2024-2025学年上学期12月九年级数学月考试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 ( )
2. 解一元二次方程. 配方后正确的是 ( )
3. 桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃，从中随机抽取一张，则( )
A. 能够事先确定抽取的扑克牌的花色 B. 抽到黑桃的可能性大
C. 抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大 D. 抽到红桃的可能性大
4. 已知⊙O的半径为4, OP=3, 则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O外 D. 不能确定
5. 圆锥的母线长为3，底面半径为1，则这个圆锥侧面展形图的圆心角为( )
A. 120° B. 110° C. 105° D. 100°
6. 已知一元二次方程 的两根分别为m, n, 则m+n+ mn的值是 ( )
A. 4 B. 3 C. - 3 D. - 4
7. 如图, 正六边形ABCDEF中, P是边ED的中点, 连接AP, 则 为( )
8. 老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中选择两名担任旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是 ( )
C. D.
9. 如图, Rt△ABC中, ⊙O是△ABC的外接圆, CE切⊙O于点 C, AE⊥CE于点E, 交⊙O于点D, 则AD的长为( )
D. 1
10. 已知二次函数 当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程 的两根之积为 ( )
C. - 1 D. 0
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11. 在平面直角坐标系中， 点 关于原点的对称点P'的坐标是 .
12. 如图，一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 .
13. 某村种的水稻前年平均每公顷产7200kg，今年平均每公顷产8450kg. 设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为 .
14. 已知O, I分别是△ABC的外心和内心, ∠BOC=144°, 则∠BIC的大小是 .
15. 在△ABC 中, ∠ACB=90°, ∠ABC=30°, △CDE 是等边三角形, 点 D 在边 AB 上, 点 E 在△ABC 外部,EH⊥AB 于点 H, 过点E作GE∥AB, 交线段AC的延长线于点 G, AG=5CG, BH=3. 则CG的长 .
16. 抛物线 (a, b,c是常数), 且a+b+c=0, 有下列结论:
①该抛物线经过点 (1, 0); ②若a=b, 则抛物线经过点(-2, 0); ③若a, c异号, 则抛物线与x轴一定有两个不同的交点; ④点A (x , y ), B (x , y ) 在抛物线上, 且. 若a
三、解答题(共72分)
17. (8分) 若关于x的一元二次方程 有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根.
18.(8分) 如图, 在△ABC中, AB=BC, ∠ABC=120°, 点 D 在边 AC上, 且线段 BD绕着点 B 按逆时针方向旋转120°能与BE重合, 点 F是ED与AB的交点.
(1) 求证: AE=CD;
(2) 若∠DBC=45°, 求∠BFE的度数.
19.(8分) 在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个(除颜色外完全相同)，其中白球2个，红球、黄球各1个.
(1) 从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是 ；
(2) 若摸到红球得1分，摸到白球得 2分，摸到黄球得3分. 甲同学随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学至少得4分的概率.
20.(8分) 如图, 以△ABC的一边AC为直径的⊙O与其它两边 BC, AB的交点分别为D, E, 且DE=DC.
(1) 求证: AB=AC;
(2) 若⊙O的半径为5, BD=6, 求AE的长.
21. (8分)在如图所示的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示. 每个任务不超过三条线
(1) 如图1,⊙O经过网格线交点A和格点B, 作一条弦MN, 使得MN=AB且MN∥AB, 再作AB的中点C;
(2) 如图2, ⊙O经过网格线的交点D, E两点, P点O外一点, 作△PDE的高线PF;
(3) 在(2) 条件下, 在图3中⊙O上取两点G, H, 使△DGH是正三角形
22.(10分)如图①：是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分. 据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图②：所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡 OA 的底部(原点 O 处)，石块从投石机竖直方向上的点 C 处被投出，在斜坡上的点A 处建有垂直于水平面的城墙AB， 已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是(50，25)，OC=5，OD=75, AD=12, AB=9;
(1) 求石块运动轨迹所在抛物线的表达式；
(2) 请判断石块能否飞越城墙AB，并说明理由；
(3) 分别求出0≤x≤37.5和37.5
(1) 如图1，连接BG、DE，判断BG与DE的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2) 当正方形 AEFG旋转至图2位置时, 连接 CF、BE, 分别取 CF、BE的中点 M、N, 连接 MN, 猜想 MN与BE的
数量关系与位置关系，并说明理由；
(3) 连接BE, BF, 分别取 BE、BF的中点 N, Q, 连接QN,. ，当正方形 AEFG绕点 A旋转一周时，请直接
写出线段QN扫过的面积.
24. (12分) 如图1, 已知抛物线 的对称轴是直线. , 且经过点 (3, 8),抛物线与x轴相交于A,B两点 (B点在A点右侧).
(1) 求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
(2) 如图2, 已知Q(1, 0), E(0, m), F (0, m+1), 点P是第一象限的抛物线 上的一点，
①当 时，求使四边形EFPQ的面积最大时的点 P 的坐标；
②若. ，求m为何值时，四边形EFPQ的周长最小 2024-2025年武汉经开外国语学校九年级12月月考数学试卷答案
一、选择题
1-5 DCBBA 6-10 AACDB
二、填空题
11.（-3，4）
12.
13. 7200（1+x）2＝8450，
14. 126°或144°
15. 2
16. ①②③
三、解答题：
17.解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，
∴1﹣b+2＝0，解得：b＝3，
把b＝3代入方程得：x2﹣3x+2＝0，
设另一根为m，可得1+m＝3，解得：m＝2
18. （1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
19.解：（1）球，事件“摸到白球”的概率是，
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，
∴甲同学至少得4分的概率为．
20. （1）∵AC为⊙O的直径，
∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠B+∠BCE＝90°，
∵，
∴∠CAD＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠B，
∴AB＝AC；
（2）连AD，CE，
由AB=AC，△ABC为等腰三角形，AD⊥BC
∴BD=CD=6，故AD=8，
面积法：BC×AD=CE×AB，得CE=
在Rt△AEC中，AE=
21.
22. 解：（1）设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣50）2+25，
把（0，5）代入，得2500a+25＝5，解得a．
∴y（x﹣50）2+25x2x+5；
（2）石块不能飞越防御墙AB，理由如下：
把x＝75代入y（x﹣50）2+25；得y＝20，
∵20＜12+9，
∴石块不能飞越防御墙AB；
（3）设直线OA的解析式为y＝kx，把（75，12）代入得，k，
∴直线OA的解析式为yx，
过抛物线上的点M作MN⊥x轴交OA于N，
设M（m，m2m+5），则N（m，m），
∴MNm2m+5，对称轴为x40，
∵a＜0，在对称轴的左侧MN随x的增大而增大，
∴0≤x≤37.5时，a＝37.5时，MN最大为，
37.5＜x≤75时，a＝40时，MN最大为．
答：0≤x≤37.5时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为；37.5＜x≤75时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为．
23.（1）∵正方形ABCD，正方形AEFG
∴AB=AD,AE=AG，∠BAD=∠GAE=90°
∴∠BAD+∠DAG=∠GAE+∠DAG,即∠BAG=∠DAE
∴△BAG≌△DAE
（2）中线倍长
BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CH∥EF，
∴∠FCH＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMH＝∠FME，
∴△CMH≌△FME（ASA），
∴CH＝EF，ME＝HM，
∴AE＝CH，
∵CH∥EF，AG∥EF，
∴CH∥AG，
∴∠HCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCH，
又∵BC＝AB，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∴∠HBE＝∠CBA＝90°，
∵MH＝ME，点N是BE中点，
∴BH＝2MN，MN∥BH，
∴BE＝2MN，MN⊥BE
（3）点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．
24. 解：（1）根据题意知，．
解得．
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5．
由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x+1）（x﹣5）知，A（﹣1，0），B（5，0）；
（2）
①如图1，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，如图1，设P（m，n），则OC＝m，PC＝n，
∵点P在抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x+5上，
∴n＝﹣m2+4m+5，
∴S四边形EFPQ＝S梯形PFOC﹣S△EOQ﹣S△QCP（2+n）×m1×1（m﹣1）×n＝mn，
∴S四边形EFPQm2+3m+2，
当m3时，S最大．
当m＝3时，n＝﹣9+12+5＝8，
∴P（3，8）
因此当四边形EFPQ的面积最大时，点P的坐标为（3，8）．
②如图2，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，如图2，作Q关于O的对称点Q1，连接EQ1，则Q1（﹣1，0），
由（1）得B（5，0）A（﹣1，0）Q（1，0），
∴QB＝4，
∵PQ＝PB，
∴QD＝DBQB＝2，
∴OD＝3，
当x＝3时，y＝﹣9+13+5＝8，此时点P（3，8），
PQ、EF的长固定，要使四边形的周长最小，即EQ+PF最小即可，
当EQ1∥PF时，EQ+PF最小，即四边形的周长最小，
设直线PF的关系式为y＝k1x+b1，直线EQ1的关系式为y＝k2x+b2，
由题意得：，，
∴k1，k2＝m，
当k1＝k2时，EQ1∥PF，即：m，
解得：m．
因此当m时，四边形EFPQ的周长最小．
