2024.12 蛟川四校联考初三数学试卷解析
一. 选择题 (每小题 3 分, 共 30 分)
1.已知 ,则下列比例式正确的是( )
A. B. C. D.
2.不透明袋子中有 1 个红球和 2 个绿球, 这些球除颜色 外无其他差别. 从袋子中随机取出 1 个球, 恰好是绿球的概率为( )
A. B. C. D. 1
3.已知抛物线 ,下列说法正确的是( )
A. 开口向上 B. 与 轴的交点
C. 顶点坐标为 D. 当 时, 随 的增大而增大
4.如图,在以 为直径的半圆 中,弦 ,若 ,则 的度数为( )
A. B. C. D.
题4 题5 题6
5.如图,已知直线 ,直线 分别交直线 , 于点 ,直线 分别交直线 于点 ,若 ,则 ( )
A. 6 B. 16 C. 18 D. 20
6.如图,在矩形 中, 是 上一点, ,以点 为圆心 为半径画弧,交 于点 ,以 为圆心, 为半径画弧,交 于点 于点 ,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图,已知钝角 内接于 ,过点 作 交 于点 ,若 ,则 的半径为( )
A. B. C. 6 D. 8
题7 题10
8.已知二次函数 与直线 的交点横坐标分别是 1 和 3,其与 轴的其中一个交点的横坐标 满足 ,那么 的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.已知二次函数 是常数且 0) 的图像与 轴的交点坐标是 ,当 时, , 当 时, ,则 ( )
A. 至少有一个大于 B. 都小于
C. 至少有一个小于 D. 都大于
10.如图 与 均为等腰直角三角形, ,直线 与直线 交于点 ,在 与 绕点 任意旋转的过程中, 到直线 的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题 (每小题 3 分, 共 18 分)
11.二次函数 与坐标轴的交点个数为_____ 个
12.小明在纸上描绘了一幅熊猫图,他想知道这幅图案的面积,采取了以下方法: 用一个长为 ,宽为 的矩形将图案框起来并采取随机在矩形内投点的方式, 通过大量实验发现点落在图案内的频率稳定在 0.85 , 由此可以估计熊猫图的面积大约为_____ .
13.已知两条线段的长度 满足 ,且 18. 若另一线段长度 是 、 的比例中项,则 _____.
14.如图,已知在矩形 中, ,点 是 的中点,点 为边 上的动点,将矩形 绕点 逆时针旋转,得到矩形 ’ ’ ’,在矩形 绕点 逆时针旋转的过程中,记 的对应点是点 ’,则线段 ’长度的最大值与最小值的差为_____.
题14 题16
15.在平面直角坐标系中,抛物线 与 轴交于 ,且经过点 为直线 上方抛物线上的一点, 当 时,点 的横坐标为_____.
16.如图,已知 是等边三角形且内接于 是 上的一点,作点 关于直线 的对称点 ,连结 ,若 的半径为 , ,则 _____.
三、解答题 (17-21 每题 8 分, 22、23 每题 10 分, 24 题 12 分)
17.甲、乙、丙三人相约同一天从 地出发前往 地, 现有 和 两趟航班,在三人没有商量的前提下:
(1)甲选择 航班的概率；
(2)甲、乙、丙三人选择同一航班的概率.
18.如图,在网格中按要求作图并回答相应问题.
(1)在图 1 中以点 为旋转中心,作 绕点 顺时针旋转 后得到的 ;
(2)设 外接圆圆心为点 ,则在(1)的条件下,求 扫过的面积.
19.已知在等腰 中, 是 的三等分点且靠近点 是 的中点,过点 作 交 延长线于点 .
(1) 求 的值;
(2)连结 ,若 ,求 的值.
20.如图 1, 内接于 ,高 经过圆心 . 若 的半径为 5 .
(1)求 的面积.
(2)连结 并延长,交 于点 ,连结 ,且 是 的外角平分线,交 延长线于点 ,如图 2 所示,求 的长度.
图1 图2
21.已知抛物线 ,点 和点 是该抛物线与 轴的交点.
(1)若 ,求 的取值范围；
(2)若 ,现将抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折,若直线 与新得到的函数图像至少有三个交点,求 的取值范围.
22.蛟蛟水果店现出售一批高级水果, 以每千克 45 元的 价格购入, 再以每千克 57 元的价格出售, 统计发现 9 月份的销售量为 500 千克.
(1)由于水果畅销,预计 11 月份的销售量将达到 605 千克. 求 9 月份到 11 月份的销售量月平均增长率;
(2)经过市场调研发现,以 9 月份为标准,保持进价不变的基础之上,若每千克售价上涨 1 元, 月销量将减少 20 千克, 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出 2 元.
① 设上涨 元 ( 为正整数),当月总利润为 ,试求 与 之间的函数关系式.
②现要保证每月的总利润达到 6080 元, 同时又要尽可能的给予顾客优惠, 则每千克应涨价多少元.
23.(1) 如图 1,在三角形 中, 是 中点,连结 是 上任意一点,过点 作 分别交 于点 ,求证: 是 中点;
(2)如图 2,在四边形 中, , 与 不平行, , , 连结对角线 交于点 是 上的点,过点 作 交 于点 于点 ,求 的值;
(3)如图 3,在菱形 中, , ,分别取菱形各边的中点 , , , 并顺次连结得到四边形 ,连结 交于点 是 上一动点,作 交 于点 ,交 于点 ,过点 作 垂直 交 于点 ,连结 ,求 的最小值.
图 1 图 2 图 3
24.如图, 为 的直径,弦 ,连结 , 为 上一点, ,连结 并延长交 于点 ,交 于点 .
(1)求证: .
(2)若 ,求 .
(3)若 ,判断 的值是否会改变,若会改变,请说明理由；若不会改变,则用含 的代数式表示.
试卷解析
一. 选择题 (每小题 3 分, 共 30 分)
1. 选 D.
2. 选 C.
3. A 选项: 二次项系数为负数, 因此抛物线开口向下;
B 选项: 与 轴的交点为 ;
C 选项: 顶点坐标为 .
选 D.
4.如图,
,
,
在弧 上任取一点 ,连结 ,则 ,
由 四点共圆可知,
,
选 D.
5.由 ,
知 ,又 ,
因此 .
故选 B.
6. 连结 ,在矩形 中, ,
,
为等边三角形,
.
选 B.
7. 连结 并延长交 于点 ,连结 ,
为直径,
,
又 ,
,
,
,
的半径为 .
故选 A.
8. 由题意可知, ,点 过抛物线,
代入表达式中可得, ,
,
记 ,
由 ,
,即 ,
解得 .
故选 C.
9.令 ,
从而 ,
方法一:
,
( 使等号无法取到),
因此 至少有一个小于 .
方法二:
运用不等式 ,
,
因此 至少有一个小于 .
故选 C.
10.从另一个角度看问题,先固定住 可以由 绕点 逆时针旋转 得到, 故可以证明 ,即 点在以 为直径的圆 上运动. 进一步观察得到当 与以 为圆心, 为半径的圆相切时, 到 的距离最小,再小就会导致不存在这样的 了. 我们这边考虑其中一种相切的情况,另一种情形可用同样的方法自行验证与我们给出的这种情形算出的最小值相同.下面我们开始计算这时最小值究竟是多少. 如图,设 与 交于点 ,过点 作 于 ,过点 作 于 . 由相切可得 ,故 , ,故 .
故选 C.
(注明: 熟悉二倍角公式的同学可以试着用二倍角公式严格地说明取最小值的条件并且方便地计算出最小值)
二、填空题 (每小题 3 分, 共 18 分)
11. 函数与 轴交点: 令 ,则 ,故与 轴交于一个点(0,3);
与 轴交点: 令 ,则 ,方程无解,故与 轴无交点,综上二次函数与坐标轴只有一个交点.
12.由频率和概率的关系我们可以认为点落在图案内的概率为 0.85,而概率可以由 计算得
到,故而熊猫图的面积为 .
13.由题给出了关于 的二元一次方程组,可以解得 ,由比例中项的定义 .
14. 先固定住 点,我们发现随着矩形 绕点 逆时针旋转的过程中, 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆. 那么, . 现在再让 点动起来,我们就有 , 两者之差即为 10 .
15. 由题先得到抛物线的解析式 ,由 ,得 ,故而直线 的倾斜角为 ,斜率为 1,即它的解析式为 ,与二次函数联立即可解得 (舍) 或 .
16. 由题等边三角形 的边长为 . 如图,连结 ,将 绕点 逆时针旋转 至 ,连结 . 容易发现 为等边三角形,故 ,在 中, ,可从 向 作垂线,最终可解得 ,同样的在 中, ,可从 向 作垂线,最终解得 .
三、解答题 (17-21 每题 8 分, 22、23 每题 10 分, 24 题 12 分)
17. (1) .
(2)画树状图如下:
三人选择同一航班的概率为 .
18(1)如下图 (其中阴影部分为 扫过的面积)
(2)如上图, 扫过的面积为: .
19.(1)如右图,过点 作 交 于点 ,则易得 .
,
是 的三等分点且靠近点 是 的中点,
.
,
.
(2)如图,过点 作 于点 ,由(1)可得
,
又 由一线三等角模型可得 .
,即 ,
,
,
由勾股定理得 .
20. (1)如图 1,连结 ,得 ,
由垂径定理得 .
图1
(2) 为直径, ,
,
由外角平分线定理得:
,即 ,
.
.
21. (1)∵抛物线的开口向上, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, 的取值范围为 .
(2)由韦达定理得 ,
,
抛物线与 轴的交点为 .
当直线过点(-3,0)时,直线与新抛物线恰好有 3 个交点,此时 ,
抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折后得到的抛物线表达式为 ,
联立方程组 ,消去 ,得 .
直线与新抛物线恰好有 3 个交点,即直线与抛物线 只有一个交点,故方程 有两个相等的实数根, .
如图,当直线 与新得到的函数图像至少有三个交点时, 的取值范围为 .
22.(1)设月平均增长率为 ,解得 ,故月平均增长率为 .
(2)①销售量: ,售价: ,运输的消耗: ,
② 由题意得: ,解得 或 ,由于要尽可能的给予顾客优惠, 故每千克应涨价 6 元.
23. (1)证明: 由 得 和 相似, 和 相似,则 , 又 是 中点,则 ,故 ,故 是 中点.
(2)由(1)同理得 ,由 , , 容易解得 ,又 ,则 和 相似,则 ,即 的值为 2 .
(3)易得三角形 是正三角形,易得四边形 是长方形,则 ,连接 ,
由 (1) 同理得 ,又 垂直 ,由三线合一得 ,故要求 的最小值即求 的最小值,显然当 时 取到最小值 2,故 的最小值为 2 (此时 , 分别是 的中点,且三角形 是正三角形).
24. (1)证明: 由 得 ,由同弧所对的圆周角相等得 ,
又 ,则 ,则 ,
作 ,由三线合一得 ,又 ,则 ,则 ,
故 ,即 .
(2)延长 交 于点 ,连接 ,由对称有 过点 ,由对称得 5, ,由 (1) 得 ,则 ,故 ,则 和 相似,则 ,而 ,则 ,由对称得
(3)不会改变. 设 ,则 ,与(2)同理得 ,则
.
