2024学年第一学期12月初三数学学习素养调研
（完卷时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知一坡面的坡度，则坡角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知一个单位向量，设、、是非零向量，那么下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则有，或
C. D. 若，，则
3. 下列4×4正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A B. C. D.
4. 如图，已知表示两幢相距米的大楼，小明在大楼的底部测得其顶部在的玻璃幕墙上的反射点的仰角为度，那么大楼的高度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5. 如图，在平行四边形中，上一点，，连接，且交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表
0 1 3 4 5
根据上表，下列判断正确的是（ ）
A 该抛物线开口向上
B. 沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降
C. 该抛物线一定经过点
D. 该抛物线的对称轴是直线
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：_______．
8. 已知为锐角，且，那么的余弦值为_______．
9. 已知线段，点在线段上，且，那么线段的长_____ ．
10. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，点在边上，且，设，，那么_______．
11. 如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是______．
12. 如图，在中，，点在上，且，垂足为交于，如果四边形和的面积都为6，那么的面积为_______．
13. 已知抛物线的对称轴在轴的右边，则这个抛物线的开口方向_________________．
14. 如果梯形的两底分别为和，高为，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是_______．
15. 如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米（结果保留根号）．
16. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______．
17. 在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么_______．
18. 如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边交边于点，如果，那么的值是_______．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
20. 如图，和相交于点，点在上，，．
（1）求长；
（2）已知，求的面积．
21. “阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）．
22. 图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．
（1）求该支架的边的长；
（2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：）
23. 如图，四边形是菱形，点在的延长线上且交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明．
25. 已知：如图，在中，是边上的中线，点是线段上一动点（点不与重合）．
（1）当时，求证：；
（2）设，求关于的函数解析式，并指出的取值范围；
（3）连接，当与相似时，求的长．
2024学年第一学期12月初三数学学习素养调研
简要答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】##
【9题答案】
【答案】##
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】20
【13题答案】
【答案】向下
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】2.
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】
【18题答案】
【答案】##
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
【19题答案】
【答案】
【20题答案】
【答案】（1）
（2）4
【21题答案】
【答案】小杰这次掷铅球的成绩为米
【22题答案】
【答案】（1）7米 （2）6.5米
【23题答案】
【答案】（1）证明略
证明略
【24题答案】
【答案】（1），，
（2）2 （3）存在；
【25题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
（3）或
