2024年上海市各区县中考数学一模压轴题精选
温馨提示：本卷共25题，题目均选自2024年上海市各区县一模试题。
第一部分 二次函数
1.(2024·闵行区)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
2.(2024·金山区)已知：在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、．
求抛物线的表达式和顶点的坐标；
点在抛物线对称轴上，，求点的坐标；
抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式．
3.(2024·松江区)在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过原点、点，此抛物线的对称轴与轴交于点，顶点为．
求抛物线的对称轴；
如果该抛物线与轴负半轴的交点为，且的正切值为，求的值；
将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点、分别对应新抛物线上的点、联结，如果点在轴上，轴，且，求新抛物线的表达式．
4.(2024·闵行区)
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为抛物线：上有一点，以点为顶点的抛物线经过点点与点不重合，抛物线和形状相同，开口方向相反．
当抛物线经过点时，求抛物线的表达式；
求抛物线的对称轴；
当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分．
5.(2024·浦东新区)如图，在平面直角坐标系中，抛物线：过点、点，顶点为点，抛物线的对称轴交轴于点．
求抛物线的表达式和点的坐标；
点在轴上，当与相似时，求点坐标；
将抛物线向下平移个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为点，再把点绕点顺时针旋转得到点当点在抛物线上时，求的值．
6.(2024·嘉定区)定义：对于抛物线、、是常数，，若，则称该抛物线是黄金抛物线已知平面直角坐标系如图，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．
求此黄金抛物线的表达式及点坐标；
点在这个黄金抛物线上，
点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．
在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
第二部分 向量
7.(2024·松江区)如图，梯形中，，且，若，请用，来表示 ______．
8.(2024·金山区)已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形．
求证；
设，，用向量，表示 ______．
9.(2024·闵行区)如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，．
______， ______；用含有向量、的式子表示
在图中画出在向量和方向上的分向量不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论
第三部分 三角形与四边形
10.(2024·金山区)如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.(2024·松江区)某同学对“两个相似的四边形”进行探究四边形和四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，已知该同学得到以下两个结论：四边形和四边形的面积比等于；四边形和四边形的两条对角线的和之比等于对于结论和，下列说法正确的是( )
A. 正确，错误 B. 错误，正确 C. 和都错误 D. 和都正确
12.(2024·金山区)在中，，是边上的一点，为边上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是______．
13.(2024·松江区)如图，在矩形中，，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，联结，，若，则 ______．
14.(2024·金山区试)把矩形绕点按顺时针旋转得到矩形，其中点的对应点在的延长线上，如果，那么 ______．
15.(2024·闵行区)新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数黄金数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______．
16.(2024·闵行区)如图，在中，，，点为边上的点，联结，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，联结，如果，那么的值为______．
17.(2024·浦东新区)在菱形中，点为边的中点联结，将沿着所在的直线翻折得到，点落在点处，延长交边于点如果的延长线恰好经过点，那么的值为______．
18.(2024·嘉定区)在中，，，，点、分别在边、上，且：：如图，将沿直线翻折，翻折后点落在点处如果，那么 ______．
19.(2024·浦东新区)已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点，且．
求证：；
点在的延长线上，联结，求证：．
20.(2024·金山区)已知：如图，在中，，，，与边相交于点．
求证：；
如果，求：的值；
如果是直角三角形，求的正切值．
21.(2024·松江区)在中，点是射线上一点不与、重合，点在线段上，直线交直线于点，．
如图，如果点在的延长线上．
求证：；
联结，如果，，求的长．
如果：：，求：：的值．
22.(2024·浦东新区)上海教育出版社九年级第一学期练习部分第页复习题组第题及参考答案．
如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空：
先作，其中，；然后延长到点，使，联结．
．
设，那么用的代数式表示，以下同，．
．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：
【问题探究】
如图，在中，，，然后延长到点，使，联结．
______
设，那么 ______用的代数式表示，以下同， ______．
______．
【知识迁移】
如图，在中，，然后延长到点，使，联结．
请用习题中求的方法求．
【拓展应用】
如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，联结、交于点求证：．
23.(2024·闵行区)如图，在中，，以，为边在外部作等边三角形和等边三角形，且联结．
如图，联结，，求证：≌；
如图，延长交线段于点．
当点为线段中点时，求的值；
请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论，当点在的内部时，求的取值范围．
24.(2024·浦东新区)如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点点不与点、重合，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．
当点在边上时，如果，求的余切值；
当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
当时，求的面积．
25.(2024·嘉定区)如图，在和中，，，，．
求证：；
已知点在边上一点与点不重合，且，交于点，交的延长线于点．
如图，设，，求与的函数关系式，并写出定义域；
当是等腰三角形时，求的长．
参考答案
1.【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过，，
，对称轴为直线，
抛物线开口向下，
，
，
，
，
．
故选：．
根据二次函数的图象经过，，得，对称轴为直线，根据抛物线开口向下，得，，所以，即可得出答案．
本题考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键．
2.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
则点；
由点、的坐标得，，
则，
则直线的表达式为：，
当时，，
即点；
如上图，
，则点在的中点，
故设点，
，
则点、关于原点对称，
故点，
将点的坐标代入抛物线的表达式得：，
即，
则点，
则新抛物线的表达式为：．
【解析】由待定系数法即可求解；
由点、的坐标得，，则，则直线的表达式为：，即可求解；
设点，得到点，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、解直角三角形、点的对称性等，有一定的综合性，难度适中．
3.【答案】解：把，代入，解得，，
得抛物线的解析式为，
则抛物线的对称轴为直线；
把代入，解得，点的横坐标，舍去，
点的坐标为，
过点作轴，垂足为，
，，
，，
的正切值为，
，即，
解得；
由条件可得如下图象，过点作垂直于的延长线，垂足为，
轴，点的坐标为，
点的坐标为，
由新抛物线是原抛物线平移得到，且顶点的对应点是点，
即原抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，
设新抛物线的解析式为，
由点的坐标为，得点的坐标为
，，
，，
∽，
，
，解得，
，
，
新抛物线的解析式为．
【解析】把，代入，求出和的数量关系，即可求出抛物线对称轴；
把代入求出点的坐标，过点作轴，垂足为，在直角三角形中求出和的长，根据的正切值为列方程求出；
根据条件画出图象，过点作垂直于的延长线，垂足为，通过原抛物线上的点、分别对应新抛物线上的点、得到原抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，再证明∽，通过对应线段成比例列方程求出的值，进而得到新抛物线的解析式．
本题考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数对称轴，锐角三角函数，二次函数的平移，相似三角形的性质和判定等知识点．
4.【答案】解：将点代入抛物线，
得，解得，
得抛物线得表达式为；
由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为，
把代入抛物线：，得，
则抛物线得表达式为，
由点在抛物线上，设点的坐标为，
由点是抛物线的顶点，得，解得，
得点的坐标为，
即抛物线的对称轴为直线；
由点是抛物线的顶点，得，
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
设直线表达式为，
代入，，得，
直线表达式为，
把代入，得，
得点的坐标为，
，
，，
≌，
，
平分．
【解析】将点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值；
通过题意求出抛物线的解析式，假设点的坐标，代入抛物线求出的值，从而得到抛物线的对称轴；
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，利用表示点、点的坐标，得到各边的数量关系，通过证明≌，得到平分．
本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点．
5.【答案】解：由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
则点；
由知，点，
由点、、、的坐标得，、、、，，
当∽时，
则，即，
解得：，
即点；
当∽时，
则，即，
解得：，
则点；
综上，点的坐标为：或；
如下图，过点作交于点，则，
设平移后的抛物线表达式为：，
则，
在等腰中，，
则，
则点，
将点的坐标代入函数表达式得：，
解得：舍去或，
故．
【解析】由待定系数法即可求解；
当∽时，则，即，即可求解；当∽时，同理可解；
根据图像旋转求出点，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、三角形相似等，分类求解是解题的关键．
6.【答案】解：是黄金抛物线，
，得，
此黄金抛物线的表达式为，
整理得，
得顶点的坐标为；
把代入，得，
点的坐标为，
抛物线对称轴为直线，且点在对称轴上，
点的坐标为，
，
，，，
，，
，
是直角三角形，，
；
把代入，得，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，，
过点作轴，
，，
，且轴，
是等腰直角三角形，
，
若∽，
得，即，
得，
得点的坐标为，
若∽，
得，
相似比不为，
此种情况舍去，
综上所述，点的坐标为．
【解析】根据黄金抛物线定义，得到抛物线的解析式，从而求出顶点的坐标；
求出点和点的坐标，得到，和的长度，证明是直角三角形后，通过定义求出正弦值；
求出点的坐标，证明是等腰直角三角形，分类讨论求出点的坐标．
本题考查利用待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质和判定，另外还利用分类讨论思想解题．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
由题意得，再根据可得答案．
本题考查平面向量，熟练掌握三角形法则是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】证明：是的重心，
，
四边形是平行四边形，
，，
：：，
，
，
是的中线，
，
，
，
：：，
是的重心，
，
，
，
：：，
，
∽，
，
；
解：，，
，
∽，
：：：，
，
，
故答案为：
由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出：：，得到，而，得到，由，推出：：，得到，因此：：，而，推出∽，得到，即可证明；
由平面向量的运算法则，即可求解．
本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量，关键是证明∽，掌握平面向量的运算法则．
9.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
．
故答案为：，；
如图，，即为所求．
利用三角形法则求解；
利用平行四边形法则求解．
本题考查作图复杂作图，三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则．
10.【答案】
【解析】解：如图，
根据勾股定理得，，，，，，
又，，，
，，，，，，，，，
，，，
∽，∽，∽，
故选：．
根据“三边对应成比例的两个三角形相似”求解即可．
此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：四边形和四边形是相似的图形，，
四边形和四边形是相似比为，
四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于，
四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，
则和都正确，
故选：．
根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，当∽时，
，
只要满足，都能满足题意，
如图，当∽时，
直线把分成面积相等的两部分，
，
，
，
，，
，，
，，
，
综上所述，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是．
故答案为：．
分两种情况进行讨论，画出图形，根据面积之比等于相似比的平方即可解答．
本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：过点作于点，
将边绕点逆时针旋转，点落在处，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，
，，
，
解得负值舍去，
，
．
故答案为：．
过点作于点，由旋转的性质得出，证明∽，得出，设，得出，求出即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，
，，
由旋转得，，，，
，
点在上，
，
，
∽，
，
，
，
整理得，
解得或不符合题意，舍去，
故答案为：．
由矩形的性质得，，由旋转得，，，，则点在上，可证明∽，得，所以，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：作的中线，
是“精准三角形”，
，
，
，
是中点，
，
令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：．
作的中线，由精准三角形的定义得到，求出的长，由线段中点定义得到，令，由勾股定理得到，求出，得到即可求出的长．
本题考查勾股定理，黄金分割，等腰三角形的性质，关键是由精准三角形的定义求出的长，由勾股定理列出关于方程．
16.【答案】
【解析】解：如图所示：过作于，过作于，
，
∽，
，
设，
，
，，
，
将沿翻折，点落在平面内点处，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先过作于，过作于，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解．
本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：延长、交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
由折叠得，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点为边的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
的值为．
延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，由折叠得，，则，，而，所以，推导出，可证明≌，得，则，所以，则，再证明≌，得，再证明∽，得，则，而，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：作出沿直线翻折后的，
则，，
，
，
作的平分线，
则，
，
过点作交的延长线于点，
则，，，
，，
，，
在中，，，，
由勾股定理，得，
，
在中，
由勾股定理，得，
，
．
故答案为：．
作的平分线，过点作交的延长线于点，可将转化为，因此设法求出的值即可解决问题．
本题考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，平行线性质和判定，通过作辅助线将求转化为求是解题的关键．值得注意的是：本题中的条件“：：”多余，若利用此条件求出，，的长来求的值也可以，但比较麻烦．
19.【答案】证明：，，，
，
，
，，
，
又，
∽，
；
，，
∽，
，
，
，
或舍去，
，，
∽，
，
，
．
【解析】根据平行线的性质、三角形外角性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出∽，根据相似三角形的对应边成比例即可得解；
根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出∽，根据相似三角形的对应边成比例求出，同理∽，再根据相似三角形的对应边成比例及等量代换即可得解．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】证明：，
，
，
．
，
，
，，
，
，
．
，，
∽，
，
．
，，
；
解：过点作于点，如图，
，
．
，
，
设，则，，
，
，
．
由知：，
，
，
：：；
解：当时，过点作于点，如图，
，
．
，，
，
由知：，
，
设，则，
，
，
的正切值；
当时，如图，
，，
，
由知：，
，
四边形为平行四边形，
，，
平行四边形为正方形，
，
的正切值为．
综上，的正切值为或．
【解析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
过点作于点，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，利用勾股定理和的结论解答即可得出结论；
利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，过点作于点，利用平行线等分线段定理，勾股定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；当时，利用平行四边形的判定和正方形的判定与性质求得即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，平行线等分线段定理，作出等腰三角形的底边上的高线是解决此类问题常添加的辅助线．
21.【答案】证明：如图，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
．
解：如图，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
解得或不符合题意，舍去，
的长是．
解：如图，点在的延长线上，
联结，作交的延长线于点，则，
，
：：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
如图，点在线段上，
，
，
，，
，
，
，
，
与不相似，
不存在的情况，
综上所述，：的值为．
【解析】由，得，因为，所以∽，得，由，得，所以，则，即可证明；
由，得，则，可证明∽，得，所以，而∽，得，所以，则，求得，于是得，求得；
分两种情况讲座，一是当点在的延长线上，联结，作交的延长线于点，可证明≌，得，再证明≌，得，则；二是当点在线段上，可证明与不相似，则不存在的情况．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
22.【答案】
【解析】【问题探究】
解：，
，
，
，
故答案为：；
设，
，
，
，
故答案为：，；
．
，
故答案为：；
【知识迁移】
解：同理可知，
，
设，，
，
，
；
【拓展应用】
证明：连接，
，，
，
，，
，，
，
，，
设，，则，，
，
，
，
，
．
【问题探究】由等腰三角形的性质得出答案；
由勾股定理可得出答案；
由锐角三角函数的定义可得出答案；
【知识迁移】设，，得出，由可得出答案；
【拓展应用】连接，证出，得出，，设，，则，，求出，则可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】证明：等边三角形和等边三角形，
，，，
，
≌；
解：如图，延长到点，使，连接、，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
垂直平分，
，
是等边三角形，
，
，
．
如图，分别以、为圆心，长为半径在上方画弧，两弧交于点，连接、，
则为所求作的等边三角形，
由作图可知，所以为等边三角形，
当在边上且为中点时，由知：
可得，
当在边上时，假设，如图，
，和为等边三角形，，
，，
，，，
，
，，
，
点在线段上．
，，
，
，
，，
，
时，在边上，
此时，
的取值范围是．
【解析】由等边三角形的性质得出相等的边和相等的角，再利用角的和得出，从而得出全等．
根据已知条件得出≌，再根据得出的结论证明≌，从而得出是等边三角形，求出即可．
作等边三角形，由作法可以证明是等边三角形，分类讨论当在边上时，当在边上时，分别求出的值，即可得出的取值范围．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，尺规作图，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24.【答案】解：如图，
正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
解得或，
经检验，，都是原方程的根，
或，
在中，
或，
答：的余切值为或；
如图，由得，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，
∽，
，
，
在中，，，
，
，
；
当点在上时，如图，过点作，垂足为，
，
，
由可知，当时，，
，
，
∽，
，
，
，
在中，
，
的面积为；
当点在的延长线上时，如图，过点作，垂足为，
由可得，，
由得，，
解得，
，
由∽得，
，
即，
解得，
的面积为；
综上所述，的面积为或．
【解析】根据全等三角形、相似三角形的性质以及锐角三角函数的定义进行计算即可；
利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可；
利用相似三角形的判定和性质求出的边上的高即可．
本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
25.【答案】证明：，，，
，
，，
，
，
∽，
；
解：，，，
，
，
，
即，
由可知，，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，
即与的函数关系式为；
由可知，∽，
当是等腰三角形时，也是等腰三角形，
分三种情况：
、当时，，
，，
，
，
，
，
解得：；
、当时，，
，
解得：；
、当时，
如图，过作于点，
则，
，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，的长为或或．
【解析】由勾股定理得，再证，然后证∽，即可得出结论；
证∽，得，则，然后证∽，得，即可得出结论；
当是等腰三角形时，也是等腰三角形，分三种情况，、当时，、当时，、当时，分别求出的长，即可解决问题．
本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
