无锡市天一实验学校2024秋学期期末模拟考试
九年级数学 2024.12
考试时间：120分钟 满分分值：150分
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共计 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请把正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置上．）
1．一元二次方程的解是…………………………………………… （ ▲ ）
A．， B．， C．， D．，
2.已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离OP = 4cm，则点P ………… ▲
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是……… （ ▲ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是……………… （ ▲ ）
A.开口向下 B.对称轴是直线 C. 与轴有两个交点 D.顶点坐标是(1, 2)
5．如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是…………………………………………… （ ▲ ）
A．4 B．6 C．7 D．12
6.如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝4，则AD的长是…… （ ▲ ）
A．3 B． C． D．
7．“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为……………………（ ▲ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
8．如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是………………………………………………………………………… （ ▲ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为……………（ ▲ ）
A. 9 B. 10 C. 9 D. 10
10．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为 …………………………………………………………………（ ▲ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题（本大题共 8 小题，每题 3分，共计 24 分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
11、已知，则的值为____▲_____
12、若x＝2是一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根，则a＝ ▲ ．
13．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．
14．如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ▲ ．
15．请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：____▲ ______．
16．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ▲ ．
17．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．（结果保留）
18．如图，中，，，是上一点，，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值▲
三、解答题（本大题共 10 小题，共计 96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）
19．（本题满分 16 分）解方程：
(1)． (2)． （3）2x2﹣5x﹣1＝0； （4）
▲ ▲ ▲ ▲
20．（本题满分8分）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． ▲ ▲ ▲
21．（本题满分8分）如图，在中，D是上一点，已知．
(1)求证：；
(2)已知，，求的度数．
▲ ▲ ▲
22．（本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)若和关于原点O成中心对称，画出；
(2)将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标____▲______；
(3)直接写出（2）中线段在旋转过程中扫过的面积▲．
23．（本题满分8分）自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门．
(1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为 ▲ _．
(2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？
▲ ▲ ▲
24、（本题满分 8分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°,则弓形BEG的面积为___▲___．（如需画草图，请使用图2）
图1 图2
25．（本题满分 10分）如图，在中，，为的直径．
与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
▲ ▲ ▲
26．（本题满分 10分）
2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价）▲▲▲
27．（本题满分 10 分）
已知，E、F分别为□ABCD的边BC、AD上的动点，将□ABCD沿直线EF折叠，使点C落在边AB上的点C′处，点D的对应点为D′．
如图，当点D′落在BA的延长线上时，
求证：四边形EC′D′F为平行四边形；
（2）若AB＝BC，∠B＝60°，EC′⊥AB，则的值为_▲__；
若AB＝5，BC＝6，□ABCD的面积为24，求CE的取值范围．
▲ ▲ ▲
28．（本题满分 10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． ▲ ▲ ▲无锡市天一实验学校2024秋学期期末模拟考试
九年级数学参考答案 2024.12
一、选择题(本大题共10题，每小题3分，共30分)
1.B 2. A 3. D 4.C 5. B 6.B 7.A 8.C 9.A 10. D
二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分）
11. 2/5 12. 1 13. 14. 12 15. （答案不唯一）
16. 108 17. 18.
三、解答题（本大题共10小题，满分96分）
19. （本题满分16分）
（1）解：
………（2分）
；………（4分）
（3）解∵a=2，b=-5，c=-1，
………（2分）
∴x=，
∴x1=，x2=；………（4分）
20.（本题满分8分）
（1）证明：由题意得， ………（2分）
， ………（4分）
∴无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵，∴， ………（6分）
解得， ………（7分）
∵方程有一个不小于4的根，∴，∴． ………（8分）
21．（本题满分8分）
（1）证明：∵=，
，……（4分）
（2）解：，，
，，
． ………（8分）
.22．（本题满分8分）
解：如图1，即为所求；………（2分）
（2）如图2，即为所求，点的坐标为；
（2）如图2，即为所求，点的坐标为； ………（6分）
（3）如图3，根据旋转的性质可得，，
∵，
∴线段在旋转过程中扫过的面积
………（8分）
23．（本题满分8分）
（1）解：∵售卖区垂直于墙的边的长为，
∴边的长为． ………（2分）
（2）解：依题意，得， ………（4分）
整理，得，
解得，． ………（6分）
当时，；当时，．
答：售卖区的长为，宽为或长为，宽为．………（8分）
24．（本题满分8分）
解：（1）图略；……………………………………………………… （4分）
（2）4－8．……………………………………………… （8分）
25．（本题满分10分）
（1）证明：连接，，，，，， …（3分）
．，，是的半径，是的切线； ………（5分）
（2）解：如图，过点作于点，则，
四边形是矩形，，，，，………（7分） ，，，………（8分）
，， ………（9分）
是的直径，． ………（10 分）
26．（本题满分10分）
解：（1）由题意，设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为（132﹣x）元．
∴3x+5（132﹣x）＝540．∴x＝60．∴每件B类特产的售价132﹣60＝72（元）．………（3 分）
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意，∵每件A类特产降价x元，
又每降价1元，每天可多售出10件，
∴y＝60+10x＝10x+60（0≤x≤10）．
答：y＝10x+60（0≤x≤10）． ………（5 分）
（3）由题意，∵w＝（60﹣50﹣x）（10x+60）+100×（72﹣60） ………（7 分）
＝﹣10x2+40x+1800＝﹣10（x﹣2）2+1840． ………（9 分）
∵﹣10＜0，
∴当x＝2时，w有最大值1840．
∴A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． ………（10 分）
27．（本题满分10分）
√
2
解：（1）由折叠性质得D′F∥C′E，
∴∠BC′E＝∠D′，………………………………………………………………（1分）
∴AD∥BC，∴∠B＝∠D′AF，…………………………………………………（2分）
∵AB＝CD＝C′D′，∴BC′＝AD′，……………………………………… （3分）
∴△BC′E≌△AD′F，
∴D′F＝C′E，……………………………………………………………………（4分）
∴四边形EC′D′F为平行四边形；（说明：其它解法酌情给分）
（2）∵□ABCD，AB＝BC，
∴□ABCD是菱形，
设BC′＝1，∵∠B＝60°，∴求得BC＝2＋
∵∠D′C′G＝30°，∴D′G＝，C′G＝，
∴AG＝1＋－－＝，
∵∠AFG＝30°，∴AF＝1，∴DF＝＋1，
∴＝＋1；………………………………………………………………（7分）
（3）求CE取值范围即是求C′E取值范围．
当C′E⊥AB时，C′E最小，
作AH⊥BC，∵BC＝6，□ABCD的面积为24，∴AH＝4，∴BH＝3，
设CE＝C′E＝x，∴BE＝6－x，
∵△ABE∽△EBC′，解得x＝，∴CE的最小值为；………………………（8分）
当C′与A重合时，C′E最大，
在Rt△AEH中，∵16＋(x－3)2 ＝x2，∴x＝，
∴CE最大值为，…………………………………………………………………（9分）
∴≤CE≤．……………………………………………………………………（10分）
28．（本题满分10分）
（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，解得：，∴； ………………（2分）
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，∵时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：； …………………（5分）
（3）存在；
当时，解得：，当时，，∴，，
设直线的解析式为，把代入，得：，∴，
设，则：，
∴，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为； …………………（8分）
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． …………………（10分）
