为 ，面积为 ．
15．（2024高二上·信宜期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程；
（2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程.
16．（2024高二上·信宜期中）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”．
（1）判断事件A，B是否相互独立；
（2）分别求事件和C的概率．
17．（2024高二上·信宜期中）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，P在线段上，且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
18．（2024高二上·信宜期中）的三个顶点分别是，，.
（1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程；
（2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程；
（ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
19．（2024高二上·信宜期中）在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.
（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；
（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.
提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；
②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据直线平行的判定定理列式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：因为第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，
所以两次面试都没有通过的概率为：，
所以该同学通过面试的概率为：.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求两次都没通过的概率，再根据对立事件的概率求法求解即可.
4．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为A，，，四点共面，所以，
则，又因为，所以，当且仅当时等号成立，
即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】先利用已知条件求得，再利用基本不等式求的最大值即可.
5．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：已知如图所示：
记点，则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】设点，利用斜率公式求出直线、的斜率，再结合图象求解即可．
6．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆化为标准方程为，
故圆的圆心为，半径，
因为，故点在圆的内部，
且，
所以的取值范围为：.
故答案为：C.
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，再判断点和圆的位置关系，利用几何性质求解即可.
7．【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意，这直线的方程为，
因为、之间的距离与点到的距离均为，所以
，解得，
所以直线的方程为，即，故直线在轴上的截距为.
故答案为：B.
【分析】由题意，设直线的方程为，根据题意列出关于、的方程组，求解，结合直线的斜截式求在轴上的截距即可.
8．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则、、，
设，、、，设中点为，中点为，由得，则，
即，
又，同理可得，
即，即，
即，故有，
且，，，
，
故，
由可得，
故，故.
故答案为：B.
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围．
9．【答案】B,C
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：A、由，则，故A错误；
B、由A与B互斥，得，故B正确；
C、由，得，则A与B相互独立，故C正确；
D、由A与B相互独立，得相互独立，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式逐项分析判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立，解得，即点，
直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为，
①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即；
②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：BD.
【分析】先求直线的交点坐标，再分类讨论所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点两种情况，结合点斜式求解即可.
11．【答案】B,C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：三棱锥中，由可得，，
则是二面角的平面角，如图所示：
，
而，，，
，
因为平面与平面的夹角为，
则当时，，
当时，，
所以的长度可以为，.
故答案为：BC.
【分析】以向量为基底表示向量，再利用空间向量数量积运算求的长度即可.
12．【答案】
【知识点】向量的模；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：因为点关于平面的对称点为，
所以，
故答案为：.
【分析】根据对称性，先求点关于平面的对称点，再利用向量的模公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题可知平面的一个法向量为，
又，故点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据空间向量法，结合点面距公式求解即可.
14．【答案】；
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积、周长即可，
当，时，曲线可化为：，
表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，如图所示：
则第一象限围成的面积为，
则第一象限围成的周长（半个圆周）为：，
故曲线围成的图形的面积为.
故曲线围成的图形的周长为为.
故答案为：，.
【分析】由题意，作出曲线的图象，由图可得曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解即可.
15．【答案】解：（1）由题意可得，，
则线段的中点为，，即直线的垂直平分线的斜率为，
则线段垂直平分线的方程为，
故斜截式方程为；
（2）设直线的截距式方程为，
则①，②.
由①②解得，，，
故直线的截距式方程为.
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）先求点中点的坐标，再根据斜率公式求得求得线段垂直平分线的斜率，从而得到线段垂直平分线的斜截式方程；
（2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程.
16．【答案】（1）解：由题可知，事件“”，事件“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件的所有情况为：，共5种情况，
所以，
事件的所有情况为：，
共11种情况，所以，
事件的所有情况为：，所以，
，所以与不相互独立；；
（2）解：，事件“”，事件的所有情况为：
，共12种情况，
所以.
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由题意，求事件A，B，的基本事件以及个数，再利用古典概型的公式计算出的概率，最后根据独立事件的定义判断即可；
（2）由得出，求出事件C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可.
（1）解：由题可知，事件“”，事件“至少有一颗骰子的点数为5”，
则事件的所有情况为：，共5种情况，
所以，
事件的所有情况为：，
共11种情况，所以，
事件的所有情况为：，所以，
，所以与不相互独立.
（2），
事件“”，事件的所有情况为：
，共12种情况，
所以.
17．【答案】（1）证明：在正三棱柱中，因为为的中点，所以，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由，，可知：，，，，，，
所以，，，
因为，所以，
又因为，所以，
由于平面，所以平面；
（2）解：由，，设平面的法向量为，
则，令，
所以可取法向量为，
由，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用正三棱柱的性质，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直，即可证明线面垂直；
（2）利用空间向量法求解即可.
（1）在正三棱柱中，因为为的中点，所以，
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，，可知：，，，，，，
所以，，，
因为，所以，
又因为，所以，
由于平面，所以平面，
（2）由，，设平面的法向量为，
则，令，
所以可取法向量为，
由，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：设线段的中点为，则，
因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为，
又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为，
所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为；
（2）解：（ⅰ）设圆的方程为（其中）
因为三点都在圆上，可得，
解得，满足，
所以所求圆的方程为，即
（ⅱ）设的坐标是，点的坐标是，
因为的坐标是，且，
所以，解得，
又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即，
代入得，整理得，
点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆．
【知识点】斜率的计算公式；直线的一般式方程；圆的一般方程；轨迹方程
【解析】【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程求解即可；
（2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得圆的方程；
（ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入求解即可.
（1）解：设线段的中点为，则，
因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为，
又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为，
所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为.
（2）解：（ⅰ）设圆的方程为（其中）
因为三点都在圆上，可得，
解得，满足，
所以所求圆的方程为，即
（ⅱ）设的坐标是，点的坐标是，
因为的坐标是，且，
所以，解得，
又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即，
代入得，整理得，
点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆．
19．【答案】（1）解：球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，
由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，
代入即；
（2）解：球心为，球面方程为，
又，在球面上，故.
切面的法向量为，
则切面方程为：：
，
代入得到：，
于是，
设点到平面的距离为，
因为，所以
运用等体积法：设的面积为，
因为，
所以
，
当且仅当同时，即时等号成立，
故面积的最小值为.
【知识点】基本不等式；球的表面积与体积公式及应用；平面的法向量；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用球的体积公式和求解即可；
（2）根据已知条件写出球面方程和切面方程，分别求出，，三点坐标，利用空间向量求出点到平面的距离，利用等体积法求出面积的表达式，最后利用基本不等式求最小值即可.
（1）球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，
由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，
代入即；
（2）球心为，
球面方程为，
又，在球面上，故.
切面的法向量为，
则切面方程为：
：
，
代入得到：，
于是，
设点到平面的距离为，
，
运用等体积法：设的面积为，
，
，
（当且仅当同时，即取等），
所以面积的最小值为.
广东省信宜市信宜中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题
1．（2024高二上·信宜期中）已知，，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求解即可.
2．（2024高二上·信宜期中）已知直线：，：，且，则（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据直线平行的判定定理列式求解即可.
3．（2024高二上·信宜期中）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：因为第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，
所以两次面试都没有通过的概率为：，
所以该同学通过面试的概率为：.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求两次都没通过的概率，再根据对立事件的概率求法求解即可.
4．（2024高二上·信宜期中）已知A，，三点不共线，点不在平面内，（，），若A，，，四点共面，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为A，，，四点共面，所以，
则，又因为，所以，当且仅当时等号成立，
即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】先利用已知条件求得，再利用基本不等式求的最大值即可.
5．（2024高二上·信宜期中）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：已知如图所示：
记点，则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】设点，利用斜率公式求出直线、的斜率，再结合图象求解即可．
6．（2024高二上·信宜期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆化为标准方程为，
故圆的圆心为，半径，
因为，故点在圆的内部，
且，
所以的取值范围为：.
故答案为：C.
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，再判断点和圆的位置关系，利用几何性质求解即可.
7．（2024高二上·信宜期中）已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意，这直线的方程为，
因为、之间的距离与点到的距离均为，所以
，解得，
所以直线的方程为，即，故直线在轴上的截距为.
故答案为：B.
【分析】由题意，设直线的方程为，根据题意列出关于、的方程组，求解，结合直线的斜截式求在轴上的截距即可.
8．（2024高二上·信宜期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则、、，
设，、、，设中点为，中点为，由得，则，
即，
又，同理可得，
即，即，
即，故有，
且，，，
，
故，
由可得，
故，故.
故答案为：B.
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围．
9．（2024高二上·信宜期中）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则 B．若A与B互斥，则
C．若P(AB)=0.1，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则
【答案】B,C
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：A、由，则，故A错误；
B、由A与B互斥，得，故B正确；
C、由，得，则A与B相互独立，故C正确；
D、由A与B相互独立，得相互独立，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式逐项分析判断即可.
10．（2024高二上·信宜期中）已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立，解得，即点，
直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为，
①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即；
②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：BD.
【分析】先求直线的交点坐标，再分类讨论所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点两种情况，结合点斜式求解即可.
11．（2024高二上·信宜期中）三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】B,C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：三棱锥中，由可得，，
则是二面角的平面角，如图所示：
，
而，，，
，
因为平面与平面的夹角为，
则当时，，
当时，，
所以的长度可以为，.
故答案为：BC.
【分析】以向量为基底表示向量，再利用空间向量数量积运算求的长度即可.
12．（2024高二上·信宜期中）已知，，若B关于平面的对称点为C，则 ．
【答案】
【知识点】向量的模；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：因为点关于平面的对称点为，
所以，
故答案为：.
【分析】根据对称性，先求点关于平面的对称点，再利用向量的模公式求解即可.
13．（2024高二上·信宜期中）已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为 .
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题可知平面的一个法向量为，
又，故点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据空间向量法，结合点面距公式求解即可.
14．（2024高二上·信宜期中）曲线围成的图形的周长为 ，面积为 ．
【答案】；
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积、周长即可，
当，时，曲线可化为：，
表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，如图所示：
则第一象限围成的面积为，
则第一象限围成的周长（半个圆周）为：，
故曲线围成的图形的面积为.
故曲线围成的图形的周长为为.
故答案为：，.
【分析】由题意，作出曲线的图象，由图可得曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解即可.
15．（2024高二上·信宜期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程；
（2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程.
【答案】解：（1）由题意可得，，
则线段的中点为，，即直线的垂直平分线的斜率为，
则线段垂直平分线的方程为，
故斜截式方程为；
（2）设直线的截距式方程为，
则①，②.
由①②解得，，，
故直线的截距式方程为.
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）先求点中点的坐标，再根据斜率公式求得求得线段垂直平分线的斜率，从而得到线段垂直平分线的斜截式方程；
（2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程.
16．（2024高二上·信宜期中）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”．
（1）判断事件A，B是否相互独立；
（2）分别求事件和C的概率．
【答案】（1）解：由题可知，事件“”，事件“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件的所有情况为：，共5种情况，
所以，
事件的所有情况为：，
共11种情况，所以，
事件的所有情况为：，所以，
，所以与不相互独立；；
（2）解：，事件“”，事件的所有情况为：
，共12种情况，
所以.
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由题意，求事件A，B，的基本事件以及个数，再利用古典概型的公式计算出的概率，最后根据独立事件的定义判断即可；
（2）由得出，求出事件C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可.
（1）解：由题可知，事件“”，事件“至少有一颗骰子的点数为5”，
则事件的所有情况为：，共5种情况，
所以，
事件的所有情况为：，
共11种情况，所以，
事件的所有情况为：，所以，
，所以与不相互独立.
（2），
事件“”，事件的所有情况为：
，共12种情况，
所以.
17．（2024高二上·信宜期中）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，P在线段上，且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明：在正三棱柱中，因为为的中点，所以，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由，，可知：，，，，，，
所以，，，
因为，所以，
又因为，所以，
由于平面，所以平面；
（2）解：由，，设平面的法向量为，
则，令，
所以可取法向量为，
由，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用正三棱柱的性质，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直，即可证明线面垂直；
（2）利用空间向量法求解即可.
（1）在正三棱柱中，因为为的中点，所以，
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，，可知：，，，，，，
所以，，，
因为，所以，
又因为，所以，
由于平面，所以平面，
（2）由，，设平面的法向量为，
则，令，
所以可取法向量为，
由，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
18．（2024高二上·信宜期中）的三个顶点分别是，，.
（1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程；
（2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程；
（ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
【答案】（1）解：设线段的中点为，则，
因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为，
又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为，
所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为；
（2）解：（ⅰ）设圆的方程为（其中）
因为三点都在圆上，可得，
解得，满足，
所以所求圆的方程为，即
（ⅱ）设的坐标是，点的坐标是，
因为的坐标是，且，
所以，解得，
又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即，
代入得，整理得，
点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆．
【知识点】斜率的计算公式；直线的一般式方程；圆的一般方程；轨迹方程
【解析】【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程求解即可；
（2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得圆的方程；
（ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入求解即可.
（1）解：设线段的中点为，则，
因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为，
又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为，
所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为.
（2）解：（ⅰ）设圆的方程为（其中）
因为三点都在圆上，可得，
解得，满足，
所以所求圆的方程为，即
（ⅱ）设的坐标是，点的坐标是，
因为的坐标是，且，
所以，解得，
又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即，
代入得，整理得，
点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆．
19．（2024高二上·信宜期中）在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.
（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；
（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.
提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；
②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.
【答案】（1）解：球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，
由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，
代入即；
（2）解：球心为，球面方程为，
又，在球面上，故.
切面的法向量为，
则切面方程为：：
，
代入得到：，
于是，
设点到平面的距离为，
因为，所以
运用等体积法：设的面积为，
因为，
所以
，
当且仅当同时，即时等号成立，
故面积的最小值为.
【知识点】基本不等式；球的表面积与体积公式及应用；平面的法向量；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用球的体积公式和求解即可；
（2）根据已知条件写出球面方程和切面方程，分别求出，，三点坐标，利用空间向量求出点到平面的距离，利用等体积法求出面积的表达式，最后利用基本不等式求最小值即可.
（1）球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，
由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，
代入即；
（2）球心为，
球面方程为，
又，在球面上，故.
切面的法向量为，
则切面方程为：
：
，
代入得到：，
于是，
设点到平面的距离为，
，
运用等体积法：设的面积为，
，
，
（当且仅当同时，即取等），
所以面积的最小值为.
