嘉祥一中高二上学期 12 月月考
数学试题
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将答題卡交回。
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知抛物线 y2 2px(p 0),焦点到顶点的距离为1,则该抛物线的准线方程为（ ）
1
A. y 1 B. x C. x 1 D. x 1
2
2.已知直线 l1 : A1x B1y C1 0, l2 : A2x B2 y C2 0, 若 l1 / /l2 ,则（ ）
A. A1B2 A2B1 B. A1A2 B1B2 0 C. A1B2 A2B1 ,A1C2 A2C1 D. A1B2 A2B1 ,C1 C2
3.从集合{1,2,3,4,5}中依次不放回的任取两个数，记事件 A “第一次取出的数字是1”，事件
B “取出的两个数之和为7”，下列说法不．正．确．的是（ ）
A.事件 A,B 1相互独立 B. p(A) p(B) C. AB为不可能事 D. p(A B) p(A) p(B)
5
4.已知向量 a 2 3,0,2 ，向量b 1,0, 3 ，则向量 a在向量b上的投影向量为（ ）
A. 3,0,1 B. 3,0,3 C. 1,0, 3 1D. , 0,
3
4 4
x2 y2
5.已知双曲线C： 2 2 1（ a 0，b 0）的左、右焦点分别为F1，F2，点 P是C上一点，且a b
π
F1PF2 ， PF2 3 PF1 ，则C的离心率为（ ）3
7 6 7
A． B． C． 7 D．
4 2 2
6.在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形， PA 底面 ABCD,PA BC,E,F分别为CD,PC的中
点，则直线 PE与平面 ABF所成角的正弦值为（ ）
1 2 2 2 2
A． B． C． D．
3 3 3 6
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}
PA
7.已知点 A( 3,0),B(3,0),动点 P满足 2,设 P点的轨迹为曲线 ,直线 l : x y 1 0PB 与 交
于C,D两点，则弦长 CD ( )
A． 2 2 B． 4 2 C． 2 D．4
x2 y2 38. 设椭圆C : 2 2 1(a b 0)的右焦点为 F，点M 1, 2 在C上，且MF x轴，过点 F 且斜率a b
为 1的直线与椭圆C交于 A,B两点，则 AOB的面积为（ ）
6 2
A. B． 4 2 C． 2 2 D． 6
7 7 7 7
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.给出下列四个命题，下列说法不．正．确．的是（ ）
A．若向量 a与向量b， c共面，则存在实数 x, y,使a xb yc
B．若存在实数 x, y,
使MP xMA yMB，则点P,M , A,B四点共面
C．直线 a的方向向量为 a 1,0, 1 ，平面 的法向量为m 1,1,1 ，则 a
D．若平面 经过三点P 1,2,0 ，Q 1,0, 1 ，T 0,1,0 ，向量 n 1, x, y 是平面 的法向量，则
x y 2
10．已知圆Q：x2 y 2 2 8，点 A(x0 , y0 )在直线 l : x y 6 0上，过 A(x0 , y0 )作圆Q的两条
切线 AM ， AN（M ， N为切点），则下列判断正确的是（ ）
A． AM 2 6,
B．当 AN x轴时（N 在第二象限），四边形 AMQN的面积为 6 2
C．直线MN的方程为 x0x (y0 2)y 2y0 4 0
D．圆心Q到直线 l的距离为4 2
11. 如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 是棱 BC 的中
点，N 是棱DD1上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A. 若N 是棱DD1的中点，则四面体D1 AMN 的外接球的表面积为7π
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}
B. 三棱锥 A1 AMN 的体积为定值
C.若 N 是棱DD1的中点，则过 A,M ,N三点的平面截正方体 ABCD A1B1C1D1所得的截面图形是
三角形
3 6
D. 若CN 与平面 AB1C所成的角为 ，则 sin ,3 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.在等差数列 an 中，已知 a5 11,a1 a2 a3 15,则 an .
x2 y2
13.已知双曲线C： 2 2 1(a 0,b 0)的两个焦点分别为F1，F2， P是 C 上任意一点且满a b
P F P x a
2
足 点到 1 的距离与 点到直线 的距离之比为 2, 则双曲线 C 的渐近线方程c
为 .
14．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1,3,4，
乙的卡片上分别标有数字 1,2,5，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡
片上数字之和的大小，数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
（1）已知数列 an 的前 n项和为 sn n2 n 1, (n N * ),求该数列的通项公式 an .
（2）已知数列 an 满足 2an 1 an an 2 , (n N *), 且 a1 a3 a5 96,a2 a4 a6 90,求 a20.
16. （15 分）
某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6.若每位面试者
共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽到第3次为止.
（1）求李明第二次答题通过面试的概率；
（2）求李明最终通过面试的概率.
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}
17. （15 分）
2
已知抛物线 y 2px p 0 的焦点为 F， A x1，y1 为抛物线上一点，且 AF x1 1，直线 AF 与
抛物线交于另一点 B，点C在抛物线的准线上，且 BC / /x轴.
(1)若线段 AB中点的纵坐标为 2，求直线 AB的方程；
(2)求证：直线 AC经过原点.
18. （17 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，且
BC 2 2,AB 2, ABC=45 , 平面PAB 平面 ABCD，PA PB BC．
（1）求证：平面 PAB 平面 PAC；
（2）点Q是棱 PC上靠近点P的三等分点，求直线 AD与平面 BDQ所成
角的正弦值；
（3）求点C到平面 BDQ的距离．
19. （17 分）
y2
已知双曲线Γ : x2 1, (b 0),左右顶点分别为 A1, A2 ，过点M 2,0 2 的直线 l交双曲线Γ于b
P,Q两点.
（1）若直线 y kx双曲线Γ交于 A,B两点，G(x0 , y0 )为Γ上任意一点，且直线GA,GB的斜率
存在，分别记为 k1,k2 ,若 k1k2 3,求b的值；
b 2 6（2）若 ,△MA2P为等腰三角形，且点 P在第一象限，求点 P的坐标；3
（3）连接OQ，直线OQ交双曲线Γ于另一点 R，若 A1R A2P 1，求双曲线Γ的离心率 e取值
范围．
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}2024—2025学年度第一学期 12月月考
高二数学试题答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D C A B D C B A
二、多选题
9 10 11
ACD ACD BD
5.由双曲线定义知 PF2 PF1 2a，因为 PF2 3 PF1 ，所以 PF1 a， PF2 3a，
π PF 2 PF 2 F 2
在 F PF 中，因为 FPF ，FF 2c，所以 cos F PF 1 2 1
F2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 ，3 2 PF1 PF2 2
a2 9a2 4c2 1
即 ，化简得7a2 4c2，所以双曲线C
7
的离心率为 e .
2 a 3a 2 2
9.ACD对于 A，如果a为非零向量，且与b不共线，而b与 c共线，则 a xb yc不成立，
r ur r ur
故 A 错误；对于 B，运用四点共面定理推论可知 B 正确；对于 C，a m 0，则 a m，则 a / / ，故 C 错误；
对于 D，向量 n 1, x, y 是平面 的法向量，则 n PQ，n PT ，即 n PQ 0，n PT 0，又 PQ (2, 2, 1)，
PT (1, 1,0)，得2 2x y 0且1 x 0，解得 x 1， y 0，则 x y 1，故 D 错误.
10.ACD 设 A x0 , y0 6 ，Q 0, 2 ，则 AMQ ANQ 90 ，则 AM AN AQ 2 MQ 2 AQ 2 8 .
对于 A，由于 AQ 2 x0 0
2 x0 6 2
2 2 x 4 20 32 32 ，所以 AM AQ 2 8 32 8 2 6，
从而 AM 2 6, ，故 A 正确；对于 B，由于 A 2 2,6 2 2 ， N 2 2, 2 满足条件，但此时
SAMQN 2S AQN AN QN 8 2 2 2 2 16 2 8 6 2，故 B 错误；
2 2 x 2 2
对于 C，设该距离为 d，以 AQ x x 4为直径的圆的方程为 x 0 y 0 0
x0 8
2
，
2 4
两圆相减可得直线MN的方程为 x0x x0 8 y 2 8，将 x0 8换成 y0 2, (y0 x0 6)整理可得（或直
接利用结论）所以，故 C 正确；
答案共六页 1
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}
对于 D，Q 0, 2 ,d 8 4 2,故 D 正确.
2
11. BD【详解】对于 A,如图所示，连接 AD1 ,取 AD的中点为M ,连接MM ，设 AD1N
外接圆圆心为O ,外接球球心为O ,连接O M ,则
OE O M ,在 AD1N中，设其外接圆半径为 r ，由正弦定理
AN 5
10 2r 10
知， sin AD N 2 ，所以 r ，即1 2
2
O N 10 ，依题易得 AND1 DM A ,故 AM D AND ,弦 AD1所对的圆周角相等，故 A,M ,N ,D1四
2
点共圆，则O M O N 10 ,设外接球半径为 R ,过O作OE MM ,交MM 于 E ,则在Rt△OEM 中，
2
2
OM 2 OE 2
10 2
ME 2 ,即 R2 2 OO ,①在Rt OO N中，ON
2 OO 2 O N 2 ,
2
2
10
即 R2 OO 2 ②,联立①②，解得OO 1,R
2 7 ,故外接球的表面积为 4πR2 14π ,故 A错误；
2 2
对于 B,连接 A1M ,因为DD1 / /AA1 , AA1 平面 A1AM ,DD1 平面 A1AM ,
所以DD1 / / 平面 A1AM ,又点 N 是棱DD1上的动点（含端点），
所以点N 到平面 A1AM 的距离为定值，设为 d ，
V V 1 S d 1 2 5 5则 A AMN N A AM A AM d d，为定值，故 B正确；1 1 3 1 3 2 3
对于 C,如图，四边形 AMHN为过 A，M，N 的平面截正方体 ABCD A1B1C1D1所得的截面图形，
对于 D，以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，
则 A 0,0,0 ,B1 2,0,2 ,C 2,2,0 ,N 0,2, , 0,2 ,
则 AB1 2,0,2 , AC 2,2,0 ,CN 2,0, ,
r n AB1 0 2x 2z 0
设平面 AB1C的法向量 n x, y, z ，则 ，
n AC 0 2x 2y 0
令 x 1，则 y z 1，故 n
1, 1, 1 ，则
答案共六页 2
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}
sin cos n ,CN n CN 2
2
, 3 4 4 3 4 1 ,n CN 3 4 2 3 2 4 3 2 4
sin 3 1 4 3 1 4 3 1 4 6
当 0 sin 3时， ，当 0时， 3 2 4 3
3
4
3 4 3 ，
2
3 4 3
当且仅当 2时等号成立，又 sin 1 2 ，故 D 正确3 4 3
三、填空题
12. an 2n 1, (n N
*) 413. y x 14.
9
四、解答题
15. 1 s n2 *（ ） n n 1, (n N ),当 n 1时， a1 s1 1,
n 2 a s s (n 2当 时， n n n 1 n 1) (n 1)
2 (n 1) 1 2n, 当 n 1时不适合上式，
1,n 1
所以 an ; （6 分）
2n,n 2
（2）因为数列 a 满足 2a a a , (n N *n n 1 n n 2 ), 所以 an 为等差数列，又由
a1 a3 a5 96,a2 a4 a6 90,且 a1 a5 2a3 ,a2 a6 2a4 ,所以
a3 32,a4 30,d a4 a3 2,所以 a20 a3 17d 32 34 2. （13分）
16.设 Ai “李明第 i道题答对”（ i 1,2,3），则 A1, A2 , A3 两两相互独立，
（1）设 A “李明第二次答题通过面试”，
则 P(A) P(A1A2) P(A1)P A2 0.4 0.6 0.24,
所以李明第二次答题通过面试的概率为0.24; （7 分）
（2）设 B “李明最终通过面试”，
则
P(B) P(A1 (A1A2) (A1A2A3)) P(A1) P(A1A2) P(A1A2A3) P(A1) P(A1)P(A2) P(A1)P(A2)P(A3)
0.6 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.936,
所以李明最终通过面试的概率为0.936. （15分）
答案共六页 3
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}
p p
17．（1）由抛物线的定义知： AF x1 ，所以 1，解得 p 2，所以抛物线的方程为 y2 4x；（2 分）2 2
则 F (1,0),因为 AB的斜率不为0，设 AB方程为 x my 1， B x2，y2 ，
x my 1 2
由 22 ，化简的 y 4my 4 0，所以Δ 16 m 1 0，y1 y2 4m，y1y2 4y 4x ， （5 分）
又由 y1 y2 4，得m 1，所以 AB方程为 x y 1，即 x y 1 0； （7 分）
2 2
另解：（点差法）将 A,B两点的坐标带入抛物线的方程可得 y1 4x1, y2 4x2 ,两式做差得
y 2 y 2
y y 4
1 2 4 x1 4 x ,
1 2
2 整理得 , y y 4x k 1.1 x y y
因为 AB的中点纵坐标为 2，所以 1 2 ，即 AB
2 1 2
y y
（2）由（1）知： y1 y2 4m，y1y2 4，因为 A x1, y1 ，C 1, y 1 22 ，所以 AC方程为 y y2 x 1 x1 1
，
y y1 y2 x y1 y 2即： y 2，又因为 x1 my1 1x 1 x 1 ， （12 分）1 1
y1 y2 y y1 x1y2
y1 my1 1 y2 y1 y2 my1y2 4m 4m所以
x 1 2
0，
1 x1 1 x1 1 x1 1 x1 1
y1 y2
所以直线 AC的方程为 y x,x 1 所以直线 AC经过原点. （15 分）1
18.（1）证明：在VABC 中， BC = 2AB， ABC=45 ，由余弦定理，得
AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos45 AB2 ，所以 AC 2 AB2 BC 2，即 AB AC．因为平面 PAB
平面 ABCD，平面 PAB 平面 ABCD AB，AB AC，AC 平面 ABCD，所以 AC 平面 PAB．又
AC 平面 PAC ，所以平面 PAB 平面 PAC ． （5 分）
（2）设 AB， BC的中点分别为O，E，连接OP，OE，
因为 PA PB ，O为 AB 的中点，所以 PO AB ，又平面 PAB 平面 ABCD，平面 PAB 平面
ABCD AB， PO 平面 PAB，所以 PO 平面 ABCD，又OE 平面 ABCD，所以PO OE．
因为O，E分别为 AB，BC的中点，所以OE∥AC，又 AB AC，所以OE AB，
即OB，OE，OP两两互相垂直，
以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为 x轴， y 轴， z轴建立如图所示的
空间直角坐标系，因为 AB 2，则 A 1,0,0 ,B(1,0,0), C 1,2,0 ，D 3,2,0 ，
P 0,0, 7 Q 1 , 2 , 2 7 ， 3 3 3 ，则 BD 4,2,0 ， BQ
4 2 2 7
, , ，设m x, y, z 是平面
3 3 3
答案共六页 4
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}
m BD
4x 2y 0,
0,BDQ的法向量，则
即 4 2 2 7 令 x 1,则 y 2, z 0, 即平面 BDQ的一
m BQ 0, x y z 0 3 3 3
个法向量为m 1,2,0 ．
设直线 AD与平面 BDQ所成角为 ，又 AD 2,2,0 ，
AD m
则 sin cos AD,m
2 10
AD m
，
2 2 5 10
10
所以直线 AD与平面 BDQ所成角的正弦值为 ． （12 分）
10
BDQ
（3）由（2）知，平面 的一个法向量为m 1,2,0 ， BC 2,2,0 ,
由点到平面的距离公式得：C到平面 BDQ d
BC m 2 2 5的距离 ,
m 5 5
2 5
所以C到平面 BDQ的距离为 . （17 分）
5
y0 y1 y0 y1
19. （1）设 A(x1, y1),则 B( x1, y1),所以 k1 ,k2 ,x0 x1 x0 x1
k k y0 y
2 2 2
1
y0 y1 y y
所以 1 2
0 1
2 2 3,又因为 A(x1, y ),G(x , y )
y
在双曲线 2 上，
x0 x1 x0 x x x
1 0 0 Γ : x 2 1
1 0 1 b
y 2 y 2 2 2 2 2 2 2 2 2
所以， x 21 1 1, x
2
0
0 1,解得 y1 b x1 b , y0 b x0 b ,b2 b2
2 2 2
y 2 y 2 (b2x 2 b2) b2 x 2 2 2
b x
b b (x 2 x 2 ), k k 0 x1 所以 20 1 0 （ 1 ） 0 1 所以 1 2 2 2 b 3,b 0,x0 x1
所以b 3; （5 分）
b 2 6 Γ : x2
3y2
（2）当 时，双曲线 1，其中M 2,0 ， A2 1,0 ，
3 8
因为△MA2P为等腰三角形，由题意知，MP为底， A2P MA2 3，设 P x0 , y0 ，其中 x0 0, y0 0，
答案共六页 5
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}
x0 1
2
y 2 9
0 y2 x0 2则有 x2 0 1 ，解得 ，即 P 2,2 2 ． （10 分）
0 8 y0 2 2
3
（3）由题知 A1 1,0 , A2 1,0 ， 当直线 l的斜率为 0 时，此时 A1R A2P 0，不合题意，则 kl 0，
则设直线 l : x my 2，设点 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，根据OQ延长线交双曲线Γ于点 R，
x my 2
根据双曲线对称性知R x , y 2 2 2 2 22 2 ， 联立有 2 2 y b m 1 y 4b my 3b 0，
x b2
1
1
因为点P在第一象限，所以m 0, b,所以二次项系数b2m2m 1 0
，
2
其中Δ 4mb2 4 b2m2 1 3b2 4b4m2 12b2 0 ，
y 4b
2m 3b2
1 y2 ①， ②， （13 分）b2m2
y y
1 1 2 b2m2 1
A1R x2 1, y2 ,A2P x1 1, y1 则 A1R A2P x2 1 x1 1 y1y2 1，
因为P x1, y1 ,Q x2 , y2 在直线 l上，
则 x1 my1 2 ， x my2 2 ， 即 my2 3 my 3 y y 1 ， 即2 1 1 2
3b2 2y1y
2
2 m 1 y1 y2 3m 10 0 ，将①②代入有 m2 1 2 2 3m 4b m 10 0 ，即b m 1 b2m2 1
3b2 m2 1 3m 4b2m 10 b2m2 1 0
化简得b2m2
10
3b2 10 0 m2，所以 2 2b2
3, 代入到 b m 1 0 , 得 10 3b2 1, 所以 b2 3 ,
又因为b 0，则0 b2 3， （15 分）
c b2
所以，b2 0,3 ,e 1 1 b2 ,， e 1,2 . （17 分）
a a2
答案共六页 6
{#{QQABAQYQgggAQBAAARhCQwHSCgOQkgAAAQgOxAAAMAAAyQFABAA=}#}
